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1、
三角形四邊形練習(xí)題
一、選擇題(每小題3分,共39分)
1.下列圖形中,既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是 ( )
圖J4-1
2.下列判斷錯(cuò)誤的是 ( )
A.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形
B.四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形是矩形
C.四條邊都相等的四邊形是菱形
D.兩條對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是正方形
3.如圖J4-2,已知△ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分線,DE交AB于點(diǎn)D,連接CD,則CD的長(zhǎng)為 ( )
圖J4-2
A.3 B.4 C.4.8 D.5
4.如圖J4-3,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的
2、中點(diǎn),下列說(shuō)法中不正確的是 ( )
圖J4-3
A.DE=12BC B.ADAB=AEAC
C.△ADE∽△ABC D.S△ADE∶S△ABC=1∶2
5.一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為540°,則這個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角等于 ( )
A.108° B.90° C.72° D.60°
6.如圖J4-4,四邊形ABCD是菱形,AC=8,DB=6,DH⊥AB于點(diǎn)H,則DH等于 ( )
圖J4-4
A.245 B.125
C.5 D.4
7.平面直角坐標(biāo)系中,已知?ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A(m,n),B(2,-1),C(-m,-n),則點(diǎn)D的
3、坐標(biāo)是 ( )
A.(-2,1) B.(-2,-1)
C.(-1,-2) D.(-1,2)
8.如圖J4-5,∠AOB=60°,以點(diǎn)O為圓心,以任意長(zhǎng)為半徑作弧交OA,OB于C,D兩點(diǎn),分別以點(diǎn)C,D為圓心,以大于12CD的長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)P,以O(shè)為端點(diǎn)作射線OP,在射線OP上截取線段OM=6,則點(diǎn)M到OB的距離為 ( )
圖J4-5
A.6 B.2 C.3 D.33
9.如圖J4-6,點(diǎn)D在△ABC的邊AB的延長(zhǎng)線上,DE∥BC.若∠A=35°,∠C=24°,則∠D的度數(shù)是 ( )
圖J4-6
A.24° B.59°
C.60° D.69°
4、
10.如圖J4-7,P是矩形ABCD的邊AD上的一動(dòng)點(diǎn),矩形的兩條邊AB,BC的長(zhǎng)分別是6和8,則點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是 ( )
圖J4-7
A.4.8 B.5 C.6 D.7.2
11.如圖J4-8,在矩形ABCD中(AD>AB),E是BC上一點(diǎn),且DE=DA,AF⊥DE,垂足為F.在下列結(jié)論中,不一定正確的是( )
圖J4-8
A.△AFD≌△DCE B.AF=12AD
C.AB=AF D.BE=AD-DF
12.矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖J4-9所示,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4),D是OA的中點(diǎn),點(diǎn)E在AB上,當(dāng)△
5、CDE的周長(zhǎng)最小時(shí),點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ( )
圖J4-9
A.(3,1) B.(3,43) C.(3,53) D.(3,2)
13.如圖J4-10,在菱形ABCD中,E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD和DA的中點(diǎn),連接EF,FG,GH和HE.若EH=2EF,則下列結(jié)論正確的是 ( )
圖J4-10
A.AB=2EF B.AB=2EF
C.AB=3EF D.AB=5EF
二、填空題(每小題3分,共21分)
14.若多邊形的每一個(gè)內(nèi)角均為135°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為 .?
15.如圖J4-11,點(diǎn)A(3,t)在第一象限,射線OA與x軸所夾的銳角為
6、α,cosα=12,則t的值是 .?
圖J4-11
圖J4-12
16.如圖J4-12,在△ABC中,點(diǎn)D,E,F分別在AB,AC,BC上,DE∥BC,EF∥AB.若AB=8,BD=3,BF=4,則FC的長(zhǎng)為 .?
17.如圖J4-13,將矩形ABCD沿GH折疊,點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處,點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處,EQ與BC相交于點(diǎn)F,若AD=8 cm,AB=6 cm,AE=4 cm,則△EBF的周長(zhǎng)是 cm.?
圖J4-13
18.如圖J4-14,△ABC的面積是12,D,E,F,G分別是BC,AD,BE,CE的中點(diǎn),則△AFG的面積是 .?
圖
7、J4-14
19.△AOC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖J4-15所示,OA=4,將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1OC1,A1C1交y軸于點(diǎn)B(0,2),若△C1OB∽△C1A1O,則點(diǎn)C1的坐標(biāo)是 .?
圖J4-15
20.如圖J4-16,在△ABC中,∠ABC=45°,BD為∠ABC的平分線,交AC于點(diǎn)D,M,N分別是BD和BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).若BC=42,則MN+MC的最小值為 .?
圖J4-16
三、解答題(共40分)
21.(6分)如圖J4-17,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.
(1)利用尺規(guī)作∠ADC的
8、平分線DE,交BC于點(diǎn)E,連接AE(保留作圖痕跡,不寫作法).
(2)在(1)的條件下,
①求證:AE⊥DE;
②若CD=2,AB=4,M,N分別是AE,AB上的動(dòng)點(diǎn),求BM+MN的最小值.
圖J4-17
22.(6分)為了維護(hù)國(guó)家主權(quán)和海洋權(quán)利,海監(jiān)部門對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理,如圖J4-18,正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)50海里的速度向正東方向航行,在A處測(cè)得燈塔P在北偏東60°方向上,繼續(xù)航行1小時(shí)到達(dá)B處,此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30°方向上.
(1)求∠APB的度數(shù);
(2)已知在燈塔P的周圍25海里內(nèi)有暗礁,則海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是
9、否安全?
圖J4-18
23.(8分)如圖J4-19,正方形ABCD中,G為BC邊上一點(diǎn),BE⊥AG于點(diǎn)E,DF⊥AG于點(diǎn)F,連接DE.
(1)求證:△ABE≌△DAF;
(2)若AF=1,四邊形ABED的面積為6,求EF的長(zhǎng).
圖J4-19
24.(9分)如圖J4-20,在△ABC中,D是AB上一點(diǎn),DE⊥AC于點(diǎn)E,F是AD的中點(diǎn),FG⊥BC于點(diǎn)G,與DE交于點(diǎn)H,FG=AF,AG平分∠CAB,連接GE,GD.
(1)求證:△ECG≌△GHD;
(2)小亮同學(xué)經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)AD=AC+EC,請(qǐng)你幫助小亮同學(xué)證明這
10、一結(jié)論;
(3)若∠B=30°,判斷四邊形AEGF是不是菱形,并說(shuō)明理由.
圖J4-20
25.(11分)如圖J4-21(a),在矩形ABCD中,E是AD的中點(diǎn),以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過(guò)點(diǎn)B,C,∠F=30°.
(1)求證:BE=CE.
(2)將△EFG繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng),若EF,EG分別與AB,BC相交于點(diǎn)M,N(如圖(b)).
①求證:△BEM≌△CEN;
②若AB=2,求△BMN面積的最大值;
③當(dāng)停止旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn)B恰好在FG上(如圖(c)),求sin∠EB
11、G的值.
圖J4-21
參考答案
1.C [解析] 選項(xiàng)A,D都是軸對(duì)稱圖形,但不是中心對(duì)稱圖形;選項(xiàng)B是中心對(duì)稱圖形,但不是軸對(duì)稱圖形;選項(xiàng)C既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形.
2.D 3.D 4.D 5.C 6.A 7.A
8.C [解析] 由題意得OP是∠AOB的平分線,過(guò)點(diǎn)M作ME⊥OB于點(diǎn)E.∵∠AOB=60°,∴∠MOB=30°.在Rt△MOE中,OM=6,∴EM=12OM=3.故選C.
9.B 10.A 11.B 12.B
13.D [解析] 連接AC,BD交于點(diǎn)O.
∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),
∴EF=12A
12、C.
∵四邊形ABCD為菱形,
∴AO=12AC,AC⊥BD,
∴EF=AO.
同理:EH=BO.
∵EH=2EF,
∴BO=2AO.
在Rt△ABO中,設(shè)AO=x,則BO=2x,
∴AB=x2+(2x)2=5x=5AO.
∴AB=5EF.故選擇D.
14.8 15.33 16.2.4 17.8
18.4.5 [解析] ∵E是AD的中點(diǎn),∴△EBC的面積等于△ABC的面積的12,∴四邊形ABEC的面積等于△ABC的面積的12.∵D,F,G分別是BC,BE,CE的中點(diǎn),∴△EFG的面積等于△EBC的面積的14,四邊形AFEG的面積等于四邊形ABEC的面積的12,∴△AFG的
13、面積=38△ABC的面積=4.5.
19.43,83
20.4
21.解:(1)如圖所示:
(2)①證明:如圖,延長(zhǎng)DE,AB相交于點(diǎn)F.
∵∠ABC=∠C=90°,∴∠ABC+∠C=180°,
∴AB∥CD,∴∠CDE=∠F.
∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,
∴∠ADE=∠F,∴AD=AF=AB+BF.
又AD=AB+CD,∴AB+BF=AB+CD,∴BF=CD.
在△CED和△BEF中,∠DEC=∠FEB,∠CDE=∠F,CD=BF,
∴△CED≌△BEF,∴DE=EF.
又AD=AF,∴AE⊥DE.
②如圖,過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H,作點(diǎn)N
14、關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)N',則MN=MN'.
∴BM+MN=BM+MN'.
由①可得AE平分∠DAB,∴點(diǎn)N'在AD上,
∴當(dāng)點(diǎn)B,M,N'共線且BN'⊥AD時(shí),BM+MN'有最小值,即BM+MN有最小值.
在Rt△ADH中,AD=AB+CD=6,AH=AB-BH=2,
由勾股定理可得DH=AD2-AH2=32=42.
∵∠DHA=∠BN'A=90°,∠DAH=∠BAN',
∴△DAH∽△BAN',∴BN'DH=ABAD,
∴BN'42=46,∴BN'=823.
即BM+MN的最小值為823.
22.[解析] (1)在△ABP中,求出∠PAB,∠PBA的度數(shù)即可解決問(wèn)題;
15、(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H,求出PH的長(zhǎng)即可判斷.
解:(1)∵∠PAB=30°,∠ABP=120°,
∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=30°.
(2)過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H.
∵∠BAP=∠APB=30°,
∴BA=BP=50海里.
在Rt△PBH中,PH=PB·sin60°=
50×32=253(海里).
∵253>25,
∴海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的.
23.[解析] (1)由∠DAF+∠BAE=90°,∠ABE+∠BAE=90°得∠ABE=∠DAF,又∠AEB=∠DFA=90°,AB=AD,根據(jù)AAS可證△ABE≌△DAF;(2)四邊形AB
16、ED是不規(guī)則四邊形,可利用S四邊形ABED=S△ABE+S△AED列方程求解.
解:(1)證明:在正方形ABCD中,
AB=AD,∠BAD=90°,
∴∠DAF+∠BAE=90°.
∵BE⊥AG,DF⊥AG,
∴∠AEB=∠DFA=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,
∴∠ABE=∠DAF,
∴△ABE≌△DAF.
(2)設(shè)EF=x,則AE=1+x.
由(1)可知△ABE≌△DAF,
故BE=AF=1,DF=AE=1+x,
∴S四邊形ABED=S△ABE+S△AED=12BE·AE+12AE·DF=12(1+x)+12(1+x)2.
又S四邊形ABED=6,
∴
17、12(1+x)+12(1+x)2=6,
解得x1=-5(不合題意,舍去),x2=2.故EF的長(zhǎng)為2.
24.解:(1)證明:∵AF=FG,∴∠FAG=∠FGA.
∵AG平分∠CAB,∴∠CAG=∠FAG,
∴∠CAG=∠FGA,∴AC∥FG.
∵DE⊥AC,∴FG⊥DE.
∵FG⊥BC,∴DE∥BC,∴AC⊥BC,
∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED.
∵F是AD的中點(diǎn),FG∥AE,∴H是DE的中點(diǎn),
∴FG是線段ED的垂直平分線,
∴GE=GD,∠GDE=∠GED,
∴∠CGE=∠GDE,∴△ECG≌△GHD.
(2)證明:過(guò)點(diǎn)G作GP⊥AB于點(diǎn)P,
18、∴GC=GP,易證△CAG≌△PAG,
∴AC=AP.
由(1)得EG=DG,
∴Rt△ECG≌Rt△DPG,
∴EC=PD,
∴AD=AP+PD=AC+EC.
(3)四邊形AEGF是菱形,理由如下:
∵∠B=30°,DE∥BC,∴∠ADE=30°,
∴AE=12AD,∴AE=AF=FG.
又由(1)得AE∥FG,∴四邊形AEGF是菱形.
25.解:(1)證明:∵四邊形ABCD為矩形,
∴∠A=∠D=90°,AB=DC.
又∵E為AD的中點(diǎn),∴AE=DE,
∴△ABE≌△DCE,∴BE=CE.
(2)①證明:∵△ABE≌△DCE,
∴∠AEB=∠DEC.
∵∠B
19、EC=90°,
∴∠AEB=∠DEC=45°,
∴∠ABE=∠ECB=45°.
∵∠BEM+∠BEN=∠CEN+∠BEN=90°,
∴∠BEM=∠CEN.
又∵BE=CE,∴△BEM≌△CEN.
②由①可知△ABE和△DCE都是等腰直角三角形,E為AD的中點(diǎn),
∴BC=AD=2AB=4.
設(shè)BM=CN=x,則BN=4-x,0≤x≤2.
S△BMN=12BM·BN=12x(4-x)=-12x2+2x=-12(x-2)2+2,
∴當(dāng)x=2時(shí),△BMN的面積最大,最大面積為2.
③∵BC∥AD,∠FEG=90°,
∴∠BNG=∠FEG=90°.
∵∠F=30°,∴∠NBG=∠F=30°.
由①可知∠EBN=45°.
設(shè)NG=x,則BG=2x,BN=3x,EN=3x,
∴BE=3x·2=6x,
∴S△EBG=12·BE·BGsin∠EBG=12EG·BN,
∴sin∠EBG=EG·BNBE·BG=(3x+x)·3x6x·2x=6+24.
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