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1、專題訓練(六)
[分類討論思想]
1.[2017·聊城]如圖ZT6-1是由8個全等的矩形組成的大正方形,線段AB的端點都在小矩形的頂點上,如果點P是某個小矩形的頂點,連接PA,PB,那么使△ABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是 ( )
圖ZT6-1
A.2個 B.3個
C.4個 D.5個
2.[2017·義烏]如圖ZT6-2,∠AOB=45°,點M,N在邊OA上,OM=x,ON=x+4,點P是邊OB上的點,若使P,M,N構成等腰三角形的點P恰好有三個,則x的值是 .?
圖ZT6-2
3.[2017·齊齊哈爾]如圖ZT6-3,在等腰三角形紙片ABC中,AB=AC=
2、10,BC=12,沿底邊BC上的高AD剪成兩個三角形,用這兩個三角形拼成平行四邊形,則這個平行四邊形較長的對角線的長是 .?
圖ZT6-3
4.[2017·綏化]在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直線BC于點D,若AD=12BC,則△ABC的頂角的度數(shù)為 .?
5.[2018·安徽]矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內部,點E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長為 .?
6.[2017·眉山]如圖ZT6-4,拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于C點,已知A(3,0),且M1,-83是拋
3、物線上一點.
圖ZT6-4
(1)求a,b的值;
(2)連接AC,設點P是y軸上任一點,若以P,A,C三點為頂點的三角形是等腰三角形,求P點的坐標;
(3)若點N是x軸正半軸上且在拋物線內的一動點(不與O,A重合),過點N作NH∥AC交拋物線的對稱軸于點H.設ON=t,△ONH的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關系式.
7.[2017·煙臺]如圖ZT6-5①,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,AB=4.矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線于點E.
圖ZT6-5
(1)求拋物線的表達式.
(2)如圖ZT6-5②,點P是直線E
4、O上方拋物線上的一個動點,過點P作y軸的平行線交直線EO于點G,作PH⊥EO,垂足為H.設PH的長為l,點P的橫坐標為m,求l與m的函數(shù)關系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值.
(3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點M,使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.
8.從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交,頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形,如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形,另一個與原三角形相似,我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.
5、
圖ZT6-6
(1)如圖ZT6-6①,在△ABC中,CD為角平分線,∠A=40°,∠B=60°,求證:CD為△ABC的完美分割線.
(2)在△ABC中,∠A=48°,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD為等腰三角形,求∠ACB的度數(shù).
(3)如圖②,△ABC中,AC=2,BC=2,CD是△ABC的完美分割線,且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長.
參考答案
1.B [解析] 由圖可知,矩形的長是寬的2倍,以點B為直角頂點構成等腰直角三角形的點P有2個,以點A為直角頂點構成等腰直角三角形的點P有1個,∴滿足條件的有3個.
2.0
6、或42-4或4
7、行四邊形較長的對角線的長是10或413或273.
4.30°或90°或150° [解析] 應分下列三種情況求頂角.(1)若角A是頂角,如圖①,AD=12BC,則AD=BD,底角為45°,所以頂角為90°;(2)若角A不是頂角,當三角形是銳角三角形時,如圖②,則在△ACD中,AD=12BC=12AC,所以頂角為30°;若三角形是鈍角三角形,如圖③,則∠ACD=30°,所以頂角為150°.故填30°或90°或150°.
5.3或65 [解析] 由題意知,點P在線段BD上.(1)如圖所示,若PD=PA,則點P在AD的垂直平分線上,故點P為BD的中點,PE⊥BC,故PE∥CD,故PE=12DC
8、=3;
(2)如圖所示,
若DA=DP,則DP=8,在Rt△BCD中,BD=BC2+CD2=10,∴BP=BD-DP=2.∵△PBE∽△DBC,∴PEDC=BPBD=15,∴PE=15CD=65.
綜上所述,PE的長為3或65.
6.解:(1)由題意,得9a+3b-2=0,a+b-2=-83,
解得a=23,b=-43.
(2)由(1)得,拋物線的關系式為y=23x2-43x-2,當x=0時,y=-2,∴C(0,-2).
∵以P,A,C三點為頂點的三角形是等腰三角形,∴分三種情況:
①若AC=AP(如圖①),
由AO⊥CP,得OP=OC=2,∴P1(0,2);
9、②若CA=CP(如圖②),
∵AC=OA2+OC2=32+22=13,
∴P2(0,-2+13),P3(0,-2-13);
③若AP=PC(如圖③),設點P的坐標為(0,m),則AP=PC=m+2,由勾股定理,得AP2=OP2+OA2,∴(m+2)2=m2+32,解得m=54,
∴P40,54.
綜上所述,符合條件的點P有4個,坐標分別為P1(0,2),P2(0,-2+13),P3(0,-2-13),P40,54.
(3)設拋物線的對稱軸交x軸于點D,交AC于點E,
∵拋物線y=23x2-43x-2的對稱軸為直線x=1,
∴D(1,0).
又∵tan∠OAC=DEDA=OCO
10、A,
∴DE2=23,
∴DE=43.
∵NH∥AC,∴△DHN∽△DEA,
∴DHDE=DNDA,即DH43=|t-1|2,
∴DH=23|t-1|.
分兩種情況:
①當0
11、B=4,∴A(-3,0).
設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-1).
將點C的坐標代入得-3a=2,
解得a=-23,
∴拋物線的解析式為y=-23x2-43x+2.
(2)∵點E在CD上,∴yE=2.
將y=2代入拋物線的解析式,得-23x2-43x+2=2,解得x=0或x=-2.
∴E(-2,2).
∴EC=OC=2,∴∠COE=45°.
∵PG∥y軸,
∴∠PGH=∠COE=45°.
又∵PH⊥OE,
∴PH=22PG.
設直線OE的解析式為y=kx,將點E的坐標代入,得-2k=2,解得k=-1.
∴直線OE的解析式為y=-x.
設點P的坐標為m,-2
12、3m2-43m+2,則點G的坐標為(m,-m).
∴PG=-23m2-43m+2+m=-23m2-13m+2.
∴l(xiāng)=22×-23m2-13m+2=-23m2-26m+2=-23m+142+49248.
∴l(xiāng)的最大值為49248.
(3)拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=-1.設點N的坐標為(-1,n),點M的坐標為(x,y).
①當AC為平行四邊形的對角線時,依據(jù)線段的中點坐標公式可知-1+x2=0-32,解得x=-2.
將x=-2代入拋物線的解析式得y=2.
∴M(-2,2).
②當AM為平行四邊形的對角線時,依據(jù)線段的中點坐標公式可知-3+x2=-1+02,
解得x=2
13、.
將x=2代入拋物線的解析式得y=-23×4-43×2+2=-103.
∴M2,-103.
③當AN為平行四邊形的對角線時,依據(jù)線段的中點坐標公式可知0+x2=-1+(-3)2,解得x=-4.
將x=-4代入拋物線的解析式得y=-103.
∴M-4,-103.
綜上所述,點M的坐標為(-2,2)或2,-103或-4,-103.
8.解:(1)證明:∵∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=80°,
∴△ABC不是等腰三角形,
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=12∠ACB=40°,
∴∠ACD=∠A=40°,∴△ACD為等腰三角形,
∵∠DCB=∠A=40°,∠
14、CBD=∠ABC,
∴△BCD∽△BAC,
∴CD是△ABC的完美分割線.
(2)①當AD=CD時,如圖①,∠ACD=∠A=48°,
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.
②當AD=AC時,如圖②,∠ACD=∠ADC=180°-48°2=66°,
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°.
③當AC=CD時,如圖③,∠ADC=∠A=48°,
∵△BDC∽△BCA,
∴∠BCD=∠A=48°,
∵∠ADC>∠BCD,矛盾,舍去.
∴∠ACB=96°或114°.
(3)由已知AC=AD=2,
∵△BCD∽△BAC,
∴BCBA=BDBC,設BD=x,
∴(2)2=x(x+2),∵x>0,∴x=3-1,
∵△BCD∽△BAC,
∴CDAC=BDBC=3-12,∴CD=3-12×2=6-2.
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