內(nèi)蒙古包頭市2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第五單元 四邊形 課時(shí)訓(xùn)練26 正方形及中點(diǎn)四邊形練習(xí)

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1、 課時(shí)訓(xùn)練(二十六)　 正方形及中點(diǎn)四邊形 |夯實(shí)基礎(chǔ)| 1.根據(jù)下列條件,能判定一個(gè)四邊形是正方形的是 (　　) A.對(duì)角線互相垂直且平分 B.對(duì)角相等 C.對(duì)角線互相垂直、平分且相等 D.對(duì)角線相等 2.[2018·濱州] 下列命題,其中是真命題的為(　　) A.一組對(duì)邊平行,另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形 B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C.對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D.一組鄰邊相等的矩形是正方形 3.[2016·河北] 關(guān)于?ABCD的敘述,正確的是(　　) A.若AB⊥BC,則?ABCD是菱形 B.若AC⊥BD,則?ABCD是正方形 C.若AC=

2、BD,則?ABCD是矩形 D.若AB=AD,則?ABCD是正方形 4.[2017·廣安] 下列說(shuō)法: ①四邊相等的四邊形一定是菱形; ②順次連接矩形各邊中點(diǎn)形成的四邊形一定是正方形; ③對(duì)角線相等的四邊形一定是矩形; ④經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線,一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分. 其中正確的個(gè)數(shù)是 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 5.若順次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn),得到的圖形是一個(gè)矩形,則四邊形ABCD一定是 (　　) A.矩形 B.菱形　 C.對(duì)角線相等的四邊形 D.對(duì)角線互相垂直的四邊形 6.如圖26-5,正方形ABC

3、D的周長(zhǎng)為28 cm,點(diǎn)N在對(duì)角線BD上,則矩形MNGC的周長(zhǎng)是 (　　) 圖26-5 A.24 cm B.14 cm C.18 cm D.7 cm 7.如圖26-6,直線l過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)B,點(diǎn)A,C到直線l的距離分別為1和3,則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是(　　) 圖26-6 A.22 B.3 C.10 D.4 8.[2018·天津] 如圖26-7,在正方形ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),P為對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列線段的長(zhǎng)等于AP+EP最小值的是 (　　) 圖26-7 A.AB B.DE C.BD

4、 D.AF 9.[2017·棗莊] 如圖26-8,把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開(kāi),折痕為MN,再過(guò)點(diǎn)B折疊紙片,使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處,折痕為BE.若AB的長(zhǎng)為2,則FM的長(zhǎng)為(　　) 圖26-8 A.2 B.3 C.2 D.1 10.[2017·泰安] 如圖26-9,在正方形ABCD中,M為BC上一點(diǎn),ME⊥AM,ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.若AB=12,BM=5,則DE的長(zhǎng)為 (　　) 圖26-9 A.18 B.1095 C.965 D.253 11.[2018·青島] 如圖26-10,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,

5、點(diǎn)E,F分別在AD,DC上,AE=DF=2,BE與AF相交于點(diǎn)G,H為BF的中點(diǎn),連接GH,則GH的長(zhǎng)為　　　　.? 圖26-10 12.[2018·德陽(yáng)] 如圖26-11,將邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形A'BC'D',那么圖中陰影部分的面積為 (　　) 圖26-11 A.3 B.3 C.3-3 D.3-32 13.正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2,則正方形的周長(zhǎng)為　　　　,面積為　　　　.? 14.[2017·蘭州] 在平行四邊形ABCD中,對(duì)角線AC與DB相交于點(diǎn)O.要使四邊形ABCD是正方形,還需添加一組條件.下面給出了四組條件:①AB⊥A

6、D,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正確的是　　　　(填序號(hào)).? 15.[2015·無(wú)錫] 如圖26-12,已知矩形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為8 cm,E,F,G,H分別是AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則四邊形EFGH的周長(zhǎng)等于　　　　 cm.? 圖26-12 16.[2015·廣安] 如圖26-13,已知E,F,G,H分別為菱形ABCD四邊的中點(diǎn),AB=6 cm,∠ABC=60°,則四邊形EFGH的面積為　　　　 cm2.? 圖26-13 17.[2017·宿遷] 如圖26-14,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,點(diǎn)

7、E在邊AB上,且BE=1.若點(diǎn)P在對(duì)角線BD上移動(dòng),則PA+PE的最小值是　　　　.? 圖26-14 18.[2017·包頭樣題二] 如圖26-15,邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形,小正方形的頂點(diǎn)均在大正方形的邊或?qū)蔷€上.若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1,S2,則S1與S2的和為　　　　.? 圖26-15 19.[2017·常德] 如圖26-16,正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的邊上,若設(shè)AE=x,正方形EFGH的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為　　　　　　　　(不必寫出自變量的取值范圍).? 圖26-16 20.[2018·白銀] 如圖26-1

8、7,已知矩形ABCD中,E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F,G,H分別是BC,BE,CE的中點(diǎn). (1)求證:△BGF≌△FHC; (2)設(shè)AD=a,當(dāng)四邊形EGFH是正方形時(shí),求矩形ABCD的面積. 圖26-17 21.[2018·聊城] 如圖26-18,在正方形ABCD中,E是BC上的一點(diǎn),連接AE,過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AE,垂足為H,延長(zhǎng)BH交CD于點(diǎn)F,連接AF. (1)求證:AE=BF; (2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)是5,BE=2,求AF的長(zhǎng). 圖26-18 22.[2018·濰坊] 如圖26-19,M是正方形ABCD的邊

9、CD上一點(diǎn),連接AM,作DE⊥AM于點(diǎn)E,BF⊥AM于點(diǎn)F,連接BE. (1)求證:AE=BF; (2)已知AF=2,四邊形ABED的面積為24,求∠EBF的正弦值. 圖26-19 23.[2017·眉山] 如圖26-20,E是正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),連接DE,過(guò)頂點(diǎn)B作BF⊥DE,垂足為F,BF交AC于點(diǎn)H,交DC于點(diǎn)G. (1)求證:BG=DE; (2)若G為CD的中點(diǎn),求HGGF的值. 圖26-20 |拓展提升| 24.[2018·包頭樣題一] 如圖26-21,已知四邊形

10、ABCD和四邊形DEFG為正方形,點(diǎn)E在線段DC上,點(diǎn)A,D,G在同一條直線上,且AD=3,DE=1,連接CG,AE,并延長(zhǎng)AE交CG于點(diǎn)H,則EH的長(zhǎng)為 (　　) 圖26-21 A.105 B.2105 C.355 D.55 25.[2018·臺(tái)州] 如圖26-22,在正方形ABCD中,AB=3,點(diǎn)E,F分別在CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于點(diǎn)G.若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2∶3,則△BCG的周長(zhǎng)為　　　　.? 圖26-22 26.[2017·青山區(qū)一模] 如圖26-23,在正方形ABCD中,AC為對(duì)角線,E為AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作

11、EF∥AD,與AC,DC分別交于點(diǎn)G,F,H為CG的中點(diǎn),連接DE,EH,DH,FH.下列結(jié)論: ①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若AEAB=23,則3S△EDH=13S△DHC,其中正確的結(jié)論是 　　　　(填序號(hào)).? 圖26-23 27.[2018·青山區(qū)二模] 如圖26-24,在正方形ABCD中,△BPC是等邊三角形,BP,CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E,F,連接BD,DP,BD與CF相交于點(diǎn)H,給出下列結(jié)論: ①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PH·PC. 其中正確的是　　　　(填序號(hào)).?

12、圖26-24 參考答案 1.C 2.D 3.C 4.C　[解析] 根據(jù)菱形的判定定理,四邊相等的四邊形一定是菱形,故①正確;由于矩形的對(duì)角線相等,根據(jù)三角形的中位線定理,可得順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得四邊形的四條邊相等,由此可判定所得四邊形是菱形,故②錯(cuò)誤;對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形,故③錯(cuò)誤;平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,根據(jù)中心對(duì)稱圖形的性質(zhì),經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心的任意一條直線都把它分成兩個(gè)全等形,面積當(dāng)然相等,所以經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線,一定能把平行四邊形分成面積相等的兩部分,故④正確.綜上所述,正確的說(shuō)法有2個(gè).故選C. 5.D　6.B　7.C 8.D　[解析] 如圖

13、,取CD的中點(diǎn)E',連接AE',PE'. 由正方形軸對(duì)稱的性質(zhì)可知EP=E'P,AF=AE', ∴AP+EP=AP+E'P. ∵AP+E'P≥AE',∴AP+EP的最小值是AE'的長(zhǎng), 即AP+EP的最小值是AF的長(zhǎng). 故選D. 9.B　[解析] ∵四邊形ABCD為正方形,AB=2,M,N分別為BC,AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B折疊紙片,使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處,∴FB=AB=2,BM=1.在Rt△BMF中,FM=BF2-BM2=22-12=3,故選B. 10.B　[解析] 在Rt△ABM中,根據(jù)勾股定理得AM=AB2+BM2=122+52=13,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以AD=

14、AB=12.因?yàn)镸E⊥AM,所以∠AME=90°,所以∠AME=∠MBA.因?yàn)锳D∥BC,所以∠EAM=∠AMB,所以△ABM∽△EMA,所以BMAM=AMAE,即513=13AE,所以AE=1695,所以DE=AE-AD=1695-12=1095. 11.342　[解析] ∵四邊形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD=5,∠BAD=∠D=∠C=90°.又∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF,∴∠DAF=∠ABE,∴∠ABE+∠BAG=∠DAF+∠BAG=90°,即∠BGF=90°.在Rt△BCF中,CF=CD-DF=3,∴BF=52+32=34.在Rt△BGF中,∵H為BF的中點(diǎn),∴G

15、H=12BF=342. 12.C　[解析] 如圖,連接AM.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠1=∠4=30°, ∴∠2+∠3=60°. 在Rt△ABM和Rt△C'BM中, ∵AB=C'B, ∴Rt△ABM≌Rt△C'BM, ∴∠2=∠3=30°. 在Rt△ABM中,∵AB=3,∠2=30°, ∴AM=tan30°·AB=1. ∴S△ABM=S△BMC'=32, ∴S陰影=S正方形A'BC'D'-(S△ABM+S△BMC')=3-3. 13.42　2 14.①③④　[解析] ①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形;有一組鄰邊相等的矩形是正方形,故①正確; ②BD為平行四邊形的對(duì)角線,

16、AB為平行四邊形的其中一條邊,所以AB=BD時(shí),平行四邊形不可能是正方形,故②錯(cuò)誤; ③由OB=OC,得AC=BD,由OB⊥OC得AC⊥BD, ∴?ABCD為正方形,故③正確; ④由AB=AD,得?ABCD為菱形.又∵AC=BD,∴四邊形ABCD為正方形,故④正確. 15.16　16.93 17.10　[解析] 連接PC.根據(jù)正方形的對(duì)稱性知PA=PC,所以當(dāng)點(diǎn)C,P,E在同一條直線上時(shí),PA+PE=PC+PE=CE最小,根據(jù)勾股定理求得CE=BC2+BE2=32+12=10. 18.17 19.y=2x2-4x+4　[解析] 由題中條件可知,圖中的四個(gè)直角三角形是全等三角形,A

17、E=x,則AF=2-x.在Rt△EAF中,由勾股定理可得EF2=(2-x)2+x2=2x2-4x+4,即正方形EFGH的面積y=2x2-4x+4. 20.解:(1)證明:∵F是BC邊的中點(diǎn), ∴BF=FC. ∵F,G,H分別是BC,BE,CE的中點(diǎn), ∴GF,FH是△BEC的中位線, ∴GF=HC,FH=BG. 在△BGF和△FHC中, BF=FC,BG=FH,GF=HC, ∴△BGF≌△FHC(SSS). (2)當(dāng)四邊形EGFH是正方形時(shí),∠BEC=90°,GF=GE=EH=FH. ∵GF,FH是△BEC的中位線, ∴BE=CE, ∴△BEC是等腰直角三角形. 連接

18、EF,則EF⊥BC,EF=12BC=12AD=12a, ∴S矩形ABCD=AD·EF=a·12a=12a2. 21.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°. ∵BH⊥AE,垂足為H, ∴∠BAE+∠ABH=90°. ∵∠CBF+∠ABH=90°, ∴∠BAE=∠CBF. 在△ABE和△BCF中,∠ABE=∠C=90°,AB=BC,∠BAE=∠CBF, ∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF. (2)∵△ABE≌△BCF, ∴CF=BE=2. ∵正方形的邊長(zhǎng)為5, ∴AD=CD=5, ∴DF=CD-CF=5-2=3.

19、在Rt△ADF中,AF=AD2+DF2=52+32=34. 22.解:(1)證明:∵四邊形ABCD為正方形, ∴AB=AD,∠BAD=90°, ∴∠BAE+∠EAD=90°. ∵BF⊥AM,DE⊥AM, ∴∠DEA=∠AFB=90°, ∴∠EAD+∠ADE=90°, ∴∠BAE=∠ADE. ∴△ABF≌△DAE, ∴AE=BF. (2)設(shè)EF=x,則AE=x+2,BF=AE=x+2. ∵△ABF≌△DAE, ∴S四邊形ABED=S△BEF+S△ABF+S△DAE=S△BEF+2S△ABF=24, 即12x(x+2)+12×2(x+2)×2=24, 解得x1=4,x2

20、=-10(舍去), ∴EF=4,BF=6, ∴BE=42+62=213, ∴sin∠EBF=EFBE=4213=21313. 23.[解析] (1)要證明BG=DE,只需證明△BCG≌△DCE,利用AAS或ASA證明即可;(2)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,先求出BG的長(zhǎng),從而得出CE,DE的長(zhǎng),分別利用△ABH∽△CGH和△DFG∽△DCE,得到HG和GF的長(zhǎng),從而求出HGGF的值. 解:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴BC=DC,∠BCD=90°, ∴∠DCE=180°-90°=90°, ∴∠BCD=∠DCE, ∴∠CBG+∠BGC=90°. ∵BF⊥DE,∴∠

21、CBG+∠E=90°, ∴∠BGC=∠E, ∴△BCG≌△DCE,∴BG=DE. (2)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a. ∵G為CD的中點(diǎn), ∴CG=GD=12a. 在Rt△BCG中,BG=BC2+CG2=a2+a22=52a. ∵△BCG≌△DCE, ∴CE=CG=a2,DE=BG=52a. ∵AB∥DC,∴△ABH∽△CGH, ∴BHGH=ABCG=2,∴HGBG=13, ∴HG=13BG=13×52a=56a. 又∵∠DFG=∠DCE=90°,∠FDG=∠CDE, ∴△DFG∽△DCE, ∴GFEC=DGDE,即GF12a=12a52a,解得GF=510a, ∴

22、HGGF=56a510a=53. 24.A 25.3+15　[解析] ∵在正方形ABCD中,AB=3, ∴S正方形ABCD=32=9. ∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2∶3, ∴空白部分的面積與正方形ABCD的面積之比為1∶3, ∴S空白=3. ∵四邊形ABCD是正方形, ∴BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°. 又∵CE=DF, ∴△BCE≌△CDF(SAS), ∴∠CBE=∠DCF. ∵∠DCF+∠BCG=90°, ∴∠CBE+∠BCG=90°, 即∠BGC=90°,△BCG是直角三角形. 易知S△BCG=S四邊形FGED=32,∴S△BCG=

23、12BG·CG=32, ∴BG·CG=3. 在Rt△BCG中,根據(jù)勾股定理,得BG2+CG2=BC2, 即BG2+CG2=9, ∴(BG+CG)2=BG2+2BG·CG+CG2=9+2×3=15, ∴BG+CG=15, ∴△BCG的周長(zhǎng)=BG+CG+BC=3+15. 26.①②③④　[解析] ∵四邊形ABCD為正方形,EF∥AD,∴EF=AD=DC,∠ACD=45°,∠GFC=90°,∴△GFC為等腰直角三角形, ∴GF=CF,∴EF-GF=DC-CF,即EG=DF,故①正確; ∵△CFG為等腰直角三角形,H為CG的中點(diǎn), ∴FH=CH,∠EFH=∠DCH=45°. 又∵

24、EF=DC,∴△EHF≌△DHC,故③正確; ∵△EHF≌△DHC, ∴∠FEH=∠CDH,∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠FEH+∠ADF-∠CDH=∠AEF+∠ADF=180°,故②正確; ∵AEAB=23,∴AE=2BE. 在△EGH和△DFH中,∵EG=DF,∠EGH=∠DFH=135°,GH=FH, ∴△EGH≌△DFH, ∴EH=DH,∠EHG=∠DHF, ∴∠EHD=∠EHG+∠AHD=∠AHD+∠DHF=∠AHF=90°, ∴△EHD是等腰直角三角形. 過(guò)點(diǎn)H作HM⊥CD于點(diǎn)M,設(shè)HM=x,則DM=5x,CD=6x,DH=26x,∴S△EDH=12DH2=13x2, S△DHC=12HM·CD=3x2,∴3S△EDH=13S△DHC,故④正確. 27.①②④ 18