2021-2022年三年級數學 奧數講座 找規(guī)律（一）

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1、2021-2022年三年級數學 奧數講座 找規(guī)律（一） 　　這一講我們先介紹什么是“數列”，然后講如何發(fā)現和尋找“數列”的規(guī)律。 　　按一定次序排列的一列數就叫數列。例如， (1) 1，2，3，4，5，6，… (2) 1，2，4，8，16，32； (3) 1，0，0，1，0，0，1，… (4) 1，1，2，3，5，8，13。 　　一個數列中從左至右的第n個數，稱為這個數列的第n項。如，數列(1)的第3項是3，數列(2)的第3項是4。一般地，我們將數列的第n項記作an。 　　數列中的數可以是有限多個，如數列(2)(4)，也可以是無限多個，如數列(1)(3)。 　　許多數列中的數

2、是按一定規(guī)律排列的，我們這一講就是講如何發(fā)現這些規(guī)律。 　　數列(1)是按照自然數從小到大的次序排列的，也叫做自然數數列，其規(guī)律是：后項=前項+1，或第n項an＝n。 　　數列(2)的規(guī)律是：后項=前項×2，或第n項 　　數列(3)的規(guī)律是：“1，0，0”周而復始地出現。 　　數列(4)的規(guī)律是：從第三項起，每項等于它前面兩項的和，即 　　a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5， 　　a6=3+5=8，a7=5+8=13。 　　常見的較簡單的數列規(guī)律有這樣幾類： 　　第一類是數列各項只與它的項數有關，或只與它的前一項有關。例如數列(1)(2)。 　　第二類是前后

3、幾項為一組，以組為單元找關系才可找到規(guī)律。例如數列(3)(4)。 　　第三類是數列本身要與其他數列對比才能發(fā)現其規(guī)律。這類情形稍為復雜些，我們用后面的例3、例4來作一些說明。 例1 找出下列各數列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內填上合適的數： (1)4，7，10，13，( )，… (2)84，72，60，( )，( )； (3)2，6，18，( )，( )，… (4)625，125，25，( )，( )； (5)1，4，9，16，( )，… (6)2，6，12，20，( )，( )，… 解：通過對已知的幾個數的前后兩項的觀察、分析，可發(fā)現 (1)的規(guī)律是：前項+3=后項。所以應

4、填16。 (2)的規(guī)律是：前項-12=后項。所以應填48，36。 (3)的規(guī)律是：前項×3=后項。所以應填54，162。 (4)的規(guī)律是：前項÷5=后項。所以應填5，1。 (5)的規(guī)律是：數列各項依次為 　　1=1×1， 4=2×2， 9=3×3， 16=4×4， 　　所以應填5×5=25。 (6)的規(guī)律是：數列各項依次為 　　2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5， 　　所以，應填 5×6=30， 6×7=42。 　　說明：本例中各數列的每一項都只與它的項數有關，因此an可以用n來表示。各數列的第n項分別可以表示為 (1)an＝3n+1；(2)an＝96-1

5、2n； (3)an＝2×3n-1；(4)an＝55-n；(5)an＝n2；(6)an＝n(n+1)。 　　這樣表示的好處在于，如果求第100項等于幾，那么不用一項一項地計算，直接就可以算出來，比如數列(1)的第100項等于3×100+1=301。本例中，數列(2)(4)只有5項，當然沒有必要計算大于5的項數了。 例2 找出下列各數列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內填上合適的數： (1)1，2，2，3，3，4，( )，( )； (2)( )，( )，10，5，12，6，14，7； (3) 3，7，10，17，27，( )； (4) 1，2，2，4，8，32，( )。 解：通過對各數列

6、已知的幾個數的觀察分析可得其規(guī)律。 (1)把數列每兩項分為一組，1，2，2，3，3，4，不難發(fā)現其規(guī)律是：前一組每個數加1得到后一組數，所以應填4，5。 (2)把后面已知的六個數分成三組：10，5，12，6，14，7，每組中兩數的商都是2，且由5，6，7的次序知，應填8，4。 (3)這個數列的規(guī)律是：前面兩項的和等于后面一項，故應填( 17+27=)44。 (4)這個數列的規(guī)律是：前面兩項的乘積等于后面一項，故應填(8×32=)256。 例3 找出下列各數列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內填上合適的數： (1)18，20，24，30，( )； (2)11，12，14，18，26，(

7、)； (3)2，5，11，23，47，( )，( )。 解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，說明(后項-前項)組成一新數列2，4，6，…其規(guī)律是“依次加2”，因為6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故 　　a5=8+30=38。 (2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，組成一新數列1，2，4，8，…按此規(guī)律，8后面為16。因此，a6-a5＝a6-26=16，故a6＝16+26=42。 (3)觀察數列前、后項的關系，后項=前項×2+1，所以 　　a6=2a5+1＝2×47+1＝95， 　　a7＝2a6+1＝2×95

8、+1=191。 例4 找出下列各數列的規(guī)律，并按其規(guī)律在( )內填上合適的數： (1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )； (2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。 解：(1)數列的第1，3，5，…項組成一個新數列12，17， 22，…其規(guī)律是“依次加5”，22后面的項就是27；數列的第2，4，6，…項組成一個新數列15，30，45，…其規(guī)律是“依次加15”，45后面的項就是60。故應填27，60。 (2)如(1)分析，由奇數項組成的新數列2，5，8，…中，8后面的數應為11；由偶數項組成的新數列8，6，4，… 中，4后面的數應為2。故應填11，2。 ??

9、 ?練習5 　　 　　按其規(guī)律在下列各數列的( )內填數。 　　1.56，49，42，35，( )。 　　2.11， 15， 19， 23，( )，… 　　3.3，6，12，24，( )。 　　4.2，3，5，9，17，( )，… 　　5.1，3，4，7，11，( )。 　　6.1，3，7，13，21，( )。 　　7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。 　　8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。 　　9.2，5，10，17，26，( )。 　　10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。 　　11.數列1，3，5，7，11，13

10、，15，17。 (1)如果其中缺少一個數，那么這個數是幾？應補在何處？ (2)如果其中多了一個數，那么這個數是幾？為什么？ 附送： 2021-2022年三年級數學 奧數講座 找規(guī)律（二） 　　這一講主要介紹如何發(fā)現和尋找圖形、數表的變化規(guī)律。 例1 觀察下列圖形的變化規(guī)律，并按照這個規(guī)律將第四個圖形補充完整。 分析與解：觀察前三個圖，從左至右，黑點數依次為4，3，2個，并且每個圖形依次按逆時針方向旋轉90°，所以第四個圖如右圖所示。 　　觀察圖形的變化，主要從各圖形的形狀、方向、數量、大小及各組成部分的相對位置入手，從中找出變化規(guī)律。 例2 在下列各組圖形中尋找規(guī)

11、律，并按此規(guī)律在“？”處填上合適的數： 　　 　　 解：(1)觀察前兩個圖形中的數可知，大圓圈內的數等于三個小圓圈內的數的乘積的一半，故 　　第三個圖形中的“？”=5×3×8÷2=60； 　　第四個圖形中的“？”=(21×2)÷3÷2=7。 (2)觀察前兩個圖形中的已知數，發(fā)現有 　　10=8+5-3， 8=7+4-3， 　　即三角形里面的數的和減去三角形外面的數就是中間小圓圈內的數。故 　　第三個圖形中的“？”=12+1-5=8； 　　第四個圖形中的“？”=7+1-5=3。 例3 尋找規(guī)律填數： 　　 解：(1)考察上、下兩數的差。32-16=16，31-15=16

12、，33-17=16，可知，上面那個“？”=35-16=19，下面那個“？”=18+16=34。 (2)從左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，…知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，…知，9下面的“？”=14。 例4 尋找規(guī)律在空格內填數： 　　 　　 解：(1)因為前兩圖中的三個數滿足： 　　256=4×64，72=6×12， 　　所以，第三圖中空格應填12×15=180；第四圖中空格應填169÷13=13。第五圖中空格應填224÷7=32。 (2)圖中下面一行的數都是上一行對應數的3倍，故43下面應填43×3=129；87上面應填87÷3=2

13、9。 例5在下列表格中尋找規(guī)律，并求出“？”： 　　 解：(1)觀察每行中兩邊的數與中間的數的關系，發(fā)現3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。 (2)觀察每列中三數的關系，發(fā)現1+3×2=7，7+2×2=11，所以，？=4+5×2=14。 例6 尋找規(guī)律填數： (1) (2) 解：(1)觀察其規(guī)律知 (2)觀察其規(guī)律知： 　　觀察比較圖形、圖表、數列的變化，并能從圖形、數量間的關系中發(fā)現規(guī)律，這種能力對于同學們今后的學習將大有益處。 ? ?練習 　　尋找規(guī)律填數： 　　 　　 　　 　　 　　　 　　6.下圖中第50個圖形是△還是○？ 　　○△○○○△○○○△○…