六年級(jí)《速算與巧算》教案--第三講

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1、秋季vip學(xué)科優(yōu)化教案 第3 講 輔導(dǎo)科目 奧數(shù)就讀年級(jí) 六教師張嵐 課題 《速算與巧算》 授課時(shí)間 備課時(shí)間 教學(xué)目標(biāo) 1、掌握速算與巧算的方法，提高學(xué)生的計(jì)算能力和思維能力； 2,選用合理、靈活的計(jì)算方法，簡(jiǎn)便運(yùn)算過(guò)程，化繁為簡(jiǎn)，化難為 易，使計(jì)算又快又準(zhǔn)確。 3、理解提公因式即分配律的逆運(yùn)算 4、掌握“裂項(xiàng)”計(jì)算技巧 重、難點(diǎn) 1、計(jì)算方法的選擇 2、計(jì)算仔細(xì)程度 3、裂項(xiàng)計(jì)算技巧的應(yīng)用 教學(xué)內(nèi)容 教學(xué)部主管: 時(shí)間：2016年 月 日 u㈠承上啟下知識(shí)回憶」 運(yùn)算律回憶： 加法交換律：a+b=b+a 加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b

2、+c〕 減法的性質(zhì)：a — b — c=a — (b+c) 除法的性質(zhì)：a + b+c=a + (b xc) 乘法交換律：a x b=bx a 乘法結(jié)合律：ax bx c=ax (b x c) 乘法分酉己律：ax (b+c)=a xb+axc 提取公因數(shù)：這個(gè)方法等同于課內(nèi)所學(xué)的乘法分配律的逆運(yùn)算。一般情況下， 用提取公因數(shù)法解決的題目有 兩個(gè)特征。 一、要有“公因數(shù)”〔共同的因數(shù)〕，如果是“疑似”公因數(shù)〔例如38和3.8 或者38和19〕我們可以借助下面幾個(gè)方法對(duì)它進(jìn)行加工。 ① axb=(a x 10) x(b -h 10)②-xc= cx a ③ axbxc=ax(

3、b xc) b b 二、要有互補(bǔ)數(shù)。 分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 裂項(xiàng)的計(jì)算技巧： “裂和”型運(yùn)算 整數(shù)裂項(xiàng) “裂差”型運(yùn)算 知識(shí)點(diǎn)一：提公因數(shù)法 題型一、直接提取： 例1：計(jì)算 【思路導(dǎo)航】把算式補(bǔ)充完整，6.3X101-6.3X1,學(xué)生就很容易看出兩個(gè)乘法 算式中有相同的因數(shù)6.3。省略“1”的寫法，同學(xué)要看的出。 【解答】原式=6.3 X〔101-1〕 =6.3 X100 =630 【隨堂練習(xí)】 13汽+8615 X0.25+0.625 X 8615+86竺 19 19 19 19 例 2x x x 【思路導(dǎo)航】 觀察整個(gè)算式的過(guò)程中，你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)局部的公因數(shù)呢？

4、將局部 進(jìn)行提取公數(shù)計(jì)算，看看會(huì)發(fā)生什么事情？ 【解答】XX 乂 2 2.184〔這里是不是可以繼續(xù)提取公因數(shù)了呢〕 X〔7.816+2.184〕 X 10 總結(jié)：在加減乘除混合運(yùn)算中，先觀察有無(wú)公因數(shù)。如果沒(méi)有，有無(wú)局部的公 因數(shù)，有局部公因數(shù)的題目往往可以進(jìn)行二次提取。 【隨堂練習(xí)】計(jì)算 【變式訓(xùn)練】 題型二、有疑似公因數(shù)，變化后再提?。? 例 3 X 6.8+486 X 【思路導(dǎo)航】 此題直接計(jì)算不是好方法。經(jīng)驗(yàn)告訴我們，這道題一定可以提取 公因數(shù)。可是，公因數(shù)在哪呢？這里就需要我們構(gòu)造！此題中 6.8和0.32是不 是可以變成“補(bǔ)數(shù)”呢？ 【解答】X =361+4

5、0 =401 總結(jié)：當(dāng)題中出現(xiàn)“補(bǔ)數(shù)”或某些數(shù)可以化為“補(bǔ)數(shù)”時(shí)，要注意去湊公因數(shù)。 【隨堂練習(xí)】 計(jì)算33 X25- +37.9 X 6 555 【變式訓(xùn)練】計(jì)算 知識(shí)點(diǎn)二：計(jì)算三大技巧一一裂項(xiàng) 常見(jiàn)的裂項(xiàng)一般是將原來(lái)的分?jǐn)?shù)分拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)或多個(gè)分?jǐn)?shù)的和或差，使拆分 后的項(xiàng)可以前后抵消或湊整。這種題目看似結(jié)構(gòu)復(fù)雜，但一般無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜的 計(jì)算。 一般分為分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)和整數(shù)裂項(xiàng)，其中 分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)是重要考點(diǎn)。 例4、計(jì)算：1662+41 20 【思路導(dǎo)航】我們?nèi)绻业揭粋€(gè)數(shù)能被41整除，那么想想1662中是否包含這 20 樣的一個(gè)數(shù)呢？顯然我們要對(duì)16620進(jìn)行拆分。將它拆分成

6、164+2《,剛好164 能被41整除?！膊鸱挚梢钥闯珊?jiǎn)單的裂項(xiàng)〕 【解答】原式二 〔166+2 工〕+41 20 二 164 + 41 + 41 +41 20 1 20 1 20 =4+2 =4 【隨堂練習(xí)】54|i7 【變式訓(xùn)絹199-1998翳 思考：公式推導(dǎo)： 同學(xué)們都知道，在計(jì)算分?jǐn)?shù)加減法時(shí)，兩個(gè)分母不同的分?jǐn)?shù)相加減，要先通分 化成同分母分?jǐn)?shù)后再計(jì)算 例如：3x：=112,這里分母3、4是相鄰的兩個(gè)自然數(shù),公分母正好是它們的乘 積，把這個(gè)例題推廣到一般情況，就有一個(gè)很有用的等式: 11 n 1 n n n 1 n (n+1) n

7、 (n 1) _ n 1 n n (n 1) _1 n (n 1) 即1 工 —1—或者—1— 1， n n 1 n (n 1) n (n 1) n n 1 下面利用這個(gè)等式，巧妙地計(jì)算一些分?jǐn)?shù)求和的問(wèn)題 知識(shí)點(diǎn)二：計(jì)算技巧之“裂項(xiàng)” —、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)一一“裂差”型運(yùn)算 題型一：當(dāng)分母上是兩個(gè)數(shù)乘積的形式，分子可以表示分母上這兩個(gè)數(shù)的差， 則可以進(jìn)行裂項(xiàng)。 例5:計(jì)算，+，+，+……+^^ 1 2 2 3 3 499 100 【思路導(dǎo)航】分母是相鄰兩數(shù)之和，那么我們可以運(yùn)用上面所推導(dǎo)的公式進(jìn)行 拆分 【解答】原式= 二(1 2)+( 3) 4) 5) =1

8、 =1 1 1 —十 — 2 2 1 100 11111 3 3 4 4 5 1 +—— 98 +( )(- 98 99 99 1 1 1 99 99 100 1 100 99 100 【隨堂練習(xí)】計(jì)算上 1 1 11 12 12 13 1 49 50 【變式訓(xùn)練】計(jì)算，+，+，+……+^— 1 4 4 7 7 1019 20 〔提示：每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子為1,分母是3的兩個(gè)自然數(shù)的乘積，因此可將每個(gè)分 數(shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，結(jié)果擴(kuò)大三倍，那么我們將這個(gè)差縮小三倍才能作恒等 變形?！? 總結(jié)：將號(hào)分拆成兩個(gè)數(shù)的差時(shí),不要忘記乘以d,這樣才是恒等變形

9、。 題型二：當(dāng)分母上是幾個(gè)數(shù)的乘積形式，分子可以表示為頭尾兩個(gè)因數(shù)的差, 則可以進(jìn)行裂項(xiàng)。 思考：公式推導(dǎo)：例如將進(jìn)行恒等變形。12」——L 士- 2346 122334234234 分母6和12分解質(zhì)因式之后為〔2,3〕和〔2,2,3〕那么我們可以將它重新組合 成三個(gè)相鄰數(shù)相乘，此時(shí)分母擴(kuò)大了 擴(kuò)大兩倍。 2倍，要想分?jǐn)?shù)的大小不變，則分子也要 因此六六 2 或 2 = 1 2 3 4 2 3 4 2 3 則有公式: 2k n (n k) (n 2k) n (n k) (n k) (n 2k) 例6:計(jì)算 1111 +++

10、1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 【思路導(dǎo)航】我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了將分?jǐn)?shù)為兩個(gè)數(shù)相乘的分?jǐn)?shù)拆分成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減 的形式，同樣的道理我們也可以將分母為三個(gè)數(shù)相乘的分?jǐn)?shù)拆分成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之 差，且同樣使得一些分?jǐn)?shù)相抵消，從而到達(dá)簡(jiǎn)便計(jì)算的效果。 分母是連續(xù)的三個(gè)自然數(shù)相乘，且第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)相差2,而分子是1,必 須將分子變?yōu)?才能裂項(xiàng)、分子變?yōu)?、要使分?jǐn)?shù)大小不變、分?jǐn)?shù)值必須乘以-o 2- z 1 【解答】原式=(r^ i i i 2""3 F"3 3"^4 5 1 11111 ) 3 4 4 5 455 6 2 14 30 7 30 【隨堂練習(xí)

11、】 _^+^ + ^+??…+2 234 245 45698 99 100 例7：- + —+—+ —+—+—+—〔逆向運(yùn)用題型］ 6 12 20 30 42 56 72 【思路導(dǎo)航】對(duì)于多個(gè)不同分?jǐn)?shù)單位相加的計(jì)算題，我們一般試著把分母轉(zhuǎn)化 成兩數(shù)相乘的形式，然后嘗試用裂項(xiàng)法來(lái)解決。要注意整個(gè)過(guò)程中都是形式變 化而值不變。 【解答】原式=，+，+，+，+，+ 1223344556 =1-2 111 =1- 1 9 _8 —一 9 【隨堂練習(xí)】-1+^ + X + X + X + X 24 60 120 210 336 504 二、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)一一“裂和”型運(yùn)算 當(dāng)

12、分母上是兩個(gè)數(shù)的乘積的形式，分子可表示為分母上這兩個(gè)乘積的和，則可 以進(jìn)行裂和。 例如：工二%=2+ 2 = 1 + 1 2323232323 例：計(jì)算U衛(wèi) 5 6 6 7 1、 計(jì)算 +++ 1 3 5 357 579 + 11 13 15 2、計(jì)算 3、 112233 4、計(jì)算——+++++ 1 2 2 3 3 5 5 7 7 10 10 13 計(jì)算：3 + 6+5+工+旦+ 11 +史 5 7 6 12 20 30 42 教之以簡(jiǎn)用之為豐14 / 14