2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)及其應用 2.3 函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性練習 理 北師大版

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1、 2.3 函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性 核心考點·精準研析 考點一　函數(shù)奇偶性的判斷? 1.以下函數(shù)為奇函數(shù)的是 (　　) A.f(x)=　　　　　　 B.f(x)=ex C.f(x)=cos x　 D.f(x)=ex-e-x 2.函數(shù)f(x)=3x-,那么f(x) (　　) A.是奇函數(shù),且在R上是增加的 B.是偶函數(shù),且在R上是增加的 C.是奇函數(shù),且在R上是減少的 D.是偶函數(shù),且在R上是減少的 3.假設函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)(x∈R)是偶函數(shù),那么 (　　) A.函數(shù)f(g(x))是奇函數(shù) B.函數(shù)g(f(x)

2、)是奇函數(shù) C.函數(shù)f(x)·g(x)是奇函數(shù) D.函數(shù)f(x)+g(x)是奇函數(shù) 4.定義在R上的函數(shù)f(x),對任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,那么以下命題正確的選項是 (　　) A.f(x)是奇函數(shù) 　　　　 B.f(x)是偶函數(shù) C.f(x)+5是奇函數(shù)　 D.f(x)+5是偶函數(shù) 【解析】1.選D.對于A,定義域不關于原點對稱,故不是奇函數(shù);對于B, f(-x)=e-x=≠-f(x),故不是奇函數(shù);對于C,f(-x)=cos(-x)=cos x≠-f(x),故不是奇函數(shù);對于D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f

3、(x),是奇函數(shù). 2.選A.因為函數(shù)f(x)的定義域為R, f(-x)=3-x-=-3x=-f(x), 所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù). 因為函數(shù)y=在R上是減少的, 所以函數(shù)y=-在R上是增加的. 又因為y=3x在R上是增加的, 所以函數(shù)f(x)=3x-在R上是增加的. 3.選C.令h(x)=f(x)·g(x),因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),函數(shù)g(x)是偶函數(shù),所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函數(shù). 4.選C.取x1=x2=0,得f(0+0)-f(0)=

4、f(0)+5,所以f(0)=-5.令x1=x,x2=-x,那么f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函數(shù)f(x)+5是奇函數(shù). 　判斷函數(shù)奇偶性的方法 (1)定義法:利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價形式:=±1(f(x)≠0)判斷函數(shù)的奇偶性. (2)圖像法:利用函數(shù)圖像的對稱性判斷函數(shù)的奇偶性. (3)驗證法:即判斷f(x)±f(-x)是否為0. (4)性質(zhì)法:在公共定義域內(nèi)有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 考點二　函數(shù)的周期性及應用? 【典例】1.(20

5、21·南昌模擬)函數(shù)f(x)=如果對任意的n∈N*,定義fn(x)=,那么f2 019(2)的值為 (　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 2.函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),假設對于x≥0,都有f(x+2)=-,且當x∈[0,2)時,f(x)=log2(x+1),那么f(-2 017)+f(2 019)的值為 (　　) A.0　 B.-4　　 C.-2　　 D.2 3.(2021·重慶模擬)奇函數(shù)f(x)的圖像關于直線x=3對稱,當x∈[0,3]時,f(x)=-x,那么f(-16)=________. 【解題導思】 序號 聯(lián)想解題 1 由想到周期

6、函數(shù) 2 由f(x+2)=-,想到周期函數(shù) 3 由f(x)的圖像關于直線x=3對稱,想到f(x)=f(6-x) 【解析】1.選C.因為f1(2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2, 所以fn(2)的值具有周期性,且周期為3, 所以f2 019(2)=f3×673(2)=f3(2)=2. 2.選A.當x≥0時,f(x+2)=-,所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一個周期. 所以f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1, f(2 019)=f(3)=-=-1, 所以f(-2 017)+f(2 019)=

7、0. 3.根據(jù)題意,函數(shù)f(x)的圖像關于直線x=3對稱, 那么有f(x)=f(6-x),又由函數(shù)為奇函數(shù), 那么f(-x)=-f(x),那么有f(x)=-f(x-6)=f(x-12), 那么f(x)的最小正周期是12, 故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2. 答案:2 1.抽象函數(shù)的周期性 (1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中一個周期T=2a. (2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函數(shù),

8、其中的一個周期T=2a. (4)如果f(x+a)=f(x-b),那么T=|a+b|. (5)如果f(x)的圖像關于(a,0)對稱,且關于x=b對稱,那么T=4|a-b|. (6)如果f(x)的圖像關于(a,0)對稱,且關于(b,0)對稱,那么T=2|a-b|. 2.函數(shù)f(x)滿足的關系f(a+x)=f(b-x)說明的是函數(shù)圖像的對稱性,函數(shù)f(x)滿足的關系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)說明的是函數(shù)的周期性,在使用這兩個關系時不要混淆. 1.(2021·菏澤模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為π,且是奇函數(shù),f=1,那么f的值為 (　　) A.1 B.-1 C.0 D

9、.2 【解析】選B.因為函數(shù)f(x)的周期為π,所以f=f=f,因為f(x)為奇函數(shù),所以f=-f=-1. 2.(2021·長春模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)的周期為6,且f(x)=那么f(-7)+f(8)= (　　) A.11 B. C.7 D. 【解析】選A.根據(jù)f(x)的周期是6,故f(-7)=f(-1)=-(-1)+1=4, f(8)=f(2)=f(-2)=-(-2)+1=7,所以f(-7)+f(8)=11. 3.f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(x-2).假設當x∈[-3,0]時,f(x)=6-x,那么f(919)=________.? 【解析】因為f

10、(x+4)=f(x-2), 所以f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2]即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期為6的周期函數(shù), 所以f(919)=f(153×6+1)=f(1). 又f(x)是定義在R上的偶函數(shù), 所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6. 答案:6 考點三　函數(shù)性質(zhì)的綜合應用? 命 題 精 解 讀 1.考什么:(1)求函數(shù)值、解析式或參數(shù)值,奇偶性與單調(diào)性、奇偶性與周期性交匯等問題.(2)考查數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng). 2.怎么考:函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性以及對稱性(奇偶性質(zhì)的擴展)等知識單獨或交匯考查. 學 霸

11、 好 方 法 奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性 奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性. 求函數(shù)值、解析式或參數(shù)值 【典例】1.(2021·全國卷Ⅱ)f(x)是奇函數(shù),且當x<0時,f(x)=-eax.假設 f(ln 2)=8,那么a=________________.? 2.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)=2x2-x,那么當x>0時,f(x)= (　　) A.2x2-x　　 B.2x2+x C.-2x2-x　 D.-2x2+x 【解析】1.因為ln 2>0,所以-ln 2<0,由于f(x)是奇函數(shù)

12、,所以f(-ln 2)= -f(ln 2)=-8,即-e(-ln 2)a=-8,解得a=-3. 答案:-3 2.選C.當x>0時,-x<0,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)=-f(-x)=-2x2-x. 1.如何求奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上的解析式? 提示:將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間上,再利用奇偶性求出. 2.如何求奇偶函數(shù)對稱區(qū)間上的函數(shù)值? 提示:將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的函數(shù)值求解. 奇偶性與單調(diào)性交匯問題 【典例】函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上是減少的,且為奇函數(shù).假設f(1)=-1,那么滿足-1≤f

13、(x-2)≤1的x的取值范圍是 (　　) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 【解析】選D.由,得f(-1)=1,使-1≤f(x)≤1成立的x滿足-1≤x≤1,所以由-1≤x-2≤1得1≤x≤3,即使-1≤f(x-2)≤1成立的x滿足1≤x≤3. 解決與抽象函數(shù)有關的不等式問題的關鍵是什么? 提示:利用題設條件,想方法去掉“f〞符號即可解決. 奇偶性與周期性交匯問題 【典例】(2021·全國卷Ⅱ)f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).假設f(1)=2,那么f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= (　　

14、) A.-50 B.0 C.2 D.50 【解析】選C.f(x)是定義域為(-∞,+∞)的奇函數(shù),圖像關于原點對稱,滿足f(1-x)=f(1+x),那么f(x+4)=f(1-(x+3))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期為4的函數(shù). 又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2. 如何求解項數(shù)較多的式子的值? 提示:因為多項式個數(shù)較多,

15、可能與函數(shù)的周期性有關,可依據(jù)題設條件,先探索函數(shù)的周期性,再去求解. 1.設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)= 那么g(-8)= (　　) A.-2　 B.-3　　　 C.2 　　 D.3 【解析】選A.方法一:當x<0時,-x>0,且f(x)為奇函數(shù),那么f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x).因此g(x)=-log3(1-x),x<0,故g(-8)=-log39=-2. 方法二:由題意知,g(-8)=f(-8)=-f

16、(8)=-log39=-2. 2.(2021·石家莊模擬)f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù),假設f(1)<1,f(5)=,那么實數(shù)a的取值范圍為 (　　) A.(-1,4) B.(-2,1) C.(-1,2) D.(-1,0) 【解析】選A.因為函數(shù)f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù),所以f(5)=f(-1)=f(1),即<1,化簡得(a-4)(a+1)<0,解得-1

17、·滁州模擬)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù),且g(x)=f(x-1),那么f(2 017)+f(2 019)的值為________.? 【解析】由題意得,g(-x)=f(-x-1), 因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù),g(x)是定義在R上的奇函數(shù), 所以g(-x)=-g(x),f(-x)=f(x), 所以f(x-1)=-f(x+1), 即f(x-1)+f(x+1)=0. 所以f(2 017)+f(2 019)=f(2 018-1)+f(2 018+1)=0. 答案:0 2.(2021·榆林模擬)f(x)=2x+為奇函數(shù),g(x)=bx-log2(4x+1)為偶函數(shù),那么f(ab)= (　　) A. B.　 C.- D.- 【解析】選D.根據(jù)題意,f(x)=2x+為奇函數(shù), 那么f(-x)+f(x)=0,即+=0,解得a=-1. g(x)=bx-log2(4x+1)為偶函數(shù),那么g(x)=g(-x), 即bx-log2(4x+1)=b(-x)-log2(4-x+1), 解得b=1,那么ab=-1, 所以f(ab)=f(-1)=2-1-=-. 可修改 歡迎下載 精品 Word