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課時跟蹤檢測（八） 等差數(shù)列的性質(zhì)
層級一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)
1．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則a2＋a10＝( )
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：選B 因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.
2．在等差數(shù)列{an}中，a1＋a9＝10，則a5的值為( )
A．5 B．6
C．8 D．10
解析：選A 由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a1＋a9＝2a5，
又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，
∴a5＝5.
3．下列說法中正確的是( )
A．若a，b，c成等
2、差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列
B．若a，b，c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列
C．若a，b，c成等差數(shù)列，則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列
D．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c成等差數(shù)列
解析：選C 因為a，b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c，
所以2b＋4＝a＋c＋4，
即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，
所以a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列．
4．在等差數(shù)列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝( )
A．5 B．8
C．10 D．14
解析：選B 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋a7＝a3＋a5＝10
3、，又a1＝2，所以a7＝8.
5．已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于( )
A．8 B．4
C．6 D．12
解析：選A 因為a3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8.
6．若三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9，平方和為59，則這三個數(shù)的積為________．
解析：設(shè)這三個數(shù)為a－d，a，a＋d，
則
解得或
∴這三個數(shù)為－1,3,7或7,3，－1.∴它們的積為－21.
答案：－21
7．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為____
4、____．
解析：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，
∴Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0.
∴二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點個數(shù)為1或2.
答案：1或2
8．已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，則a4＋a8＝________.
解析：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，∴a6＝.∴a4＋a8＝2a6＝.
答案：
9．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.
解：法一：由等差數(shù)列的性質(zhì)
5、得
a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.
∴(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．
∴a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.
法二：∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差數(shù)列，即30,80，a11＋a12＋…＋a15成等差數(shù)列．∴30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，∴a11＋a12＋…＋a15＝130.
10．有一批影碟機原銷售價為每臺800元，在甲
6、、乙兩家家電商場均有銷售．甲商場用如下的方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺單價都為760元，依次類推，每多買一臺則所買各臺單價均再減少20元，但每臺最低價不能低于440元；乙商場一律都按原價的75%銷售．某單位購買一批此類影碟機，問去哪家商場買花費較少．
解：設(shè)單位需購買影碟機n臺，在甲商場購買每臺售價不低于440元，售價依臺數(shù)n成等差數(shù)列．設(shè)該數(shù)列為{an}．
an＝780＋(n－1)(－20)＝800－20n，
解不等式an≥440，即800－20n≥440，得n≤18.
當(dāng)購買臺數(shù)小于等于18臺時，每臺售價為(800－20n)元，當(dāng)臺數(shù)大于18臺時，每臺售價為440元．
到
7、乙商場購買，每臺售價為800×75%＝600元．
作差：(800－20n)n－600n＝20n(10－n)，
當(dāng)n<10時，600n<(800－20n)n，
當(dāng)n＝10時，600n＝(800－20n)n，
當(dāng)1018時，440n<600n.
即當(dāng)購買少于10臺時到乙商場花費較少，當(dāng)購買10臺時到兩商場購買花費相同，當(dāng)購買多于10臺時到甲商場購買花費較少．
層級二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)
1．已知等差數(shù)列{an}：1,0，－1，－2，…；等差數(shù)列{bn}：0,20,40,60，…，則數(shù)列{an＋bn}是( )
A．公差為－1的等差數(shù)
8、列 B．公差為20的等差數(shù)列
C．公差為－20的等差數(shù)列 D．公差為19的等差數(shù)列
解析：選D (a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.
2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且a1＋a7＋a13＝4π，則tan(a2＋a12)的值為( )
A. B．±
C．－ D．－
解析：選D 由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.
∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.
3．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則|m－n|＝( )
A．
9、1 B.
C. D.
解析：選C 設(shè)方程的四個根a1，a2，a3，a4依次成等差數(shù)列，則a1＋a4＝a2＋a3＝2，
再設(shè)此等差數(shù)列的公差為d，則2a1＋3d＝2，
∵a1＝，∴d＝，
∴a2＝＋＝，a3＝＋1＝，
a4＝＋＝，
∴|m－n|＝|a1a4－a2a3|
＝＝.
4．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為( )
A．1升 B.升
C.升 D.升
解析：選B 設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則有
即解得則a5＝a1＋4d＝，
10、
故第5節(jié)的容積為升．
5．在等差數(shù)列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，則a5＋a8＝________.
解析：由已知得a3＋a10＝3.
又?jǐn)?shù)列{an}為等差數(shù)列，
∴a5＋a8＝a3＋a10＝3.
答案：3
6．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，若點在直線x－y＋1＝0上，則an＝________.
解析：由題設(shè)可得－＋1＝0，即－＝1，所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且首項為1，故通項公式＝n，所以an＝n2.
答案：n2
7．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，bn＝an，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求數(shù)列{an}的通項公式．
解：∵b1＋b2＋
11、b3＝a1＋a2＋a3＝，b1b2b3＝a1＋a2＋a3＝，∴a1＋a2＋a3＝3.
∵a1，a2，a3成等差數(shù)列，∴a2＝1，故可設(shè)a1＝1－d，a3＝1＋d，
由1－d＋＋1＋d＝，
得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.
當(dāng)d＝2時，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
當(dāng)d＝－2時，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.
8．下表是一個“等差數(shù)陣”：
4
7
( )
( )
( )
…
a1j
…
7
12
( )
( )
( )
…
a2j
…
( )
( )
( )
( )
( )
…
12、
a3j
…
( )
( )
( )
( )
( )
…
a4j
…
…
…
…
…
…
…
…
…
ai1
ai2
ai3
ai4
ai5
…
aij
…
…
…
…
…
…
…
…
…
其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù)．
(1)寫出a45的值；
(2)寫出aij的計算公式，以及2 017這個數(shù)在“等差數(shù)陣”中所在的一個位置．
解：通過每行、每列都是等差數(shù)列求解．
(1)a45表示數(shù)陣中第4行第5列的數(shù)．
先看第1行，由題意4,7，…，a15，…成等差數(shù)列，
公差d＝7－4＝3，則a1
13、5＝4＋(5－1)×3＝16.
再看第2行，同理可得a25＝27.
最后看第5列，由題意a15，a25，…，a45成等差數(shù)列，
所以a45＝a15＋3d＝16＋3×(27－16)＝49.
(2)該“等差數(shù)陣“的第1行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列a1j＝4＋3(j－1)；
第2行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列a2j＝7＋5(j－1)；
…
第i行是首項為4＋3(i－1)，公差為2i＋1的等差數(shù)列，
∴aij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)
＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.
要求2 017在該“等差數(shù)陣”中的位置，也就是要找正整數(shù)i，j，使得i(2j＋1)＋j＝2 017，
∴j＝.又∵j∈N*，∴當(dāng)i＝1時，得j＝672.
∴2 017在“等差數(shù)陣”中的一個位置是第1行第672列．
課時跟蹤檢測(八) 等差數(shù)列的性質(zhì)
