2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）2.2《直接證明與間接證明》word教案2篇.doc

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2019-2020年蘇教版高中數(shù)學(xué)（選修2-2）2.2《直接證明與間接證明》word教案2篇 　　分析法和綜合法是兩種常用的解題方法，但有時候我們常常把這兩種方法結(jié)合起來使用效果更好． 　　一、用分析法尋找思路，用綜合法表述過程 　　例１　已知，求證：． 　　分析：本題用綜合法不容易找到證題思路，因此用分析法探路． 　　要證原不等式成立， 　　由，得，，， 　　因此移項，只需證． 　　通分，得， 　　即證． 　　只需證成立．思路找到． 　　證明：∵， 　　∴，， 　　∴． 　　∴， 　　即， 　　∴． 　　點評：分析法解題方向較為明確，有利于尋找解題思路；綜合法條理清晰，宜于表述．因此，在實際解題時，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程． 　　二、分析法與綜合法聯(lián)合使用 　　對于那些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題，不論是從“已知”推向“未知”，或者是由“未知”靠攏“已知”，都有一個比較長的思考過程，單靠分析法或綜合法顯得較為困難．為保證探索方向準(zhǔn)確及過程快捷，人們常常把分析法與綜合法兩者并列起來使用，即常采取同時從已知和結(jié)論出發(fā)，尋找問題的一個中間目標(biāo)．從已知到中間目標(biāo)運用綜合法思索，而由結(jié)論到中間目標(biāo)運用分析法思索，以中間目標(biāo)為橋梁溝通已知與結(jié)論，構(gòu)建出證明的有效路徑．上面所言的思維模式可概括為如下圖所示 　　綜合法與分析法是邏輯推理的思維方法，它對于培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性極為有用．把分析法與綜合法并列起來進行思考，尋求問題的解答途徑，就是人們通常所說的分析、綜合法． 例2 若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證： ． 　　證明：要證， 　　只需證， 　　只需證． 　　又，，． 　　且上述三式中的等號不全成立，所以 　　c． 　　因此． 　　注：這個證明中的前半部分用的是分析法，后半部分用的是綜合法． 點撥反證法 　　反證法是一種重要的間接證明方法，下面加以系統(tǒng)歸納，供參考 　　1．宜用反證法證明的題型 ①易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；②否定性命題；③惟一性命題；④至少至多型命題；⑤一些基本定理；⑥必然性命題等 　　2．步驟 　　①假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立（反設(shè)）；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾（歸謬）；③由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論成立（結(jié)論）． 3．典例分析 　　例　求證：a、b、c為正實數(shù)的充要條件是，且和． 　　分析：由a、b、c為正實數(shù)，顯然易得，，．即“必要性”的證明用直接證法易于完成，并不需要用反證法．證明“充分性”時，要綜合三個不等式推出a、b、c是正實數(shù)，有些難度，于是，試試反證法． 　　證明：（1）證必要性．（略） 　　（2）證充分性．假設(shè)a、b、c不全為正實數(shù)（原結(jié)論是a、b、c都是正實數(shù)），由于，則它們只能是二負(fù)一正． 　　不妨設(shè)且且， 　　又由于， 　　∵，∴．① 　　又∵，∴．② 　　而， 　　∴，與的假設(shè)矛盾． 　　∴假設(shè)不成立，原結(jié)論成立，即a、b、c均為正實數(shù)． 　　說明：如果從①處開始，如下進行推理： 　　∵，即，又，∴． 　　則，與①式矛盾． 　　這樣，矛盾的焦點就發(fā)生在兩部分推理的結(jié)論上了，即自相矛盾；還可以讓矛盾的焦點發(fā)生在已知條件上，從②處開始，于是，與已知矛盾，這個途徑最簡捷． 　　評注：反證法矛盾的焦點，可以是和“已知條件”或“定義”、“公理”、“定理”、“反面假設(shè)”矛盾，也可以自相矛盾（即兩部分推理的結(jié)果矛盾）．其本質(zhì)是，先利用的和剩余者之間的矛盾．究竟先利用哪些好，應(yīng)根據(jù)題目的具體情況決定．順其自然，因勢利導(dǎo)，不必拘泥于一格． 直接證明與間接證明精析 　　在數(shù)學(xué)中，證明是引用一些真實的命題來確定某命題真實性的思維形式．?dāng)?shù)學(xué)常用的證明方法有直接證明與間接證明． 　　1．直接證明 　　直接從原命題的條件逐步推得命題成立的，這種證明通常稱為直接證明．常用的直接證明方法有綜合法與分析法． 　?。?）綜合法與分析法要點解析表 　　（2）對分析法證題的說明 　　“若Ａ成立，則Ｂ成立”，此命題用分析法證明的步驟如下：要證明（或為了證明）Ｂ成立，只需證明成立（是Ｂ成立的充分條件），要證成立，只需證明成立（是成立的充分條件），…，要證明成立，只需證明A成立（A是成立的充分條件），∵A成立，∴B成立． 注：①每一步都是尋求充分不必要條件或充要條件，但絕不能是必要不充分條件； ②在尋求充分條件時，起調(diào)控方向作用的是本題條件．即在一系列可以證明結(jié)論的條件中，與本題條件較為接近的條件，才是我們所需要的； 　?、邸爸恍枳C明”、“為了證明”、“∵A成立，∴B成立”類似這些語言必須有，而且要用它們把每一步連結(jié)起來． 　?。?）綜合法和分析法的優(yōu)缺點 　　分析法容易探路，且探路與表述合一，缺點是表述繁瑣，且容易出錯． 綜合法條理清晰，宜于表述，缺點是探路艱難，易生枝節(jié)． 　　因此，在實際解題時，常把二者交互使用，互補優(yōu)缺，形成了分析綜合法．先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程．對于較復(fù)雜的問題，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價（或充分）的中間結(jié)論，然后通過綜合法由條件證明這個中間結(jié)論，則原命題得證． 　　2．間接證明 　　不是從正面論證命題的真實性，而是考慮證明它的等價命題，間接地達到目的．常見的間接證明方法是反證法． 　　反證法是一種常用的間接證明方法．用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用以下框圖表示： 　　應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題，一般有下面三個步驟： 　?。?）反設(shè)———假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假定原結(jié)論的反面為真； 　　（2）歸謬———從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果； 　?。?）存真———由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立． 　　注：①反設(shè)要準(zhǔn)確，即取結(jié)論的否定形式時要準(zhǔn)確，有些否定形式需注意全稱量詞與特稱量詞的相互轉(zhuǎn)換． 　?、谒f的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與公理、定義、定理、條件矛盾或與臨時假定矛盾，以及自相矛盾等各種情況． 反證法往往用于解決正面解決較為困難的問題（正難則反）或需分多種情況討論的問題（如至多、至少等問題）等． 反證法中的“特殊化” 　　反證法是一種重要的證明方法．反證法的難點在于提出與結(jié)論相反的假設(shè)后，如何合理地展開思路，以便盡快凸現(xiàn)矛盾．筆者認(rèn)為，“特殊化”有時是反證法得以成功的一個重要突破口． 　　一、特殊值 　　巧合的數(shù)目，特殊的數(shù)字，個性化的特征，看似純屬偶然，但往往蘊含著正確解法的必然． 　　例1　設(shè)、是定義上的函數(shù)．證明：存在、，使得． 　　分析：要找出具體的、，難以下手，不妨考慮用反證法 　　證明：假設(shè)這樣的、不存在．取特殊值，，得． 　　同理，，， 　　故， 　　這是不可能的． 　　因此，原命題成立． 　　注：本題反復(fù)利用與這兩個特殊值，并進行湊配，從而推得矛盾“”． 　　二、特殊運算 　　某些相對獨立的對象各有各的特點，不足以發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，而當(dāng)通過特殊運算使之形成一個整體時，矛盾便暴露無遺了． 　　1．求和 　　例2　今有有限個砝碼，它們的總重量是，將它們分別編號為．證明：從這有限個砝碼中必可找出一個編號為的砝碼，它的重量大于． 　　證明：假設(shè)不存在這樣一個編號，使得相應(yīng)的砝碼重量． 　　設(shè)共有個砝碼，． 　　從而，有，，， 　　累加求和，得，矛盾 ． 　　因此，原命題成立 　　2．求積 　　例3　證明：任何三個實數(shù)都不可能同時滿足下列三個不等式：，，． 　　分析：本題要證明所有的對象都具有同一性質(zhì)，無法從正面考慮，宜用反證法． 　　證明：假設(shè)存在三個實數(shù)同時滿足題設(shè)的三個不等式．將它們的兩端都同時平方，然后分別移項、分解因式得 ，　　① 　　，　?、? 　?。?　 ③ 　?、佗冖鄣?，這顯然是不可能的． 　　因此，原命題成立． 　　注：本題所得到的三個不等式，單獨看哪一個都看不出有什么毛病，而一旦把它們求積，矛盾便凸現(xiàn)在眼前了