（全國通用版）2018-2019高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1.2 充分條件與必要條件學案 新人教A版選修2-1

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1、 §1.2　充分條件與必要條件 學習目標　1.理解充分條件、必要條件、充要條件的定義.2.會求某些簡單問題成立的充分條件、必要條件、充要條件.3.能夠利用命題之間的關系判定充要關系或進行充要條件的證明． 知識點一　充分條件與必要條件 (1)“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可推出q，記作p?q，并且說p是q的充分條件，q是p的必要條件． (2)若p?q，但q?p，稱p是q的充分不必要條件，若q?p，但p?q，稱p是q的必要不充分條件． 知識點二　充要條件 思考　在△ABC中，角A，B，C為它的三個內角，則“A，B，C成等差數(shù)列”是“B＝6

2、0°”的什么條件？ 答案　因為A，B，C成等差數(shù)列，故2B＝A＋C，又因為A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差數(shù)列”是“B＝60°”的充要條件． 梳理　(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作p?q，此時，我們說，p是q的充分必要條件，簡稱充要條件． (2)充要條件的實質是原命題“若p，則q”和其逆命題“若q，則p”均為真命題，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果p?q，那么p與q互為充要條件． (3)從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件. 若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件 若B?

3、A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件 若A＝B，則p，q互為充要條件 若A?B且B?A，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件 其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}． (1)q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(√) (2)若p是q的充要條件，則p和q是兩個相互等價的命題．(√) (3)q不是p的必要條件時，“p?q”成立．(√) 類型一　充分條件、必要條件、充要條件的判定 例1　下列各題中，試分別指出p是q的什么條件． (1)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等； (2)p：一個四邊形是矩

4、形，q：四邊形的對角線相等； (3)p：A?B，q：A∩B＝A； (4)p：a＞b，q：ac＞bc. 考點　充分條件、必要條件的判斷 題點　充分、必要條件的判斷 解　(1)∵兩個三角形相似?兩個三角形全等，但兩個三角形全等?兩個三角形相似， ∴p是q的必要不充分條件． (2)∵矩形的對角線相等，∴p?q， 而對角線相等的四邊形不一定是矩形， ∴q?p，∴p是q的充分不必要條件． (3)∵p?q，且q?p，∴p既是q的充分條件，又是q的必要條件． (4)∵p?q，且q?p，∴p是q的既不充分也不必要條件． 反思與感悟　充分條件、必要條件的兩種判斷方法 (1)定義法：

5、①確定誰是條件，誰是結論； ②嘗試從條件推結論，若條件能推出結論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件； ③嘗試從結論推條件，若結論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件． (2)命題判斷法： ①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件； ②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時q也不是p的必要條件． 跟蹤訓練1　指出下列各題中，p是q的什么條件？ (1)p：ax2＋ax＋1>0的解集是R，q：0

6、考點　充分條件、必要條件的判斷 題點　充分、必要條件的判斷 解　(1)當a＝0時，1>0滿足題意； 當a≠0時，由可得0

7、念及判斷 題點　尋求充要條件 解　(1)當a＝0時，原方程變?yōu)?x＋1＝0，即x＝－，符合要求． (2)當a≠0時，ax2＋2x＋1＝0為一元二次方程，它有實根的充要條件是Δ≥0，即4－4a≥0，∴a≤1. ①方程ax2＋2x＋1＝0只有一個負根的充要條件是即∴a<0. ②方程ax2＋2x＋1＝0有兩個負根的充要條件是即∴0

8、件． 跟蹤訓練2　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝(n＋1)2＋t(t為常數(shù))，試問t＝－1是否為數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件？請說明理由． 考點　充要條件的概念及判斷 題點　尋求充要條件 解　是充要條件． (充分性)當t＝－1時，Sn＝(n＋1)2－1＝n2＋2n. a1＝S1＝3， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1. 又a1＝3適合上式， ∴an＝2n＋1(n∈N*)， 又∵an＋1－an＝2(常數(shù))， ∴數(shù)列{an}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列． 故t＝－1是{an}為等差數(shù)列的充分條件． (必要性)∵{an}為等差數(shù)列， 則2a2＝a1＋a

9、3，解得t＝－1， 故t＝－1是{an}為等差數(shù)列的必要條件． 綜上，t＝－1是數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件． 命題角度2　充要條件的證明 例3　求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac＜0. 考點　充要條件的概念及判斷 題點　充要條件的證明 證明　充分性(由ac＜0推證方程有一正根和一負根)， ∵ac＜0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac＞0， ∴原方程一定有兩不等實根， 不妨設為x1，x2，則x1x2＝＜0， ∴原方程的兩根異號， 即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根． 必要性(由方程有一正

10、根和一負根推證ac＜0)， ∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根， 不妨設為x1，x2， ∴由根與系數(shù)的關系得x1x2＝＜0，即ac＜0， 此時Δ＝b2－4ac＞0，滿足原方程有兩個不等實根． 綜上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac＜0. 反思與感悟　對于充要條件性命題證明，需要從充分性和必要性兩個方面進行證明，需要分清條件和結論． 跟蹤訓練3　求證：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的兩個根均大于1的充要條件是k＜－2. 考點　充要條件的概念及判斷 題點　充要條件的證明 證明　必要性： 若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝

11、0有兩個大于1的根，不妨設兩個根為x1，x2，則 即 即 解得k＜－2. 充分性： 當k＜－2時，Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k＞0. 設方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的兩個根為x1，x2. 則(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)＞0. 又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1＞0， ∴x1－1＞0，x2－1＞0，∴x1＞1，x2＞1. 綜上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有兩個大于1的根的充要條件為k＜－2. 類型三　利用充分條件、必要條件求參數(shù)的值(或范圍)

12、 例4　設命題p：x(x－3)＜0，命題q：2x－3＜m，已知p是q的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍為________． 考點　充分、必要條件的綜合應用 題點　由充分、必要條件求參數(shù)的范圍 答案　[3，＋∞) 解析　p：x(x－3)＜0，即0＜x＜3； q：2x－3＜m，即x＜. 由題意知p?q，q?p， 則在數(shù)軸上表示不等式如圖所示， 則≥3，解得m≥3， 即實數(shù)m的取值范圍為[3，＋∞)． 反思與感悟　在有些含參數(shù)的充要條件問題中，要注意將條件p和q轉化為集合，從而轉化為兩集合之間的子集關系，再轉化為不等式(或方程)，從而求得參數(shù)的取值范圍． 根據(jù)充分條件或必

13、要條件求參數(shù)范圍的步驟 (1)記集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}； (2)若p是q的充分不必要條件，則MN，若p是q的必要不充分條件，則NM，若p是q的充要條件，則M＝N； (3)根據(jù)集合的關系列不等式(組)； (4)求出參數(shù)的范圍． 跟蹤訓練4　設A＝，B＝，記命題p：“y∈A”，命題q：“y∈B”，若p是q的必要不充分條件，則m的取值范圍為______________． 考點　充分、必要條件的綜合應用 題點　由充分、必要條件求參數(shù)的范圍 答案　 解析　由題意知A＝(0,1)，B＝， 依題意，得BA， 故∴

14、x＞0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點　充分條件、必要條件的判斷 題點　充分、必要條件的判斷 答案　A 解析　由x2＋x＞0?x＜－1或x＞0，由此判斷A符合要求． 2．若a，b，c是實數(shù)，則“ac＜0”是“不等式ax2＋bx＋c＞0有解”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 考點　充分條件、必要條件的判斷 題點　充分、必要條件的判斷 答案　B 解析　由ac＜0，得方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac＞0， 則方程ax2

15、＋bx＋c＝0一定有實數(shù)解， 此時不等式ax2＋bx＋c＞0有解； 反過來，由不等式ax2＋bx＋c＞0有解不能得出ac＜0， 例如，當a＝b＝c＝1時， 不等式ax2＋bx＋c＞0， 即x2＋x＋1＝2＋＞0有解， 此時ac＝1＞0.故選B. 3．“關于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立”的一個必要不充分條件是(　　) A．0＜a＜1 B．0≤a≤1 C．0＜a＜ D．a(chǎn)≥1或a≤0 考點　充分條件、必要條件的概念及判斷 題點　充分、必要條件的判斷 答案　B 解析　當關于x的不等式x2－2ax＋a＞0，x∈R恒成立時，應有Δ＝4a2－4a＜0，解得

16、0＜a＜1.所以一個必要不充分條件是0≤a≤1. 4．設p：1≤x＜4，q：x＜m，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是________．(用區(qū)間表示) 考點　充分條件的概念及判斷 題點　由充分條件求取值范圍 答案　[4，＋∞) 解析　因為p為q的充分條件，所以[1,4)?(－∞，m)， 得m≥4. 5．設p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，則q是p的____________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”) 考點　充分條件、必要條件的判斷 題點　充分、必要條件的判斷 答案　充分不必要 解析　由已知，得p：x＜－1或x＞1，則q是p

17、的充分不必要條件． 充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件反映了條件p和結論q之間的因果關系，在結合具體問題進行判斷時，常采用如下方法 (1)定義法：分清條件p和結論q，然后判斷“p?q”及“q?p”的真假，根據(jù)定義下結論． (2)等價法：將命題轉化為另一個與之等價的又便于判斷真假的命題． (3)集合法：寫出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之間的包含關系加以判斷. 一、選擇題 1．“x為無理數(shù)”是“x2為無理數(shù)”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點　

18、充分條件、必要條件的判斷 題點　充分、必要條件的判斷 答案　B 解析　當x2為無理數(shù)時，x為無理數(shù)． 2．設a，b∈R，則“a＋b＞2”是“a＞1且b＞1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點　充分條件、必要條件的判斷 題點　充分、必要條件的判斷 答案　B 3．設x∈R，則x＞π的一個必要不充分條件是(　　) A．x＞3 B．x＜3 C．x＞4 D．x＜4 考點　充分條件、必要條件的判斷 題點　充分、必要條件的判斷 答案　A 4．在△ABC中，若p：A＝60°，q：sin A＝，則p是q的(

19、　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點　充分條件、必要條件的判斷 題點　充分、必要條件的判斷 答案　A 解析　因為sin 60°＝，故p?q，但當sin A＝時，A＝60°或120°. 5．已知p：x2＋2x－3＜0，q：1－a≤x≤1＋a，且q是p的必要不充分條件，則a的取值范圍是(　　) A．(4，＋∞) B．(－∞，0] C．[4，＋∞) D．(－∞，0) 考點　充分、必要條件的綜合應用 題點　充分、必要條件求參數(shù)的范圍 答案　C 解析　由命題p：－3＜x＜1，因為p?q， 所以即所以a≥4

20、. 6．下列四個條件中，使a＞b成立的充分不必要條件是(　　) A．a(chǎn)≥b＋1 B．a(chǎn)＞b－1 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3 考點　充分、必要條件的判斷 題點　充分不必要條件的判斷 答案　A 解析　由a≥b＋1＞b，從而a≥b＋1?a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，則4＞3.5?4≥3.5＋1，故a＞b?a≥b＋1，故A正確． 7．設a1，b1，c1，a2，b2，c2均為非零實數(shù)，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分別是集合M和N，那么“＝＝”是“M＝N”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既

21、不充分也不必要條件 考點　充分條件、必要條件的判斷 題點　充分、必要條件的判斷 答案　D 解析　若＝＝<0，則M≠N， 即＝＝?M＝N；反之，若M＝N＝?， 即兩個一元二次不等式的解集為空集時， 只要求判別式Δ1<0，Δ2<0(a1<0，a2<0)， 而與系數(shù)之比無關． 8．設函數(shù)f(x)＝|log2x|，則f(x)在區(qū)間(m,2m＋1)(m>0)內不是單調函數(shù)的充要條件是(　　) A．01 考點　充要條件的概念及判斷 題點　尋求充要條件 答案　B 解析　f(x)＝ f(x)的圖象在(0,1)內單調遞減，在(

22、1，＋∞)內單調遞增． 若f(x)在(m,2m＋1)(m>0)上不是單調函數(shù)， 則?0

23、條件，∴m≥1. 11．有下列命題： ①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分條件； ②“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為R”的充要條件； ③“a＝2”是“直線ax＋2y＝0平行于直線x＋y＝1”的充分不必要條件； ④“xy＝1”是“l(fā)g x＋lg y＝0”的必要不充分條件． 其中真命題的序號為________． 考點　充分條件、必要條件的判斷 題點　充分、必要條件的判斷 答案?、佗? 解析?、佼攛＞2且y＞3時，x＋y＞5成立，反之不一定，所以“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充分不必要條件，故①為真命題； ②不等式解集為R的充要條件是

24、a＜0且b2－4ac＜0，故②為假命題； ③當a＝2時，兩直線平行，反之，若兩直線平行，則＝，所以a＝2，所以“a＝2”是“兩直線平行”的充要條件，故③為假命題； ④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，所以xy＝1且x＞0，y＞0，所以xy＝1必成立，反之不然，所以“xy＝1”是“l(fā)g x＋lg y＝0”的必要不充分條件，故④為真命題． 綜上可知，真命題是①④. 三、解答題 12．判斷下列各題中，p是q的什么條件． (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y(tǒng)； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是矩形； (4)

25、p：圓x2＋y2＝r2(r＞0)與直線ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2. 考點　充分條件、必要條件的判斷 題點　充分、必要條件的判斷 解　(1)∵|x|＝|y|?x＝y(tǒng)，但x＝y(tǒng)?|x|＝|y|， ∴p是q的必要不充分條件． (2)∵△ABC是直角三角形?△ABC是等腰三角形， △ABC是等腰三角形?△ABC是直角三角形， ∴p是q的既不充分也不必要條件． (3)∵四邊形的對角線互相平分?四邊形是矩形， 四邊形是矩形?四邊形的對角線互相平分， ∴p是q的必要不充分條件． (4)若圓x2＋y2＝r2(r＞0)與直線ax＋by＋c＝0相切， 則圓心(0,

26、0)到直線ax＋by＋c＝0的距離等于r， 即r＝， ∴c2＝(a2＋b2)r2； 反過來，若c2＝(a2＋b2)r2， 則＝r成立， 說明圓x2＋y2＝r2(r＞0)的圓心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離等于r， 即圓x2＋y2＝r2(r＞0)與直線ax＋by＋c＝0相切， 故p是q的充要條件． 13．已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，且命題p是命題q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍． 考點　充分、必要條件的綜合應用 題點　由充分、必要條件求參數(shù)的范圍 解　令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2

27、)≥0} ＝，N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0} ＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a}． 由已知p?q且q?p，得MN， ∴或 解得≤a<2或

28、要條件的判斷 答案　①④ 解析　對于①，q：y＝x2＋mx＋m＋3有兩個不同的零點?q：Δ＝m2－4(m＋3)＞0?q：m＜－2或m＞6?p； 對于②，當f(x)＝0時，q?p； 對于③，若α，β＝kπ＋(k∈Z)，則有cos α＝cos β，但沒有tan α＝tan β，p?q； 對于④，p：A∩B＝A?p：A?B?q：?UB??UA. 15．已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍． 考點　充分、必要條件的綜合應用 題點　由充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍 解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， ∴P＝{x|－2≤x≤10}． 由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P. 則 ∴當0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]． 13