4、.2
解析 離心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.故選A.
答案 A
3.(xx·全國Ⅱ，11)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為( )
A. B.2
C. D.
解析 如圖，設(shè)雙曲線E的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則|AB|＝2a，由雙曲線的對稱性，可設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MN⊥x軸于點(diǎn)N(x1，0)，∵△ABM為等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，x1＝|OB|＋|BN|＝a
5、＋2acos 60°＝2a.將點(diǎn)M(x1，y1)的坐標(biāo)代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝，選D.
答案 D
4.(xx·全國Ⅰ，5)已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若·<0，則y0的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解析 由題意知M在雙曲線C：－y2＝1上，又在x2＋y2＝3內(nèi)部，由得y＝±，
所以－0)的距離之差的絕對值為常數(shù)2a(2a<2c)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲
6、線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距．
2．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
(1)當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線；
(2)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是兩條射線；
(3)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，M點(diǎn)不存在．
知識(shí)點(diǎn)2 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
圖形
性質(zhì)
范圍
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
對稱性
對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0
7、，a)
漸近線
y＝±x
y＝±x
離心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實(shí)虛軸
線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關(guān)系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
1．必會(huì)結(jié)論；(1)雙曲線為等軸雙曲線?雙曲線的離心率e＝?雙曲線的兩條漸近線互相垂直．
(2)漸近線的斜率與雙曲線的焦點(diǎn)位置的關(guān)系：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，漸近線斜率為±，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，漸近線斜率為±.
(3)漸近線與離心率－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的斜
8、率為＝.
(4)過雙曲線的焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的直線被雙曲線截的弦長為.
(5)與雙曲線－＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程為－＝t(t≠0)．
2．必清誤區(qū)；直線與雙曲線交于一點(diǎn)時(shí)，不一定相切，例如：當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交于一點(diǎn)，但不是相切；反之，當(dāng)直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線僅有一個(gè)交點(diǎn)．
考點(diǎn)分項(xiàng)突破
考點(diǎn)一：雙曲線的定義及應(yīng)用
1.已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1＝( )
A. B.
C D.
【解析】
由e＝＝2得，c＝2a，如圖，由雙曲線的定義
9、得|F1A|－|F2A|＝2a，又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，|F2A|＝2a，
∴cos∠AF2F1＝＝.
【答案】 A
2．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線－＝1的左、右焦點(diǎn)，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線上，則|AP|＋|AF2|的最小值為( )
A.＋4 B.－4
C.－2 D.＋2
【解析】 由題意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，當(dāng)A，P，F(xiàn)1三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，則|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|
10、AF1|－2a＝－2.故選C.【答案】 C
3．已知F為雙曲線C：－＝1的左焦點(diǎn)，P，Q為雙曲線C上的點(diǎn)．若PQ的長等于虛軸長的2倍，點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上，則△PQF的周長為________．
【解析】 由雙曲線C：－＝1，知a＝3，b＝4，則c＝＝5，|PQ|＝4b＝16.∴F(－5,0)，點(diǎn)A(5,0)為右焦點(diǎn)．又右焦點(diǎn)A(5,0)在線段PQ上，知點(diǎn)P、Q在雙曲線的右支上．根據(jù)雙曲線定義，|PF|－|PA|＝6，|QF|－|QA|＝6.相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝12，
于是|PF|＋|QF|＝12＋|PQ|＝28.從而△PQF的周長為|PF|＋|QF|
11、＋|PQ|＝44.【答案】 44
歸納；“焦點(diǎn)三角形”中常用到的知識(shí)點(diǎn)及技巧
1．常用知識(shí)點(diǎn)：在“焦點(diǎn)三角形”中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義經(jīng)常使用．
2．技巧：經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立它與|PF1||PF2|的聯(lián)系．
提醒：利用雙曲線的定義解決問題，要注意三點(diǎn)：
(1)距離之差的絕對值．(2)2a<|F1F2|.(3)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的位置．
考點(diǎn)二: 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)
(1)(xx·江西高考)過雙曲線C：－＝1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，
12、則雙曲線C的方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)(xx·全國卷Ⅱ)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為( )
A. B．2 C. D.
【解析】 (1)由雙曲線C：－＝1知，右頂點(diǎn)為(a,0)，不妨設(shè)雙曲線C的一條漸近線為y＝x.將x＝a代入上式，得交點(diǎn)A(a，b)，記雙曲線C的右焦點(diǎn)為F，則F(c,0)，依題意，|OF|＝|FA|＝4，
∴解得故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，故選A.
(2)不妨取點(diǎn)M在第一象限，如圖所示，設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>
13、0，b>0)，則|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為.∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝.故選D.【答案】 (1)A (2)D
跟蹤訓(xùn)練：1．(xx·全國卷Ⅰ)已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若·＜0，則y0的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由題意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0.∵點(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線上，
14、∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，
∴－0，b>0)的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 依題意，由直線l：y＝2x＋10.令y＝0，得雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(－5,0)，∴c＝5，則a2＋b2＝25，①又雙曲線－＝1的一條漸近線為y＝2x.所以＝2，即b＝2a，②聯(lián)立方程①②，得a2＝5，b2＝20.
故所求雙曲線方程為－＝1，故選A.【答案】 A
歸納：
15、1．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法
(1)定義法：由條件判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，求出a2，b2，寫出方程．
(2)待定系數(shù)法：即“先定位，后定量”，如果不能確定焦點(diǎn)的位置，應(yīng)注意分類討論或恰當(dāng)設(shè)置簡化討論．
常見設(shè)法有：①與雙曲線－＝1共漸近線的可設(shè)為－＝λ(λ≠0)；②若漸近線方程為y＝±x，則可設(shè)為－＝λ(λ≠0)；③若過兩個(gè)已知點(diǎn)，則設(shè)為＋＝1(mn<0)．
2．求雙曲線離心率或離心率范圍的兩種方法：一種是直接建立e的關(guān)系式求e或e的范圍；另一種是建立a，b，c的齊次關(guān)系式，將b用a，c表示，令兩邊同除以a或a2化為e的關(guān)系式，進(jìn)而求解．
3．求曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線的
16、方法是令－＝0，即得兩漸近線方程±＝0.
考點(diǎn)三: 雙曲線與直線、圓、橢圓的綜合問題
(1)已知雙曲線－＝1與直線y＝2x有交點(diǎn)，則雙曲線離心率的取值范圍為( )
A．(1，) B．(1，]
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
(2)如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是( )
A. B. C. D.
【解析】 (1)∵雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，
則由題意得>2，∴e＝＝>＝，故選C.
(2)由橢圓C1：＋y2＝
17、1知焦點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，由于四邊形AF1BF2為矩形，知AF1⊥AF2，因此|AF1|＋|AF2|＝4，①|(zhì)AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，②聯(lián)立①②得|AF2|－|AF1|＝2，于是雙曲線C2中，有2a＝2，2c＝2，故雙曲線C2的離心率e＝＝＝，故選D.【答案】 (1)C (2)D
跟蹤訓(xùn)練：1．(xx·山東高考)已知a>b>0，橢圓C1的方程為＋＝1，雙曲線C2的方程為－＝1，C1與C2的離心率之積為，則C2的漸近線方程為( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【解析】 由題意知e1＝，e2＝，
18、∴e1·e2＝·＝＝.又∵a2＝b2＋c，c＝a2＋b2，∴c＝a2－b2，
∴＝＝1－4，即1－4＝，解得＝±，∴＝.令－＝0，解得bx±ay＝0，∴x±y＝0.【答案】 A
2．設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F且斜率為－1的直線l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若＝－3，則雙曲線C的離心率e＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 設(shè)F(c,0)，則過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)F作斜率為－1的直線為y＝－(x－c)，而雙曲線的漸近線方程是y＝±x，由得B，由得A，＝，＝，又＝－3，則＝－3·，即b＝a，則c＝＝a，則e
19、＝＝.故選D.
【答案】 D
歸納：解決與雙曲線有關(guān)綜合問題的方法
1．解決雙曲線與橢圓、圓、拋物線的綜合問題時(shí)，要充分利用橢圓、圓、拋物線的幾何性質(zhì)得出變量間的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解．
2．解決直線與雙曲線的綜合問題，通常是聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形注意取舍．
。
學(xué)生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識(shí)的掌握情況。
學(xué)生通過對高考真題的解決，感受高考題的考察視
20、角。
教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
引導(dǎo)學(xué)生通過對基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描，來澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).
在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解
21、決問題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。
教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
通過對考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢
22、
由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識(shí)別能力和解題效率。
教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。
環(huán)節(jié)三：
課堂小結(jié)：
1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)．
2.理解數(shù)形結(jié)合的思想．
3.了解雙曲線的簡單應(yīng)用.
學(xué)生回顧，總結(jié).
引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。
環(huán)節(jié)四：
課后作業(yè)：學(xué)生版練與測
學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。
2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-6 雙曲線《教案》
