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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修五 課時作業(yè)24 《基本不等式》的應(yīng)用
一、選擇題(每小題6分，共計(jì)36分)
1．函數(shù)y＝2x＋(x>0)的最小值是( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：y＝2x＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝，x＝1時取等號，ymin＝4.故選C.
答案：C
2．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，則mn的最大值是( )
A．100 B．50
C．20 D．10
解析：mn≤＝＝50，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝或m＝n＝－時等號成立．
答案：B
3．下列結(jié)論正確的是( )
A．當(dāng)x>0且x≠1時，lgx＋≥2
B．當(dāng)x>0時，＋≥2
C．當(dāng)
2、x≥2時，x＋的最小值為2
D．當(dāng)00且x≠1時，lgx不一定是正數(shù)，所以A不正確；
選項(xiàng)C中，當(dāng)x≥2時，x＋≥2＝2中的等號不成立，所以C不正確；
選項(xiàng)D中，當(dāng)0
3、
≥＋×2＝5(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取等號)，
∴3x＋4y的最小值為5.
答案：C
5．周長為36的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱，該圓柱的側(cè)面積的最大值是( )
A．27π B．81π
C．108π D．162π
解析：設(shè)矩形的長與寬分別為x，y，則2(x＋y)＝36?x＋y＝18≥2，則xy≤81.又圓柱的側(cè)面積為2πxy≤2π×81＝162π，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時，等號成立．
答案：D
6．設(shè)x>y>z，n∈N，且＋≥恒成立，則n的最大值為( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：∵＋＝≥＝，∴n的最大值為4.
答案：C
二、填空題(每小
4、題8分，共計(jì)24分)
7．若x＋2y＝1，則2x＋4y的最小值為________．
解析：∵2x＋4y＝2x＋22y≥2
＝2＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y＝時上式等號成立．
答案：2
8．當(dāng)x>時，函數(shù)y＝x＋的最小值為________．
解析：設(shè)t＝2x－1，∵x>，∴2x－1>0，即t>0.
∴y＝＋＝＋＋≥2＋＝.
當(dāng)且僅當(dāng)＝，即t＝4，即x＝時，取等號．
答案：
9．函數(shù)y＝log(x＋＋1)(x>1)的最大值為________．
解析：∵x>1，∴x－1>0，
∴x＋＋1＝x－1＋＋2≥2＋2＝4.
當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝2時等號成立．
又y＝logx是減
5、函數(shù)，∴y≤log4＝－2.
答案：－2
三、解答題(共計(jì)40分)
10．(10分)(1)已知x>－1，試比較x＋與1的大??；
(2)若x>0，y>0，x＋y＝1，求證：＋≥4.
解：(1)∵x>－1，
∴x＋1>0，>0.
∴x＋＝(x＋1)＋－1≥
2－1＝1.
當(dāng)x＋1＝即x＝0時，x＋＝1.
當(dāng)x>－1，且x≠0時x＋>1.
(2)∵x＋y＝1，x>0，y>0，∴>0，>0.
∴＋＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時取等號．
11．(15分)某公司欲建連成片的網(wǎng)球場數(shù)座，用128萬元購買土地10 000平方米，每座球場的建筑面積均為1 000平
6、方米，球場總建筑面積的每平方米的平均建筑費(fèi)用與球場數(shù)有關(guān)，當(dāng)該球場建n個時，每平方米的平均建筑費(fèi)用用f(n)表示，且f(n)＝m(1＋)(其中n∈N)，又知建五座球場時，每平方米的平均建筑費(fèi)用為400元，為了使該球場每平方米的綜合費(fèi)用最省(綜合費(fèi)用是建筑費(fèi)用與購地費(fèi)用之和)，公司應(yīng)建幾個球場？
解：設(shè)建成n個球場，則每平方米的購地費(fèi)用為＝，
由題意，知n＝5, f(n)＝400，
則f(5)＝m(1＋)＝400，所以m＝400.
所以f(n)＝400(1＋)＝20n＋300.
從而每平方米的綜合費(fèi)用為
y＝f(n)＋＝20(n＋)＋300≥20×2＋300＝620(元)，
當(dāng)且僅
7、當(dāng)n＝8時等號成立．
所以當(dāng)建成8座球場時，每平方米的綜合費(fèi)用最?。?
12．(15分)過點(diǎn)P(2,1)的直線l分別交x軸，y軸的正半軸于A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積S的最小值．
解：方法1：設(shè)直線l的表達(dá)式為y－1＝k(x－2)(顯然k存在，且k≠0)，
令y＝0，可得A(2－，0)；
令x＝0，可得B(0,1－2k)．
∵A，B都在正半軸上，
∴2－>0且1－2k>0，可得k<0.
∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝(2－)(1－2k)
＝＝－2k＋＋2≥2＋2＝4，
當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝－時，S△AOB取得最小值，為4.
方法2：設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，
∵l過點(diǎn)P(2,1)，
∴＋＝1.∴1＝＋≥2，可得ab≥8.
∴S△AOB＝ab≥4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，且ab＝8，
即a＝4，b＝2時，S△AOB取得最小值4.
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