2022人教A版數(shù)學必修五 課時作業(yè)24 《基本不等式》的應用

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1、2022人教A版數(shù)學必修五 課時作業(yè)24 《基本不等式》的應用 一、選擇題(每小題6分，共計36分) 1．函數(shù)y＝2x＋(x>0)的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：y＝2x＋≥2＝4，當且僅當2x＝，x＝1時取等號，ymin＝4.故選C. 答案：C 2．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，則mn的最大值是(　　) A．100 B．50 C．20 D．10 解析：mn≤＝＝50，當且僅當m＝n＝或m＝n＝－時等號成立． 答案：B 3．下列結(jié)論正確的是(　　) A．當x>0且x≠1時，lgx＋≥2 B．當x>0時，＋≥2 C．當

2、x≥2時，x＋的最小值為2 D．當00且x≠1時，lgx不一定是正數(shù)，所以A不正確； 選項C中，當x≥2時，x＋≥2＝2中的等號不成立，所以C不正確； 選項D中，當0

3、 ≥＋×2＝5(當且僅當x＝2y時取等號)， ∴3x＋4y的最小值為5. 答案：C 5．周長為36的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱，該圓柱的側(cè)面積的最大值是(　　) A．27π B．81π C．108π D．162π 解析：設矩形的長與寬分別為x，y，則2(x＋y)＝36?x＋y＝18≥2，則xy≤81.又圓柱的側(cè)面積為2πxy≤2π×81＝162π，當且僅當x＝y(tǒng)＝9時，等號成立． 答案：D 6．設x>y>z，n∈N，且＋≥恒成立，則n的最大值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：∵＋＝≥＝，∴n的最大值為4. 答案：C 二、填空題(每小

4、題8分，共計24分) 7．若x＋2y＝1，則2x＋4y的最小值為________． 解析：∵2x＋4y＝2x＋22y≥2 ＝2＝2， 當且僅當x＝2y＝時上式等號成立． 答案：2 8．當x>時，函數(shù)y＝x＋的最小值為________． 解析：設t＝2x－1，∵x>，∴2x－1>0，即t>0. ∴y＝＋＝＋＋≥2＋＝. 當且僅當＝，即t＝4，即x＝時，取等號． 答案： 9．函數(shù)y＝log(x＋＋1)(x>1)的最大值為________． 解析：∵x>1，∴x－1>0， ∴x＋＋1＝x－1＋＋2≥2＋2＝4. 當且僅當x－1＝，即x＝2時等號成立． 又y＝logx是減

5、函數(shù)，∴y≤log4＝－2. 答案：－2 三、解答題(共計40分) 10．(10分)(1)已知x>－1，試比較x＋與1的大小； (2)若x>0，y>0，x＋y＝1，求證：＋≥4. 解：(1)∵x>－1， ∴x＋1>0，>0. ∴x＋＝(x＋1)＋－1≥ 2－1＝1. 當x＋1＝即x＝0時，x＋＝1. 當x>－1，且x≠0時x＋>1. (2)∵x＋y＝1，x>0，y>0，∴>0，>0. ∴＋＝＋ ＝2＋＋≥2＋2＝4. 當且僅當x＝y(tǒng)＝時取等號． 11．(15分)某公司欲建連成片的網(wǎng)球場數(shù)座，用128萬元購買土地10 000平方米，每座球場的建筑面積均為1 000平

6、方米，球場總建筑面積的每平方米的平均建筑費用與球場數(shù)有關，當該球場建n個時，每平方米的平均建筑費用用f(n)表示，且f(n)＝m(1＋)(其中n∈N)，又知建五座球場時，每平方米的平均建筑費用為400元，為了使該球場每平方米的綜合費用最省(綜合費用是建筑費用與購地費用之和)，公司應建幾個球場？ 解：設建成n個球場，則每平方米的購地費用為＝， 由題意，知n＝5, f(n)＝400， 則f(5)＝m(1＋)＝400，所以m＝400. 所以f(n)＝400(1＋)＝20n＋300. 從而每平方米的綜合費用為 y＝f(n)＋＝20(n＋)＋300≥20×2＋300＝620(元)， 當且僅

7、當n＝8時等號成立． 所以當建成8座球場時，每平方米的綜合費用最省． 12．(15分)過點P(2,1)的直線l分別交x軸，y軸的正半軸于A，B兩點，求△AOB的面積S的最小值． 解：方法1：設直線l的表達式為y－1＝k(x－2)(顯然k存在，且k≠0)， 令y＝0，可得A(2－，0)； 令x＝0，可得B(0,1－2k)． ∵A，B都在正半軸上， ∴2－>0且1－2k>0，可得k<0. ∴S△AOB＝|OA|·|OB|＝(2－)(1－2k) ＝＝－2k＋＋2≥2＋2＝4， 當且僅當k2＝，即k＝－時，S△AOB取得最小值，為4. 方法2：設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)， ∵l過點P(2,1)， ∴＋＝1.∴1＝＋≥2，可得ab≥8. ∴S△AOB＝ab≥4，當且僅當＝，且ab＝8， 即a＝4，b＝2時，S△AOB取得最小值4.