（全國(guó)通用版）2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法學(xué)案 新人教A版選修2-2

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1、 2．2.2　反證法 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程，會(huì)用反證法證明數(shù)學(xué)問題． 知識(shí)點(diǎn)　反證法 王戎小時(shí)候，愛和小朋友在路上玩耍．一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，獨(dú)有王戎沒動(dòng)，等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎說：“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的．” 思考　本故事中王戎運(yùn)用了什么論證思想？ 答案　運(yùn)用了反證法思想． 梳理　(1)定義：假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明

2、了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法． (2)反證法常見的矛盾類型 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等． 1．反證法屬于間接證明問題的方法．(　√　) 2．反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理．(　×　) 3．反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾．(　√　) 類型一　用反證法證明否定性命題 例1　已知a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求證：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 證明　假設(shè)a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.

3、 因?yàn)閍d－bc＝1， 所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0， 即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0. 所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0， 則a＝b＝c＝d＝0， 這與已知條件ad－bc＝1矛盾，故假設(shè)不成立． 所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1. 反思與感悟　(1)用反證法證明否定性命題的適用類型： 結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法． (2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟 跟蹤訓(xùn)練1　已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比

4、數(shù)列但不成等差數(shù)列，求證：，，不成等差數(shù)列． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 證明　假設(shè)，，成等差數(shù)列， 則2＝＋， ∴4b＝a＋c＋2.① ∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，② 由②得b＝，代入①式， 得a＋c－2＝(－)2＝0， ∴a＝c，從而a＝b＝c. 這與已知a，b，c不成等差數(shù)列相矛盾， ∴假設(shè)不成立．故，，不成等差數(shù)列． 類型二　用反證法證明“至多、至少”類問題 例2　a，b，c∈(0,2)，求證：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1. 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 證明　假設(shè)(2－a)b，(2－b)c，(2－

5、c)a都大于1. 因?yàn)閍，b，c∈(0,2)， 所以2－a>0,2－b>0,2－c>0. 所以≥>1. 同理≥>1， ≥>1. 三式相加，得 ＋＋>3， 即3>3，矛盾． 所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能都大于1. 引申探究　 已知a，b，c∈(0,1)，求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于. 證明　假設(shè)(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于. ∵a，b，c都是小于1的正數(shù)， ∴1－a,1－b,1－c都是正數(shù)． ∴≥>＝. 同理，>，>. 三式相加，得＋＋>， 即>，顯然不成立． ∴(1－a)b，(1－b)c，(

6、1－c)a不能都大于. 反思與感悟　應(yīng)用反證法常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞” 當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時(shí)，直接證明不易入手且討論較復(fù)雜．這時(shí)，可用反證法證明，證明時(shí)常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如： 結(jié)論詞 反設(shè)詞 結(jié)論詞 反設(shè)詞 至少有一個(gè) 一個(gè)也沒有 對(duì)所有x成立 存在某個(gè)x0不成立 至多有一個(gè) 至少有兩個(gè) 對(duì)任意x不成立 存在某個(gè)x0成立 至少有n個(gè) 至多有n－1個(gè) p或q 綈p且綈q 至多有n個(gè) 至少有n＋1個(gè) p且q 綈p或綈q 跟蹤訓(xùn)練2　已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，求證：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋

7、a和y3＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 證明　假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b， 得Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0， 且Δ3＝4a2－4bc≤0. 同向不等式求和，得 4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0， 所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0， 所以(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0，所以a＝b＝c. 這與題設(shè)a，b，c互不

8、相等矛盾， 因此假設(shè)不成立，從而命題得證． 類型三　用反證法證明唯一性命題 例3　求證：方程2x＝3有且只有一個(gè)根． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 證明　∵2x＝3，∴x＝log23. 這說明方程2x＝3有根． 下面用反證法證明方程2x＝3的根是唯一的． 假設(shè)方程2x＝3至少有兩個(gè)根b1，b2(b1≠b2)， 則＝3, ＝3，兩式相除得＝1， ∴b1－b2＝0，則b1＝b2，這與b1≠b2矛盾． ∴假設(shè)不成立，從而原命題得證． 反思與感悟　用反證法證明唯一性命題的一般思路：證明“有且只有一個(gè)”的問題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和唯一性．當(dāng)證明結(jié)論是以“有且只

9、有”“只有一個(gè)”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，可先證“存在性”，由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾，因此可用反證法證其唯一性． 跟蹤訓(xùn)練3　若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，求證：方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多有一個(gè)實(shí)根． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 證明　假設(shè)方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)α，β為其中的兩個(gè)實(shí)根．因?yàn)棣痢佴?，不妨設(shè)α<β，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，所以f(α)

10、一個(gè)直角或鈍角”，第一步應(yīng)假設(shè)(　　) A．三角形中至少有一個(gè)直角或鈍角 B．三角形中至少有兩個(gè)直角或鈍角 C．三角形中沒有直角或鈍角 D．三角形中三個(gè)角都是直角或鈍角 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案　B 2．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么直線c與b的位置關(guān)系為(　　) A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 答案　C 解析　假設(shè)c∥b，而由c∥a，可得a∥b，這與a，b異面矛盾，故c與b不可能是平行直線． 3．用反證法證明“在三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角不小于60°”，應(yīng)先假設(shè)這個(gè)三角形

11、中(　　) A．有一個(gè)內(nèi)角小于60° B．每一個(gè)內(nèi)角都小于60° C．有一個(gè)內(nèi)角大于60° D．每一個(gè)內(nèi)角都大于60° 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案　B 4．用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若a⊥c，b⊥c，則a∥b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)(　　) A．a(chǎn)不垂直于c B．a(chǎn)，b都不垂直于c C．a(chǎn)⊥b D．a(chǎn)與b相交 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案　D 5．用反證法證明：關(guān)于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，當(dāng)a≤－或a≥－1時(shí)，至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用

12、 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 證明　假設(shè)三個(gè)方程都沒有實(shí)數(shù)根，則由判別式都小于零，得 則解得－

13、推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是 ①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾；③與定義、公理、定理矛盾；④與事實(shí)矛盾． 其中正確的為(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 答案　D 2．用反證法證明命題：“若直線AB，CD是異面直線，則直線AC，BD也是異面直線”的過程歸納為以下三個(gè)步驟： ①則A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以AB，CD共面，這與AB，CD是異面直線矛盾； ②所以假設(shè)錯(cuò)誤，即直線AC，BD也是異面直線； ③假設(shè)直線AC，BD是共面直線． 則正確的序號(hào)順序?yàn)?　　) A．①②③ B．③①② C．①③②

14、 D．②③① 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 答案　B 解析　根據(jù)反證法的三個(gè)基本步驟“反設(shè)—?dú)w謬—結(jié)論”可知順序應(yīng)為③①②. 3．否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)為(　　) A．a(chǎn)，b，c都是偶數(shù) B．a(chǎn)，b，c都是奇數(shù) C．a(chǎn)，b，c中至少有兩個(gè)偶數(shù) D．a(chǎn)，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案　D 解析　自然數(shù)a，b，c的奇偶性共有四種情形：3個(gè)都是奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)2個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)1個(gè)奇數(shù)，3個(gè)都是偶數(shù)，所以否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)，正確的反設(shè)為“a，b，c中都是奇數(shù)或至少

15、有兩個(gè)偶數(shù)”． 4．有下列敘述： ①“a>b”的反面是“ay或x

16、a，b都能被5整除 B．a(chǎn)，b都不能被5整除 C．a(chǎn)，b不都能被5整除 D．a(chǎn)不能被5整除 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案　B 解析　“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，即“a，b都不能被5整除”． 6．①已知p3＋q3＝2，證明：p＋q≤2.用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2； ②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證：方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對(duì)值都小于1.用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對(duì)值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1. 以下結(jié)論正確的是(　　) A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤 B．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤 C．①與②的假設(shè)都正確

17、D．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案　D 解析　對(duì)于①，結(jié)論的否定是p＋q>2，故①中的假設(shè)錯(cuò)誤；對(duì)于②，其假設(shè)正確，故選D. 7．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，則三個(gè)數(shù)a＋，b＋，c＋(　　) A．都大于2 B．至少有一個(gè)大于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．至少有一個(gè)不大于2 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 答案　C 解析　假設(shè)a＋<2，b＋<2，c＋<2， 則＋＋<6. 又＋＋ ＝＋＋≥2＋2＋2＝6， 這與假設(shè)得到的不等式相矛盾，從而假設(shè)不正確，所以這三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2. 二、填空題 8．用反證法證明

18、命題“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)________． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案　x＝a或x＝b 9．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件： ①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是______．(填序號(hào)) 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 答案?、? 10．某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一人說真話，只有一人偷了珠寶．甲：我沒有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；?。何覜]有偷． 根據(jù)以上條件，可以判斷偷珠寶的人是_______． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用

19、 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 答案　甲 解析　假如甲：我沒有偷是真的，則乙：丙是小偷；丙：丁是小偷是假的；?。何覜]有偷就是真的，與他們四人中有一人說真話矛盾． 假如甲：我沒有偷是假的，則?。何覜]有偷就是真的， 乙：丙是小偷，丙：丁是小偷是假的，成立． ∴可以判斷偷珠寶的人是甲． 11．若下列兩個(gè)方程x2＋(a－2)x＋a2＝0，x2＋ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________________． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 答案　(－∞，－8]∪[－2，＋∞) 解析　若兩方程均無實(shí)根， 則Δ1＝(a－2)2－4a2＝(3a－2)

20、(－a－2)<0， ∴a<－2或a>. Δ2＝a2＋8a＝a(a＋8)<0， ∴－80.

21、這與a＋b＋c≤0矛盾， ∴假設(shè)不成立， 故a，b，c中至少有一個(gè)是大于0的． 13．已知f(x)＝ax＋(a>1)，求證：方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 證明　假設(shè)x0是f(x)＝0的負(fù)數(shù)根， 則x0<0且x0≠－1，且ax0＝－， ∴0

22、解析　假設(shè)a≠b，令a＝b＋m(m是不等于零的有理數(shù))， 于是b＋m＋＝b＋， 所以m＋＝，兩邊平方整理得＝. 左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，矛盾， 因此a＝b，從而c＝d. 15．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列． (1)推導(dǎo)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式； (2)設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列． 考點(diǎn)　反證法及應(yīng)用 題點(diǎn)　反證法的應(yīng)用 (1)解　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn， 當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1； 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，① qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，② 由①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn， 所以Sn＝， 綜上所述，Sn＝ (2)證明　假設(shè){an＋1}是等比數(shù)列，則對(duì)任意的k∈N*， (ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)， a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1， aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1， 因?yàn)閍1≠0， 所以2qk＝qk－1＋qk＋1. 因?yàn)閝≠0，所以q2－2q＋1＝0， 所以q＝1，這與已知矛盾． 所以假設(shè)不成立，故數(shù)列{an＋1}不是等比數(shù)列． 11