(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2 直接證明與間接證明 2.2.2 反證法學(xué)案 新人教A版選修2-2

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1、 2.2.2 反證法 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解反證法是間接證明的一種基本方法.2.理解反證法的思考過程,會用反證法證明數(shù)學(xué)問題. 知識點(diǎn) 反證法 王戎小時候,愛和小朋友在路上玩耍.一天,他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,獨(dú)有王戎沒動,等到小朋友們摘了李子一嘗,原來是苦的!他們都問王戎:“你怎么知道李子是苦的呢?”王戎說:“假如李子不苦的話,早被路人摘光了,而這樹上卻結(jié)滿了李子,所以李子一定是苦的.” 思考 本故事中王戎運(yùn)用了什么論證思想? 答案 運(yùn)用了反證法思想. 梳理 (1)定義:假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯誤,從而證明

2、了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法. (2)反證法常見的矛盾類型 反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾.這個矛盾可以是與已知條件矛盾,或與假設(shè)矛盾,或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等. 1.反證法屬于間接證明問題的方法.( √ ) 2.反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是一種演繹推理.( × ) 3.反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾.( √ ) 類型一 用反證法證明否定性命題 例1 已知a,b,c,d∈R,且ad-bc=1,求證:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1. 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 證明 假設(shè)a2+b2+c2+d2+ab+cd=1.

3、 因?yàn)閍d-bc=1, 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd+bc-ad=0, 即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0. 所以a+b=0,c+d=0,a-d=0,b+c=0, 則a=b=c=d=0, 這與已知條件ad-bc=1矛盾,故假設(shè)不成立. 所以a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1. 反思與感悟 (1)用反證法證明否定性命題的適用類型: 結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題,此類問題的正面比較模糊,而反面比較具體,適合使用反證法. (2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟 跟蹤訓(xùn)練1 已知三個正數(shù)a,b,c成等比

4、數(shù)列但不成等差數(shù)列,求證:,,不成等差數(shù)列. 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 證明 假設(shè),,成等差數(shù)列, 則2=+, ∴4b=a+c+2.① ∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac,② 由②得b=,代入①式, 得a+c-2=(-)2=0, ∴a=c,從而a=b=c. 這與已知a,b,c不成等差數(shù)列相矛盾, ∴假設(shè)不成立.故,,不成等差數(shù)列. 類型二 用反證法證明“至多、至少”類問題 例2 a,b,c∈(0,2),求證:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1. 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 證明 假設(shè)(2-a)b,(2-b)c,(2-

5、c)a都大于1. 因?yàn)閍,b,c∈(0,2), 所以2-a>0,2-b>0,2-c>0. 所以≥>1. 同理≥>1, ≥>1. 三式相加,得 ++>3, 即3>3,矛盾. 所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1. 引申探究  已知a,b,c∈(0,1),求證:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于. 證明 假設(shè)(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于. ∵a,b,c都是小于1的正數(shù), ∴1-a,1-b,1-c都是正數(shù). ∴≥>=. 同理,>,>. 三式相加,得++>, 即>,顯然不成立. ∴(1-a)b,(1-b)c,(

6、1-c)a不能都大于. 反思與感悟 應(yīng)用反證法常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞” 當(dāng)命題中出現(xiàn)“至多”“至少”等詞語時,直接證明不易入手且討論較復(fù)雜.這時,可用反證法證明,證明時常見的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”如: 結(jié)論詞 反設(shè)詞 結(jié)論詞 反設(shè)詞 至少有一個 一個也沒有 對所有x成立 存在某個x0不成立 至多有一個 至少有兩個 對任意x不成立 存在某個x0成立 至少有n個 至多有n-1個 p或q 綈p且綈q 至多有n個 至少有n+1個 p且q 綈p或綈q 跟蹤訓(xùn)練2 已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù),求證:由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+

7、a和y3=cx2+2ax+b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點(diǎn). 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 證明 假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點(diǎn), 由y1=ax2+2bx+c,y2=bx2+2cx+a,y3=cx2+2ax+b, 得Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0, 且Δ3=4a2-4bc≤0. 同向不等式求和,得 4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0, 所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac≤0, 所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≤0,所以a=b=c. 這與題設(shè)a,b,c互不

8、相等矛盾, 因此假設(shè)不成立,從而命題得證. 類型三 用反證法證明唯一性命題 例3 求證:方程2x=3有且只有一個根. 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 證明 ∵2x=3,∴x=log23. 這說明方程2x=3有根. 下面用反證法證明方程2x=3的根是唯一的. 假設(shè)方程2x=3至少有兩個根b1,b2(b1≠b2), 則=3, =3,兩式相除得=1, ∴b1-b2=0,則b1=b2,這與b1≠b2矛盾. ∴假設(shè)不成立,從而原命題得證. 反思與感悟 用反證法證明唯一性命題的一般思路:證明“有且只有一個”的問題,需要證明兩個命題,即存在性和唯一性.當(dāng)證明結(jié)論是以“有且只

9、有”“只有一個”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時,可先證“存在性”,由于假設(shè)“唯一性”結(jié)論不成立易導(dǎo)出矛盾,因此可用反證法證其唯一性. 跟蹤訓(xùn)練3 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù),求證:方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上至多有一個實(shí)根. 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 證明 假設(shè)方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上至少有兩個實(shí)根,設(shè)α,β為其中的兩個實(shí)根.因?yàn)棣痢佴?,不妨設(shè)α<β,又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[a,b]上是增函數(shù),所以f(α)

10、一個直角或鈍角”,第一步應(yīng)假設(shè)(  ) A.三角形中至少有一個直角或鈍角 B.三角形中至少有兩個直角或鈍角 C.三角形中沒有直角或鈍角 D.三角形中三個角都是直角或鈍角 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案 B 2.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么直線c與b的位置關(guān)系為(  ) A.一定是異面直線 B.一定是相交直線 C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線 答案 C 解析 假設(shè)c∥b,而由c∥a,可得a∥b,這與a,b異面矛盾,故c與b不可能是平行直線. 3.用反證法證明“在三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°”,應(yīng)先假設(shè)這個三角形

11、中(  ) A.有一個內(nèi)角小于60° B.每一個內(nèi)角都小于60° C.有一個內(nèi)角大于60° D.每一個內(nèi)角都大于60° 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案 B 4.用反證法證明“在同一平面內(nèi),若a⊥c,b⊥c,則a∥b”時,應(yīng)假設(shè)(  ) A.a(chǎn)不垂直于c B.a(chǎn),b都不垂直于c C.a(chǎn)⊥b D.a(chǎn)與b相交 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案 D 5.用反證法證明:關(guān)于x的方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,當(dāng)a≤-或a≥-1時,至少有一個方程有實(shí)數(shù)根. 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用

12、 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 證明 假設(shè)三個方程都沒有實(shí)數(shù)根,則由判別式都小于零,得 則解得-

13、推理下得出矛盾,這個矛盾可以是 ①與已知條件矛盾;②與假設(shè)矛盾;③與定義、公理、定理矛盾;④與事實(shí)矛盾. 其中正確的為(  ) A.①② B.②③ C.③④ D.①②③④ 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 答案 D 2.用反證法證明命題:“若直線AB,CD是異面直線,則直線AC,BD也是異面直線”的過程歸納為以下三個步驟: ①則A,B,C,D四點(diǎn)共面,所以AB,CD共面,這與AB,CD是異面直線矛盾; ②所以假設(shè)錯誤,即直線AC,BD也是異面直線; ③假設(shè)直線AC,BD是共面直線. 則正確的序號順序?yàn)?  ) A.①②③ B.③①② C.①③②

14、 D.②③① 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 答案 B 解析 根據(jù)反證法的三個基本步驟“反設(shè)—?dú)w謬—結(jié)論”可知順序應(yīng)為③①②. 3.否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”時,正確的反設(shè)為(  ) A.a(chǎn),b,c都是偶數(shù) B.a(chǎn),b,c都是奇數(shù) C.a(chǎn),b,c中至少有兩個偶數(shù) D.a(chǎn),b,c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案 D 解析 自然數(shù)a,b,c的奇偶性共有四種情形:3個都是奇數(shù),1個偶數(shù)2個奇數(shù),2個偶數(shù)1個奇數(shù),3個都是偶數(shù),所以否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”時,正確的反設(shè)為“a,b,c中都是奇數(shù)或至少

15、有兩個偶數(shù)”. 4.有下列敘述: ①“a>b”的反面是“ay或x

16、a,b都能被5整除 B.a(chǎn),b都不能被5整除 C.a(chǎn),b不都能被5整除 D.a(chǎn)不能被5整除 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案 B 解析 “至少有一個”的否定是“一個也沒有”,即“a,b都不能被5整除”. 6.①已知p3+q3=2,證明:p+q≤2.用反證法證明時,可假設(shè)p+q≥2; ②若a,b∈R,|a|+|b|<1,求證:方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值都小于1.用反證法證明時可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1,即假設(shè)|x1|≥1. 以下結(jié)論正確的是(  ) A.①與②的假設(shè)都錯誤 B.①的假設(shè)正確;②的假設(shè)錯誤 C.①與②的假設(shè)都正確

17、D.①的假設(shè)錯誤;②的假設(shè)正確 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案 D 解析 對于①,結(jié)論的否定是p+q>2,故①中的假設(shè)錯誤;對于②,其假設(shè)正確,故選D. 7.設(shè)a,b,c都是正數(shù),則三個數(shù)a+,b+,c+(  ) A.都大于2 B.至少有一個大于2 C.至少有一個不小于2 D.至少有一個不大于2 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 答案 C 解析 假設(shè)a+<2,b+<2,c+<2, 則++<6. 又++ =++≥2+2+2=6, 這與假設(shè)得到的不等式相矛盾,從而假設(shè)不正確,所以這三個數(shù)至少有一個不小于2. 二、填空題 8.用反證法證明

18、命題“若x2-(a+b)x+ab≠0,則x≠a且x≠b”時,應(yīng)假設(shè)________. 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 如何正確進(jìn)行反設(shè) 答案 x=a或x=b 9.設(shè)a,b是兩個實(shí)數(shù),給出下列條件: ①a+b=1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2.其中能推出“a,b中至少有一個大于1”的條件是______.(填序號) 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 答案?、? 10.某珠寶店丟了一件珍貴珠寶,以下四人中只有一人說真話,只有一人偷了珠寶.甲:我沒有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;?。何覜]有偷. 根據(jù)以上條件,可以判斷偷珠寶的人是_______. 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用

19、 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 答案 甲 解析 假如甲:我沒有偷是真的,則乙:丙是小偷;丙:丁是小偷是假的;?。何覜]有偷就是真的,與他們四人中有一人說真話矛盾. 假如甲:我沒有偷是假的,則?。何覜]有偷就是真的, 乙:丙是小偷,丙:丁是小偷是假的,成立. ∴可以判斷偷珠寶的人是甲. 11.若下列兩個方程x2+(a-2)x+a2=0,x2+ax-2a=0中至少有一個方程有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________________. 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 答案 (-∞,-8]∪[-2,+∞) 解析 若兩方程均無實(shí)根, 則Δ1=(a-2)2-4a2=(3a-2)

20、(-a-2)<0, ∴a<-2或a>. Δ2=a2+8a=a(a+8)<0, ∴-80.

21、這與a+b+c≤0矛盾, ∴假設(shè)不成立, 故a,b,c中至少有一個是大于0的. 13.已知f(x)=ax+(a>1),求證:方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根. 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 證明 假設(shè)x0是f(x)=0的負(fù)數(shù)根, 則x0<0且x0≠-1,且ax0=-, ∴0

22、解析 假設(shè)a≠b,令a=b+m(m是不等于零的有理數(shù)), 于是b+m+=b+, 所以m+=,兩邊平方整理得=. 左邊是無理數(shù),右邊是有理數(shù),矛盾, 因此a=b,從而c=d. 15.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列. (1)推導(dǎo)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式; (2)設(shè)q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列. 考點(diǎn) 反證法及應(yīng)用 題點(diǎn) 反證法的應(yīng)用 (1)解 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn, 當(dāng)q=1時,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 當(dāng)q≠1時,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② 由①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, 所以Sn=, 綜上所述,Sn= (2)證明 假設(shè){an+1}是等比數(shù)列,則對任意的k∈N*, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1, aq2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, 因?yàn)閍1≠0, 所以2qk=qk-1+qk+1. 因?yàn)閝≠0,所以q2-2q+1=0, 所以q=1,這與已知矛盾. 所以假設(shè)不成立,故數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列. 11

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