2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講課時訓(xùn)練 選修4-1

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講課時訓(xùn)練 選修4-1 1. (2017·鎮(zhèn)江期末)如圖，已知AB是圓O的直徑，P是上半圓上的任意一點，PC是∠APB的平分線，點E是的中點．求證：直線PC經(jīng)過點E. 證明：連結(jié)AE，EB，OE， 由題意知∠AOE＝∠BOE＝90°， 因為∠APE是圓周角，∠AOE是同弧上的圓心角， 所以∠APE＝∠AOE＝45°. 同理可得，∠BPE＝∠BOE＝45°， 所以PE是∠APB的平分線， 又PC是∠APB的平分線， 所以PC與PE重合，所以直線PC經(jīng)過點E. 2. 如圖，圓O的兩弦AB，CD交于點F，從F點引BC的平行線和直線AD交于

2、P，再從P引這個圓的切線，切點是Q.求證：PF＝PQ. 證明：因為A，B，C，D四點共圓，所以ADF＝ABC. 因為PF∥BC，所以AFP＝ABC.所以AFP＝FDP. 又因為APF＝FPD， 所以△APF∽△FPD. 所以＝.所以PF2＝PA·PD. 因為PQ與圓O相切，所以PQ2＝PA·PD. 所以PF2＝PQ2.所以PF＝PQ. 3. 如圖，圓O與圓P相交于A，B兩點，點P在圓O上，圓O的弦BC切圓P于點B，CP及其延長線交圓P于D，E兩點，過點E作EF⊥CE交CB延長線于點F.若CD＝2，CB＝2，求EF的長． 解：連結(jié)PB，∵ BC切圓P于點B， ∴PB⊥

3、BC. 又CD＝2，CB＝2， 由切割線定理得CB2＝CD·CE， ∴ CE＝4，DE＝2，BP＝1. ∵ EF⊥CE， ∴ △CPB∽△CFE，∴ ＝，EF＝. 4. 如圖，AB，AC是圓O的切線，ADE是圓O的割線，求證：BE·CD＝BD·CE.　 證明：∵ AB是圓O的切線， ∴ ∠ABD＝∠AEB. ∵ ∠BAD＝∠EAB， ∴ △BAD∽△EAB. ∴ ＝. 同理＝. ∵ AB，AC是圓O的切線，∴ AB＝AC. ∴ ＝，即BE· CD＝BD· CE. 5. (2017·南通、泰州模擬)如圖，已知△ABC內(nèi)接于圓O，連結(jié)AO并延長交圓O于點D，∠A

4、CB＝∠ADC.求證：AD·BC＝2AC·CD. 證明：證明：連結(jié)OC. 因為∠ACB＝∠ADC，∠ABC＝∠ADC， 所以∠ACB＝∠ABC. 因為OC＝OD，所以∠OCD＝∠ADC. 所以∠ACB＝∠OCD. 所以△ABC∽△ODC. 所以＝，即AC·CD＝OC·BC. 因為OC＝AD， 所以AD·BC＝2AC·CD. 6. (2017·蘇北三市模擬)如圖，圓O的弦AB，MN交于點C，且點A為弧MN的中點，點D在弧BM上．若∠ACN＝3∠ADB，求∠ADB的大小． 解：連結(jié)AN，DN. 因為A為弧MN的中點， 所以∠ANM＝∠ADN. 而∠NAB＝

5、∠NDB， 所以∠ANM＋∠NAB＝∠ADN＋∠NDB， 即∠BCN＝∠ADB. 又∠ACN＝3∠ADB， 所以∠ACN＋∠BCN＝3∠ADB＋∠ADB＝180°， 故∠ADB＝45°. 7. 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以邊AC上的點O為圓心，OA為半徑作圓，與邊AB，AC分別交于點E，F(xiàn)，EC與圓O交于點D，連結(jié)AD并延長交BC于P. (1) 求證：AE·AB＝AD·AP. (2) 已知AE＝EB＝4，AD＝5，求AP的長． (1)證明：連結(jié)EF，則∠AEF＝90°. ∵ ∠ACB＝90°，∴ B，C，F(xiàn)，E四點共圓． 則∠AFE＝∠B. ∵ ∠A

6、DE＝∠AFE，∴ ∠ADE＝∠B. ∴ B，P，D，E四點共圓． 則AE·AB＝AD·AP. (2)解：∵ AE＝EB＝4，AD＝5，∴ AB＝8. 由(1)AE·AB＝AD·AP，得AP＝. 8. (2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)如圖，直線DE切圓O于點D，直線EO交圓O于A，B兩點，DC⊥OB于點C，且DE＝2BE，求證：2OC＝3BC. 證明：連結(jié)OD，設(shè)圓的半徑為R，BE＝x， 則OD＝R，DE＝2BE＝2x， 在Rt△ODE中，∵ DC⊥OB，∴ OD2＝OC?OE， ∴ R2＝OC(R＋x)?、? ∵ 直線DE切圓O于點D，∴ DE2＝BE?AE， ∴ 4x2

7、＝x(2R＋x)?、?， ∴ x＝. 代入①，解得OC＝，∴ BC＝OB－OC＝， ∴ 2OC＝3BC. 9. 如圖，已知AB為圓O的直徑，BC切圓O于點B，AC交圓O于點P，E為線段BC的中點．求證：OP⊥PE. 證明：連結(jié)BP，∵ AB是圓O的直徑， ∴ ∠APB＝90°，∴∠BPC＝90°. 在Rt△BPC中，∵ E是邊BC的中點， ∴ BE＝EC，∴BE＝EP， ∴ ∠1＝∠3. ∵ B，P為圓O上的點， ∴ OB＝OP，∴∠2＝∠4. ∵ BC切圓O于點B， ∴ ∠ABC＝90°，即∠1＋∠2＝90°， 從而∠3＋∠4＝90°， ∴ ∠O

8、PE＝90°. ∴ OP⊥PE. 10. (2017·金陵中學(xué)質(zhì)檢)如圖，已知AB為圓O的直徑，C，F(xiàn)為圓O上的兩點，OC⊥AB，過點F作圓O的切線FD交AB的延長線于點D，連結(jié)CF交AB于點E.求證：DE2＝DA·DB. 證明：連結(jié)OF. ∵ DF切圓O于F，∴ ∠OFD＝90°. ∴ ∠OFC＋∠CFD＝90°. ∵ OC＝OF，∴ ∠OCF＝∠OFC. ∵ CO⊥AB于O， ∴ ∠OCF＋∠CEO＝90°. ∴ ∠CFD＝∠CEO＝∠DEF， ∴ DF＝DE. ∵ DF是圓O的切線， ∴ DF2＝DB·DA. ∴ DE2＝DB·DA. 11. (2017·南通、泰州期末)已知圓O的直徑AB＝4，C為AO的中點，弦DE過點C且滿足CE＝2CD，求△OCE的面積． 解：設(shè)CD＝x，則CE＝2x. 因為CA＝1，CB＝3， 由相交弦定理，得CA·CB＝CD·CE， 所以1×3＝x·2x＝2x2，所以x＝. 取DE的中點H，連結(jié)OH，則OH⊥DE. 因為OH2＝OE2－EH2＝4－＝， 所以O(shè)H＝. 因為CE＝2x＝， 所以△OCE的面積S＝OH·CE＝××＝.