2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講課時(shí)訓(xùn)練 選修4-1

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 幾何證明選講課時(shí)訓(xùn)練 選修4-1 1. (2017·鎮(zhèn)江期末)如圖,已知AB是圓O的直徑,P是上半圓上的任意一點(diǎn),PC是∠APB的平分線(xiàn),點(diǎn)E是的中點(diǎn).求證:直線(xiàn)PC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E. 證明:連結(jié)AE,EB,OE, 由題意知∠AOE=∠BOE=90°, 因?yàn)椤螦PE是圓周角,∠AOE是同弧上的圓心角, 所以∠APE=∠AOE=45°. 同理可得,∠BPE=∠BOE=45°, 所以PE是∠APB的平分線(xiàn), 又PC是∠APB的平分線(xiàn), 所以PC與PE重合,所以直線(xiàn)PC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E. 2. 如圖,圓O的兩弦AB,CD交于點(diǎn)F,從F點(diǎn)引BC的平行線(xiàn)和直線(xiàn)AD交于

2、P,再?gòu)腜引這個(gè)圓的切線(xiàn),切點(diǎn)是Q.求證:PF=PQ. 證明:因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共圓,所以ADF=ABC. 因?yàn)镻F∥BC,所以AFP=ABC.所以AFP=FDP. 又因?yàn)锳PF=FPD, 所以△APF∽△FPD. 所以=.所以PF2=PA·PD. 因?yàn)镻Q與圓O相切,所以PQ2=PA·PD. 所以PF2=PQ2.所以PF=PQ. 3. 如圖,圓O與圓P相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓O上,圓O的弦BC切圓P于點(diǎn)B,CP及其延長(zhǎng)線(xiàn)交圓P于D,E兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CE交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.若CD=2,CB=2,求EF的長(zhǎng). 解:連結(jié)PB,∵ BC切圓P于點(diǎn)B, ∴PB⊥

3、BC. 又CD=2,CB=2, 由切割線(xiàn)定理得CB2=CD·CE, ∴ CE=4,DE=2,BP=1. ∵ EF⊥CE, ∴ △CPB∽△CFE,∴ =,EF=. 4. 如圖,AB,AC是圓O的切線(xiàn),ADE是圓O的割線(xiàn),求證:BE·CD=BD·CE.  證明:∵ AB是圓O的切線(xiàn), ∴ ∠ABD=∠AEB. ∵ ∠BAD=∠EAB, ∴ △BAD∽△EAB. ∴ =. 同理=. ∵ AB,AC是圓O的切線(xiàn),∴ AB=AC. ∴ =,即BE· CD=BD· CE. 5. (2017·南通、泰州模擬)如圖,已知△ABC內(nèi)接于圓O,連結(jié)AO并延長(zhǎng)交圓O于點(diǎn)D,∠A

4、CB=∠ADC.求證:AD·BC=2AC·CD. 證明:證明:連結(jié)OC. 因?yàn)椤螦CB=∠ADC,∠ABC=∠ADC, 所以∠ACB=∠ABC. 因?yàn)镺C=OD,所以∠OCD=∠ADC. 所以∠ACB=∠OCD. 所以△ABC∽△ODC. 所以=,即AC·CD=OC·BC. 因?yàn)镺C=AD, 所以AD·BC=2AC·CD. 6. (2017·蘇北三市模擬)如圖,圓O的弦AB,MN交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A為弧MN的中點(diǎn),點(diǎn)D在弧BM上.若∠ACN=3∠ADB,求∠ADB的大小. 解:連結(jié)AN,DN. 因?yàn)锳為弧MN的中點(diǎn), 所以∠ANM=∠ADN. 而∠NAB=

5、∠NDB, 所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB, 即∠BCN=∠ADB. 又∠ACN=3∠ADB, 所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°, 故∠ADB=45°. 7. 如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,以邊AC上的點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作圓,與邊AB,AC分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),EC與圓O交于點(diǎn)D,連結(jié)AD并延長(zhǎng)交BC于P. (1) 求證:AE·AB=AD·AP. (2) 已知AE=EB=4,AD=5,求AP的長(zhǎng). (1)證明:連結(jié)EF,則∠AEF=90°. ∵ ∠ACB=90°,∴ B,C,F(xiàn),E四點(diǎn)共圓. 則∠AFE=∠B. ∵ ∠A

6、DE=∠AFE,∴ ∠ADE=∠B. ∴ B,P,D,E四點(diǎn)共圓. 則AE·AB=AD·AP. (2)解:∵ AE=EB=4,AD=5,∴ AB=8. 由(1)AE·AB=AD·AP,得AP=. 8. (2017·蘇錫常鎮(zhèn)二模)如圖,直線(xiàn)DE切圓O于點(diǎn)D,直線(xiàn)EO交圓O于A,B兩點(diǎn),DC⊥OB于點(diǎn)C,且DE=2BE,求證:2OC=3BC. 證明:連結(jié)OD,設(shè)圓的半徑為R,BE=x, 則OD=R,DE=2BE=2x, 在Rt△ODE中,∵ DC⊥OB,∴ OD2=OC?OE, ∴ R2=OC(R+x)?、? ∵ 直線(xiàn)DE切圓O于點(diǎn)D,∴ DE2=BE?AE, ∴ 4x2

7、=x(2R+x)?、冢? ∴ x=. 代入①,解得OC=,∴ BC=OB-OC=, ∴ 2OC=3BC. 9. 如圖,已知AB為圓O的直徑,BC切圓O于點(diǎn)B,AC交圓O于點(diǎn)P,E為線(xiàn)段BC的中點(diǎn).求證:OP⊥PE. 證明:連結(jié)BP,∵ AB是圓O的直徑, ∴ ∠APB=90°,∴∠BPC=90°. 在Rt△BPC中,∵ E是邊BC的中點(diǎn), ∴ BE=EC,∴BE=EP, ∴ ∠1=∠3. ∵ B,P為圓O上的點(diǎn), ∴ OB=OP,∴∠2=∠4. ∵ BC切圓O于點(diǎn)B, ∴ ∠ABC=90°,即∠1+∠2=90°, 從而∠3+∠4=90°, ∴ ∠O

8、PE=90°. ∴ OP⊥PE. 10. (2017·金陵中學(xué)質(zhì)檢)如圖,已知AB為圓O的直徑,C,F(xiàn)為圓O上的兩點(diǎn),OC⊥AB,過(guò)點(diǎn)F作圓O的切線(xiàn)FD交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,連結(jié)CF交AB于點(diǎn)E.求證:DE2=DA·DB. 證明:連結(jié)OF. ∵ DF切圓O于F,∴ ∠OFD=90°. ∴ ∠OFC+∠CFD=90°. ∵ OC=OF,∴ ∠OCF=∠OFC. ∵ CO⊥AB于O, ∴ ∠OCF+∠CEO=90°. ∴ ∠CFD=∠CEO=∠DEF, ∴ DF=DE. ∵ DF是圓O的切線(xiàn), ∴ DF2=DB·DA. ∴ DE2=DB·DA. 11. (2017·南通、泰州期末)已知圓O的直徑AB=4,C為AO的中點(diǎn),弦DE過(guò)點(diǎn)C且滿(mǎn)足CE=2CD,求△OCE的面積. 解:設(shè)CD=x,則CE=2x. 因?yàn)镃A=1,CB=3, 由相交弦定理,得CA·CB=CD·CE, 所以1×3=x·2x=2x2,所以x=. 取DE的中點(diǎn)H,連結(jié)OH,則OH⊥DE. 因?yàn)镺H2=OE2-EH2=4-=, 所以O(shè)H=. 因?yàn)镃E=2x=, 所以△OCE的面積S=OH·CE=××=.

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