(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(一)學(xué)案 新人教A版選修2-2
《(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(一)學(xué)案 新人教A版選修2-2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(全國通用版)2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(一)學(xué)案 新人教A版選修2-2(17頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 1.3.3 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解函數(shù)最值的概念,了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值. 知識(shí)點(diǎn) 函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù) 如圖為函數(shù)y=f(x),x∈[a,b]的圖象. 思考1 觀察區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象,試找出它的極大值、極小值. 答案 極大值為f(x1),f(x3),極小值為f(x2),f(x4). 思考2 結(jié)合圖象判斷,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是否存在最大值,最小值?若存在,分別為多少? 答案 存在,f(x)min=f(a),f(x)max=f(x3). 梳理 (1)函數(shù)的最大(小)
2、值的存在性 一般地,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值. (2)一般地,求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下: ①求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值; ②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值. 1.函數(shù)的最大值不一定是函數(shù)的極大值.( √ ) 2.函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得.( × ) 3.有極值的函數(shù)一定有最值,有最值的函數(shù)不一定有極值.( × ) 類型一 求函數(shù)的最值
3、例1 求下列各函數(shù)的最值: (1)f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2]; (2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]. 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值 題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值 解 (1)f′(x)=-4x3+4x, 令f′(x)=-4x(x+1)(x-1)=0,得 x=-1,x=0,x=1. 當(dāng)x變化時(shí),f′(x)及f(x)的變化情況如下表: x -3 (-3,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 - 0 + 0 - f(x) -60 ↗ 極大值
4、↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ -5 ∴當(dāng)x=-3時(shí),f(x)取最小值-60; 當(dāng)x=-1或x=1時(shí),f(x)取最大值4. (2)f′(x)=3x2-6x+6=3(x2-2x+2)=3(x-1)2+3, ∵f′(x)在[-1,1]內(nèi)恒大于0,∴f(x)在[-1,1]上為增函數(shù).故當(dāng)x=-1時(shí),f(x)min=-12; 當(dāng)x=1時(shí),f(x)max=2. 即f(x)的最小值為-12,最大值為2. 反思與感悟 求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值,需注意以下幾點(diǎn) (1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo),并檢驗(yàn)f′(x)=0的根是否在給定區(qū)間內(nèi). (2)研究函數(shù)的單調(diào)性,正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值.
5、 (3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小,確定最值. 跟蹤訓(xùn)練1 求下列函數(shù)的最值. (1)f(x)=; (2)f(x)=x+sin x,x∈[0,2π]. 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值 題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值 解 (1)函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽. f′(x)==, 當(dāng)f′(x)=0時(shí),x=2, 當(dāng)f′(x)>0時(shí),x<2, 當(dāng)f′(x)<0時(shí),x>2. 所以f(x)在(-∞,2)上單調(diào)遞增,在(2,+∞)上單調(diào)遞減, 所以f(x)無最小值,且當(dāng)x=2時(shí),f(x)max=f(2)=. (2)f′(x)=+cos x,x∈[0,2π], 令f′(x)=0,得x
6、=π或x=π. 因?yàn)閒(0)=0,f(2π)=π,f?=+,f?=π-, 所以當(dāng)x=0時(shí),f(x)有最小值f(0)=0, 當(dāng)x=2π時(shí),f(x)有最大值f(2π)=π. 例2 已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-bx-1,其中a,b∈R,e=2.718 28…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值. 考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值 題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值 解 因?yàn)閒(x)=ex-ax2-bx-1, 所以g(x)=f′(x)=ex-2ax-b, 又g′(x)=ex-2a, 因?yàn)閤∈[0,1],1≤ex≤e, 所
7、以: (1)若a≤,則2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0, 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,g(x)min=g(0)=1-b. (2)若0, 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,ln(2a)]上單調(diào)遞減, 在區(qū)間[ln(2a),1]上單調(diào)遞增, g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b. (3)若a≥,則2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0, 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減, g(x)min=g(1
8、)=e-2a-b.
綜上所述,當(dāng)a≤時(shí),g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為1-b;
當(dāng)
9、2.當(dāng)b=0時(shí),若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為0,求a的值.
解 當(dāng)b=0時(shí),因?yàn)閒(x)=ex-ax2-1,
所以g(x)=f′(x)=ex-2ax,
又g′(x)=ex-2a,因?yàn)閤∈[0,1],1≤ex≤e,
所以:
(1)若a≤,則2a≤1,g′(x)=ex-2a≥0,
所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,
g(x)min=g(0)=1,不符合題意.
(2)若0,
所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,ln(2a)]上單 10、調(diào)遞減,
在區(qū)間[ln(2a),1]上單調(diào)遞增,
g(x)min=g(ln(2a))=2a-2aln(2a)=0,
解得a=不符合題意,舍去.
(3)若a≥,則2a≥e,g′(x)=ex-2a≤0,
所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,
g(x)min=g(1)=e-2a=0,解得a=.
反思與感悟 對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論,其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0,等于0,小于0三種情況.若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0,則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),最值在端點(diǎn)處取得;若導(dǎo)函數(shù)可能等于0,則求出極值點(diǎn)后求極值,再與端點(diǎn)值比較后確定最值.
跟蹤訓(xùn)練2 已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x2(x-a),求f(x)在區(qū) 11、間[0,2]上的最大值.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值
解 f′(x)=3x2-2ax.
令f′(x)=0,解得x1=0,x2=.
①當(dāng)≤0,即a≤0時(shí),
f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增,
從而f(x)max=f(2)=8-4a.
②當(dāng)≥2,即a≥3時(shí),
f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,
從而f(x)max=f(0)=0.
③當(dāng)0<<2,即0
12、大值為3,最小值為-29,求a,b的值.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用
題點(diǎn) 已知最值求參數(shù)
解 由題設(shè)知a≠0,否則f(x)=b為常函數(shù),與題設(shè)矛盾.
求導(dǎo)得f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f′(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
①當(dāng)a>0,且當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
f′(x)
+
0
-
f(x)
-7a+b
↗
b
↘
-16a+b
由表可知,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極大值b,也就是函數(shù)在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=b=3 13、.
又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3 14、意分類討論思想的應(yīng)用.
跟蹤訓(xùn)練3 已知函數(shù)h(x)=x3+3x2-9x+1在區(qū)間[k,2]上的最大值是28,求k的取值范圍.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用
題點(diǎn) 已知最值求參數(shù)
解 ∵h(yuǎn)(x)=x3+3x2-9x+1,
∴h′(x)=3x2+6x-9.
令h′(x)=0,得x1=-3,x2=1,
當(dāng)x變化時(shí),h′(x),h(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-3)
-3
(-3,1)
1
(1,+∞)
h′(x)
+
0
-
0
+
h(x)
↗
28
↘
-4
↗
當(dāng)x=-3時(shí),取極大值28;
當(dāng)x=1時(shí),取極小值-4.
而h( 15、2)=3 16、,-1 B.1,-17
C.3,-17 D.9,-19
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 C
解析 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f′(x)=0,得x=±1.
又f(-3)=-27+9+1=-17,f(0)=1,f(-1)=-1+3+1=3,1?[-3,0].
所以最大值為3,最小值為-17.
3.函數(shù)f(x)=的最大值為( )
A.e-1 B.e C.e2 D.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 A
解析 令f′(x)===0,
解得x=e.當(dāng)x>e時(shí),f′ 17、(x)<0;當(dāng)0 18、
5.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+c在點(diǎn)x=2處取得極值c-16.
(1)求a,b的值;
(2)若f(x)有極大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用
題點(diǎn) 最值與極值的綜合應(yīng)用
解 (1)因?yàn)閒(x)=ax3+bx+c,故f′(x)=3ax2+b.
由于f(x)在點(diǎn)x=2處取得極值c-16,
故有即
化簡得解得a=1,b=-12.
(2)令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.
當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),f′(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上為增函數(shù);
當(dāng)x∈(-2,2)時(shí),f′(x)<0,故f(x)在(-2,2)上為減函數(shù) 19、;
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù).
由此可知f(x)在x1=-2處取得極大值,f(-2)=16+c,f(x)在x2=2處取得極小值,f(2)=c-16.
由題設(shè)條件知16+c=28得c=12.
此時(shí)f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4.
因此,f(x)在[-3,3]上的最小值為f(2)=-4.
1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,只需比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值即可;若函數(shù)在一個(gè)開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,這個(gè)極值就是最值.
2.已知最值求參數(shù)時(shí),可先確定參數(shù)的值,用參數(shù)表示最值時(shí),應(yīng)分類討論.
一、選擇 20、題
1.設(shè)M,m分別是函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,若M=m,則f′(x)( )
A.等于0 B.小于0
C.等于1 D.不確定
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用
題點(diǎn) 已知最值求導(dǎo)數(shù)
答案 A
解析 因?yàn)镸=m,所以f(x)為常數(shù)函數(shù),故f′(x)=0,故選A.
2.函數(shù)f(x)=x4-4x(|x|<1)( )
A.有最大值,無最小值
B.有最大值,也有最小值
C.無最大值,有最小值
D.既無最大值,也無最小值
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍
題點(diǎn) 最值存在性問題
答案 D
解析 f′(x)=4x3-4=4(x-1)(x2+x+1) 21、.
令f′(x)=0,得x=1.
又x∈(-1,1)且1?(-1,1),
∴該方程無解,故函數(shù)f(x)在(-1,1)上既無極值也無最值,故選D.
3.函數(shù)f(x)=2+,x∈(0,5]的最小值為( )
A.2 B.3
C. D.2+
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 B
解析 由f′(x)=-==0,得x=1,
且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,當(dāng)x∈(1,5]時(shí),f′(x)>0,
∴當(dāng)x=1時(shí),f(x)最小,最小值為f(1)=3.
4.若函數(shù)f(x)=asin x+sin 3x在x=處有最值,則a等于( )
A. 22、2 B.1
C. D.0
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用
題點(diǎn) 已知最值求參數(shù)
答案 A
解析 ∵f(x)在x=處有最值,
∴x=是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).
又∵f′(x)=acos x+cos 3x,
∴f′=acos +cos π=0,解得a=2.
5.已知函數(shù)f(x),g(x)均為[a,b]上的可導(dǎo)函數(shù),在[a,b]上連續(xù)且f′(x) 23、 A
解析 令F(x)=f(x)-g(x),∵f′(x) 24、-2a+3=,
解得a=-或a=-(舍去).
所以a=-.
7.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4在x=2處取得極值,若m,n∈[-1,1],則f(m)+f′(n)的最小值是( )
A.15 B.-15
C.10 D.-13
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求含參數(shù)函數(shù)的最值
答案 D
解析 f′(x)=-3x2+2ax,
由函數(shù)f(x)在x=2處取得極值知f′(2)=0,
即-3×4+2a×2=0,∴a=3,
由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f′(x)=-3x2+6x,
易知f(x)在區(qū)間[-1,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞增 25、,
∴當(dāng)m∈[-1,1]時(shí),f(m)min=f(0)=-4.
又f′(x)=-3x2+6x的圖象開口向下,且對(duì)稱軸為直線x=1,
∴當(dāng)n∈[-1,1]時(shí),f′(n)min=f′(-1)=-9.
故f(m)+f′(n)的最小值為-13.
二、填空題
8.函數(shù)f(x)=(x∈[-2,2])的最大值是________,最小值是________.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用
題點(diǎn) 最值與極值的綜合應(yīng)用
答案 2?。?
解析 f′(x)=
==,
令f′(x)=0,得x1=-1,x2=1.
由f(-2)=-,f(-1)=-2,f(1)=2,f(2)=,
∴f(x)max=2 26、,f(x)min=-2.
9.已知函數(shù)f(x)=-x3+2ax2+3x(a>0)的導(dǎo)數(shù)f′(x)的最大值為5,則在函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程是________.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用
題點(diǎn) 已知最值求參數(shù)
答案 15x-3y-2=0
解析 ∵f′(x)=-2x2+4ax+3
=-2(x-a)2+3+2a2,
∴f′(x)max=3+2a2=5,
∵a>0,∴a=1.
∴f′(x)=-2x2+4x+3,
f′(1)=-2+4+3=5.
又f(1)=-+2+3=,
∴所求切線方程為y-=5(x-1).
即15x-3y-2=0.
10.函數(shù) 27、f(x)=ex(sin x+cos x)在區(qū)間上的值域?yàn)開_______.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
答案
解析 f′(x)=ex(sin x+cos x)+ex(cos x-sin x)=excos x,
當(dāng)0≤x≤時(shí),f′(x)≥0,
所以f(x)在上是增函數(shù),
故f(x)的最大值為f=,f(x)的最小值為f(0)=.
11.已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=ln x-ax,當(dāng)x∈(-2,0)時(shí),f(x)的最小值為1,則a的值為________.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用
題點(diǎn) 已知最值求參數(shù)
答案 1 28、
解析 由題意知,當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)的最大值為-1.
令f′(x)=-a=0,得x=,
當(dāng)0 29、 2)上單調(diào)遞增,
在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞減,
∴g(x)max=2ln 2-eln 2=2ln 2-2,
∴a≤2ln 2-2.
三、解答題
13.已知函數(shù)f(x)=aln x-bx2,a,b∈R,且曲線y=f(x)在x=1處與直線y=-相切.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)在上的最大值.
考點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
題點(diǎn) 利用導(dǎo)數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的最值
解 (1)f′(x)=-2bx.
由曲線y=f(x)在x=1處與直線y=-相切,
得即解得
(2)由(1),得f(x)=ln x-x2,定義域?yàn)?0,+∞).
f′(x)=-x=.
令f′(x)>0 30、,得0 31、上的最小值為f(1),所以-1-1+m=,解得m=2.
15.已知函數(shù)f(x)=ln x+.
(1)當(dāng)a<0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值是,求a的值.
考點(diǎn) 導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用
題點(diǎn) 已知最值求參數(shù)
解 函數(shù)f(x)=ln x+的定義域?yàn)?0,+∞),
f′(x)=-=,
(1)∵a<0,∴f′(x)>0,
故函數(shù)在其定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)x∈[1,e]時(shí),分如下情況討論:
①當(dāng)a<1時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,其最小值為f(1)=a<1,這與函數(shù)在[1,e]上的最小值是相矛盾;
②當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,其最小值為f(1)=1,同樣與最小值是相矛盾;
③當(dāng)10,f(x)單調(diào)遞增,
所以,函數(shù)f(x)的最小值為f(a)=ln a+1,由ln a+1=,得a=.
④當(dāng)a=e時(shí),函數(shù)f(x)在[1,e]上有f′(x)≤0,f(x)單調(diào)遞減,其最小值為f(e)=2,這與最小值是相矛盾;
⑤當(dāng)a>e時(shí),顯然函數(shù)f(x)在[1,e]上單調(diào)遞減,其最小值為f(e)=1+>2,仍與最小值是相矛盾;
綜上所述,a的值為.
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