（全國通用版）2018-2019版高中數學 第一章 導數及其應用 1.3 導數在研究函數中的應用 1.3.3 函數的最大(小)值與導數（一）學案 新人教A版選修2-2

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1、 1．3.3　函數的最大(小)值與導數(一) 學習目標　1.理解函數最值的概念，了解其與函數極值的區(qū)別與聯系.2.會求某閉區(qū)間上函數的最值． 知識點　函數的最大(小)值與導數 如圖為函數y＝f(x)，x∈[a，b]的圖象． 思考1　觀察區(qū)間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象，試找出它的極大值、極小值． 答案　極大值為f(x1)，f(x3)，極小值為f(x2)，f(x4)． 思考2　結合圖象判斷，函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？ 答案　存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)． 梳理　(1)函數的最大(小)

2、值的存在性 一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值． (2)一般地，求函數y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下： ①求函數y＝f(x)在(a，b)內的極值； ②將函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值． 1．函數的最大值不一定是函數的極大值．(　√　) 2．函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值一定在區(qū)間端點處取得．(　×　) 3．有極值的函數一定有最值，有最值的函數不一定有極值．(　×　) 類型一　求函數的最值

3、例1　求下列各函數的最值： (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]． 考點　利用導數求函數的最值 題點　利用導數求不含參數函數的最值 解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝－1，x＝0，x＝1. 當x變化時，f′(x)及f(x)的變化情況如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60 ↗ 極大值

4、↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ －5 ∴當x＝－3時，f(x)取最小值－60； 當x＝－1或x＝1時，f(x)取最大值4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]內恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上為增函數．故當x＝－1時，f(x)min＝－12； 當x＝1時，f(x)max＝2. 即f(x)的最小值為－12，最大值為2. 反思與感悟　求解函數在固定區(qū)間上的最值，需注意以下幾點 (1)對函數進行準確求導，并檢驗f′(x)＝0的根是否在給定區(qū)間內． (2)研究函數的單調性，正確確定極值和端點函數值．

5、 (3)比較極值與端點函數值的大小，確定最值． 跟蹤訓練1　求下列函數的最值． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]． 考點　利用導數求函數的最值 題點　利用導數求不含參數函數的最值 解　(1)函數f(x)＝的定義域為R. f′(x)＝＝， 當f′(x)＝0時，x＝2， 當f′(x)>0時，x<2， 當f′(x)<0時，x>2. 所以f(x)在(－∞，2)上單調遞增，在(2，＋∞)上單調遞減， 所以f(x)無最小值，且當x＝2時，f(x)max＝f(2)＝. (2)f′(x)＝＋cos x，x∈[0,2π]， 令f′(x)＝0，得x

6、＝π或x＝π. 因為f(0)＝0，f(2π)＝π，f?＝＋，f?＝π－， 所以當x＝0時，f(x)有最小值f(0)＝0， 當x＝2π時，f(x)有最大值f(2π)＝π. 例2　已知函數f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…為自然對數的底數． 設g(x)是函數f(x)的導函數，求函數g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值． 考點　利用導數求函數的最值 題點　利用導數求含參數函數的最值 解　因為f(x)＝ex－ax2－bx－1， 所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b， 又g′(x)＝ex－2a， 因為x∈[0,1]，1≤ex≤e， 所

7、以： (1)若a≤，則2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0， 所以函數g(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞增，g(x)min＝g(0)＝1－b. (2)若0， 所以函數g(x)在區(qū)間[0，ln(2a)]上單調遞減， 在區(qū)間[ln(2a)，1]上單調遞增， g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b. (3)若a≥，則2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0， 所以函數g(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞減， g(x)min＝g(1

8、)＝e－2a－b. 綜上所述，當a≤時，g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為1－b； 當

9、2．當b＝0時，若函數g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為0，求a的值． 解　當b＝0時，因為f(x)＝ex－ax2－1， 所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax， 又g′(x)＝ex－2a，因為x∈[0,1]，1≤ex≤e， 所以： (1)若a≤，則2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0， 所以函數g(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞增， g(x)min＝g(0)＝1，不符合題意． (2)若0， 所以函數g(x)在區(qū)間[0，ln(2a)]上單

10、調遞減， 在區(qū)間[ln(2a)，1]上單調遞增， g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)＝0， 解得a＝不符合題意，舍去． (3)若a≥，則2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0， 所以函數g(x)在區(qū)間[0,1]上單調遞減， g(x)min＝g(1)＝e－2a＝0，解得a＝. 反思與感悟　對參數進行討論，其實質是討論導函數大于0，等于0，小于0三種情況．若導函數恒不等于0，則函數在已知區(qū)間上是單調函數，最值在端點處取得；若導函數可能等于0，則求出極值點后求極值，再與端點值比較后確定最值． 跟蹤訓練2　已知a是實數，函數f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在區(qū)

11、間[0,2]上的最大值． 考點　利用導數求函數的最值 題點　利用導數求含參數函數的最值 解　f′(x)＝3x2－2ax. 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. ①當≤0，即a≤0時， f(x)在[0,2]上單調遞增， 從而f(x)max＝f(2)＝8－4a. ②當≥2，即a≥3時， f(x)在[0,2]上單調遞減， 從而f(x)max＝f(0)＝0. ③當0<<2，即0

12、大值為3，最小值為－29，求a，b的值． 考點　導數在最值問題中的應用 題點　已知最值求參數 解　由題設知a≠0，否則f(x)＝b為常函數，與題設矛盾． 求導得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)． ①當a>0，且當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b 由表可知，當x＝0時，f(x)取得極大值b，也就是函數在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3

13、. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2. 綜上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. 反思與感悟　已知函數在某區(qū)間上的最值求參數的值(或范圍)是求函數最值的逆向思維，一般先求導數，利用導數研究函數的單調性及極值點，探索最值點，根據已知最值列方程(不等式)解決問題．其中注

14、意分類討論思想的應用． 跟蹤訓練3　已知函數h(x)＝x3＋3x2－9x＋1在區(qū)間[k,2]上的最大值是28，求k的取值范圍． 考點　導數在最值問題中的應用 題點　已知最值求參數 解　∵h(x)＝x3＋3x2－9x＋1， ∴h′(x)＝3x2＋6x－9. 令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1， 當x變化時，h′(x)，h(x)的變化情況如下表： x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞) h′(x) ＋ 0 － 0 ＋ h(x) ↗ 28 ↘ －4 ↗ 當x＝－3時，取極大值28； 當x＝1時，取極小值－4. 而h(

15、2)＝3

16、，－1 B．1，－17 C．3，－17 D．9，－19 考點　利用導數求函數的最值 題點　利用導數求不含參數函數的最值 答案　C 解析　f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1. 又f(－3)＝－27＋9＋1＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝－1＋3＋1＝3,1?[－3,0]． 所以最大值為3，最小值為－17. 3．函數f(x)＝的最大值為(　　) A．e－1 B．e C．e2 D. 考點　利用導數求函數的最值 題點　利用導數求不含參數函數的最值 答案　A 解析　令f′(x)＝＝＝0， 解得x＝e.當x>e時，f′

17、(x)<0；當00. f(x)極大值＝f(e)＝，且函數在定義域內只有一個極值，所以f(x)max＝. 4．函數f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常數)在區(qū)間[－2,2]上有最大值3，則在區(qū)間[－2,2]上的最小值為________． 考點　導數在最值問題中的應用 題點　已知最值求參數 答案　－37 解析　f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)， 由題意知，在區(qū)間[－2,2]上，x＝0是f(x)的最大值點， ∴f(x)max＝f(0)＝m＝3. ∵f(－2)＝－16－24＋3＝－37，f(2)＝16－24＋3＝－5， ∴f(x)min＝－37.

18、 5．已知函數f(x)＝ax3＋bx＋c在點x＝2處取得極值c－16. (1)求a，b的值； (2)若f(x)有極大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值． 考點　導數在最值問題中的應用 題點　最值與極值的綜合應用 解　(1)因為f(x)＝ax3＋bx＋c，故f′(x)＝3ax2＋b. 由于f(x)在點x＝2處取得極值c－16， 故有即 化簡得解得a＝1，b＝－12. (2)令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2. 當x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上為增函數； 當x∈(－2,2)時，f′(x)<0，故f(x)在(－2,2)上為減函數

19、； 當x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(2，＋∞)上為增函數． 由此可知f(x)在x1＝－2處取得極大值，f(－2)＝16＋c，f(x)在x2＝2處取得極小值，f(2)＝c－16. 由題設條件知16＋c＝28得c＝12. 此時f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝－16＋c＝－4. 因此，f(x)在[－3,3]上的最小值為f(2)＝－4. 1．求函數在閉區(qū)間上的最值，只需比較極值和端點處的函數值即可；若函數在一個開區(qū)間內只有一個極值，這個極值就是最值． 2．已知最值求參數時，可先確定參數的值，用參數表示最值時，應分類討論. 一、選擇

20、題 1．設M，m分別是函數f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M＝m，則f′(x)(　　) A．等于0 B．小于0 C．等于1 D．不確定 考點　導數在最值問題中的應用 題點　已知最值求導數 答案　A 解析　因為M＝m，所以f(x)為常數函數，故f′(x)＝0，故選A. 2．函數f(x)＝x4－4x(|x|<1)(　　) A．有最大值，無最小值 B．有最大值，也有最小值 C．無最大值，有最小值 D．既無最大值，也無最小值 考點　利用導數求函數中參數的取值范圍 題點　最值存在性問題 答案　D 解析　f′(x)＝4x3－4＝4(x－1)(x2＋x＋1)

21、． 令f′(x)＝0，得x＝1. 又x∈(－1,1)且1?(－1,1)， ∴該方程無解，故函數f(x)在(－1,1)上既無極值也無最值，故選D. 3．函數f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值為(　　) A．2 B．3 C. D．2＋ 考點　利用導數求函數的最值 題點　利用導數求不含參數函數的最值 答案　B 解析　由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1， 且當x∈(0,1)時，f′(x)<0，當x∈(1,5]時，f′(x)>0， ∴當x＝1時，f(x)最小，最小值為f(1)＝3. 4．若函數f(x)＝asin x＋sin 3x在x＝處有最值，則a等于(　　) A．

22、2 B．1 C. D．0 考點　導數在最值問題中的應用 題點　已知最值求參數 答案　A 解析　∵f(x)在x＝處有最值， ∴x＝是函數f(x)的極值點． 又∵f′(x)＝acos x＋cos 3x， ∴f′＝acos ＋cos π＝0，解得a＝2. 5．已知函數f(x)，g(x)均為[a，b]上的可導函數，在[a，b]上連續(xù)且f′(x)

23、　A 解析　令F(x)＝f(x)－g(x)，∵f′(x)

24、－2a＋3＝， 解得a＝－或a＝－(舍去)． 所以a＝－. 7．已知函數f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是(　　) A．15 B．－15 C．10 D．－13 考點　利用導數求函數的最值 題點　利用導數求含參數函數的最值 答案　D 解析　f′(x)＝－3x2＋2ax， 由函數f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0， 即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3， 由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x， 易知f(x)在區(qū)間[－1,0)上單調遞減，在區(qū)間(0,1]上單調遞增

25、， ∴當m∈[－1,1]時，f(m)min＝f(0)＝－4. 又f′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口向下，且對稱軸為直線x＝1， ∴當n∈[－1,1]時，f′(n)min＝f′(－1)＝－9. 故f(m)＋f′(n)的最小值為－13. 二、填空題 8．函數f(x)＝(x∈[－2,2])的最大值是________，最小值是________． 考點　導數在最值問題中的應用 題點　最值與極值的綜合應用 答案　2?。? 解析　f′(x)＝ ＝＝， 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1. 由f(－2)＝－，f(－1)＝－2，f(1)＝2，f(2)＝， ∴f(x)max＝2

26、，f(x)min＝－2. 9．已知函數f(x)＝－x3＋2ax2＋3x(a>0)的導數f′(x)的最大值為5，則在函數f(x)圖象上的點(1，f(1))處的切線方程是________． 考點　導數在最值問題中的應用 題點　已知最值求參數 答案　15x－3y－2＝0 解析　∵f′(x)＝－2x2＋4ax＋3 ＝－2(x－a)2＋3＋2a2， ∴f′(x)max＝3＋2a2＝5， ∵a>0，∴a＝1. ∴f′(x)＝－2x2＋4x＋3， f′(1)＝－2＋4＋3＝5. 又f(1)＝－＋2＋3＝， ∴所求切線方程為y－＝5(x－1)． 即15x－3y－2＝0. 10．函數

27、f(x)＝ex(sin x＋cos x)在區(qū)間上的值域為________． 考點　利用導數求函數的最值 題點　利用導數求不含參數函數的最值 答案　 解析　f′(x)＝ex(sin x＋cos x)＋ex(cos x－sin x)＝excos x， 當0≤x≤時，f′(x)≥0， 所以f(x)在上是增函數， 故f(x)的最大值為f＝，f(x)的最小值為f(0)＝. 11．已知y＝f(x)是奇函數，當x∈(0,2)時，f(x)＝ln x－ax，當x∈(－2,0)時，f(x)的最小值為1，則a的值為________． 考點　導數在最值問題中的應用 題點　已知最值求參數 答案　1

28、 解析　由題意知，當x∈(0,2)時，f(x)的最大值為－1. 令f′(x)＝－a＝0，得x＝， 當00； 當x>時，f′(x)<0. ∴f(x)max＝f?＝－ln a－1＝－1， 解得a＝1. 12．已知函數f(x)＝ex－2x＋a有零點，則a的取值范圍是__________． 考點　利用導數求函數中參數的取值范圍 題點　最值與零點問題 答案　(－∞，2ln 2－2] 解析　由題意知ex－2x＋a＝0有根， 即a＝2x－ex， 令g(x)＝2x－ex， 則g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，解得x＝ln 2. 而g(x)在(－∞，ln

29、 2)上單調遞增， 在(ln 2，＋∞)上單調遞減， ∴g(x)max＝2ln 2－eln 2＝2ln 2－2， ∴a≤2ln 2－2. 三、解答題 13．已知函數f(x)＝aln x－bx2，a，b∈R，且曲線y＝f(x)在x＝1處與直線y＝－相切． (1)求a，b的值； (2)求f(x)在上的最大值． 考點　利用導數求函數的最值 題點　利用導數求不含參數函數的最值 解　(1)f′(x)＝－2bx. 由曲線y＝f(x)在x＝1處與直線y＝－相切， 得即解得 (2)由(1)，得f(x)＝ln x－x2，定義域為(0，＋∞)． f′(x)＝－x＝. 令f′(x)>0

30、，得01， 所以f(x)在上單調遞增，在(1，e]上單調遞減， 所以f(x)在上的最大值為f(1)＝－. 四、探究與拓展 14．已知函數f(x)＝x3－x2－x＋m在[0,1]上的最小值為，則實數m的值為________． 考點　導數在最值問題中的應用 題點　已知最值求參數 答案　2 解析　由f(x)＝x3－x2－x＋m， 可得f′(x)＝x2－2x－1， 令x2－2x－1＝0，可得x＝1±. 當x∈(1－，1＋)時，f′(x)<0， 即函數f(x)在(1－，1＋)上是減函數， 即f(x)在[0,1]上為減函數，故f(x)在[0,1]

31、上的最小值為f(1)，所以－1－1＋m＝，解得m＝2. 15．已知函數f(x)＝ln x＋. (1)當a<0時，求函數f(x)的單調區(qū)間； (2)若函數f(x)在[1，e]上的最小值是，求a的值． 考點　導數在最值問題中的應用 題點　已知最值求參數 解　函數f(x)＝ln x＋的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝－＝， (1)∵a<0，∴f′(x)>0， 故函數在其定義域(0，＋∞)上單調遞增． (2)當x∈[1，e]時，分如下情況討論： ①當a<1時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增，其最小值為f(1)＝a<1，這與函數在[1，e]上的最小值是相矛盾； ②當a＝1時，函數f(x)在[1，e]上單調遞增，其最小值為f(1)＝1，同樣與最小值是相矛盾； ③當10，f(x)單調遞增， 所以，函數f(x)的最小值為f(a)＝ln a＋1，由ln a＋1＝，得a＝. ④當a＝e時，函數f(x)在[1，e]上有f′(x)≤0，f(x)單調遞減，其最小值為f(e)＝2，這與最小值是相矛盾； ⑤當a>e時，顯然函數f(x)在[1，e]上單調遞減，其最小值為f(e)＝1＋>2，仍與最小值是相矛盾； 綜上所述，a的值為. 17