2020年高中數(shù)學(xué) 3.1《獨(dú)立性檢驗(yàn)》教學(xué)設(shè)計(jì)說明 蘇教版選修2-3

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1、《獨(dú)立性檢驗(yàn)》教學(xué)設(shè)計(jì)說明 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用 2×2列聯(lián)表 臨界值 問題背景分析 統(tǒng)計(jì)量 允許犯錯(cuò) 誤的概率 的上界 分類變量 在“犯錯(cuò)誤概率不超過”前提下，兩分類變量有/無關(guān) 觀測值 等高條形 圖 分類 變量 間的 關(guān)系 獨(dú)立性檢驗(yàn) 一、內(nèi)容與內(nèi)容解析 《獨(dú)立性檢驗(yàn)》為新課標(biāo)教材中新增加的內(nèi)容. 雖然本節(jié)是新增內(nèi)容，理論比較復(fù)雜，教學(xué)時(shí)間也不長(1-2課時(shí))，但由于它貼近實(shí)際生活，在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中，地位不可小視.在近幾年各省新課標(biāo)高考試題中，本節(jié)內(nèi)容屢屢出現(xiàn)，而且多以解答題的形式呈現(xiàn)，其重要性可見一斑. 該內(nèi)容是前面學(xué)生在《數(shù)學(xué)

2、3》(必修)中的統(tǒng)計(jì)知識(shí)的進(jìn)一步應(yīng)用，并與本冊課本前面提到的事件的獨(dú)立性一節(jié)關(guān)系緊密，此外還涉及到與《數(shù)學(xué)2-2》(選修)中講到的“反證法”類似的思想. 本小節(jié)的知識(shí)內(nèi)容如右圖。“獨(dú)立性檢驗(yàn)”是在考察兩個(gè)分類變量之間是否具有相關(guān)性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分類變量的概念，并給出了考察兩個(gè)分類變量之間是否相關(guān)的一種簡單的思路，即借助等高條形圖的方法，隨后引出相對更精確地解決辦法——獨(dú)立性檢驗(yàn)。獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，建立在統(tǒng)計(jì)思想、假設(shè)檢驗(yàn)思想(小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生)等基礎(chǔ)之上，通常按照如下步驟對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理：明確問題→確定犯錯(cuò)誤概率的上界及的臨界值→收集數(shù)據(jù)→整理數(shù)據(jù)→制

3、列聯(lián)表→計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀測值→比較觀測值與臨界值并給出結(jié)論. 本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是通過實(shí)例讓學(xué)生體會(huì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟. 二、目標(biāo)與目標(biāo)解析 本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是主要有： 1.理解分類變量(也稱屬性變量或定性變量)的含義，體會(huì)兩個(gè)分類變量之間可能具有相關(guān)性； 2.通過對典型案例（吸煙和患肺癌有關(guān)嗎?）的探究，了解獨(dú)立性檢驗(yàn)（只要求2×2列聯(lián)表）的基本思想、方法、步驟及應(yīng)用。 3.鼓勵(lì)學(xué)生體驗(yàn)用多種方法(等高條形圖法與獨(dú)立性檢驗(yàn)法)解決同一問題，并對各種方法進(jìn)行比較。 4.讓學(xué)生對統(tǒng)計(jì)方法有更深刻的認(rèn)識(shí)，體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用的廣泛性，進(jìn)一步體會(huì)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性（如統(tǒng)計(jì)可

4、能犯錯(cuò)誤，原因可能是收集的數(shù)據(jù)樣本容量小或樣本采集不合理，也可能是理論上的漏洞，如在一次實(shí)驗(yàn)中，我們假設(shè)小概率事件不發(fā)生，這一點(diǎn)本身就值得質(zhì)疑）. 其中第2條是重點(diǎn)目標(biāo)，也是《課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出的教學(xué)要求之一. 三、教學(xué)問題診斷分析 基于對學(xué)生已有數(shù)學(xué)水平的分析，在本節(jié)新學(xué)內(nèi)容時(shí)，有以下幾點(diǎn)是初學(xué)者不易理解或掌握的： 1.的結(jié)構(gòu)比較奇怪，來的也比較突然，學(xué)生可能會(huì)提出疑問. 關(guān)于這個(gè)問題的處理，要首先利用好前面對“比例”或者兩個(gè)分類變量“獨(dú)立”的分析。借助兩件事獨(dú)立的定義以及樣本容量較大時(shí)可以用頻率近似表示概率，可以得到，考慮到近似造成的誤差，未必恰好為0，但不會(huì)太大，于是這個(gè)值的

5、平方占概率乘積的比例應(yīng)該較小。由于四對事件的獨(dú)立具有等價(jià)性，故加和之后應(yīng)該很小，而將此式化簡之后 即得的表達(dá)式(這個(gè)推導(dǎo)過程是我借鑒人教B版教材相應(yīng)章節(jié)知識(shí)內(nèi)容獲悉的).另，由此可知越小說明兩件事越“獨(dú)立”，因此當(dāng)它小于臨界值時(shí)有利于說明二者獨(dú)立，大于或等于臨界值時(shí)，有利于說明二者相關(guān). 2.如何理解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想？ 這個(gè)問題需要和反證法做一個(gè)對比，學(xué)生可以通過完成表格(印在學(xué)案上)以對二者的基本思想作比較并加以區(qū)別。表格內(nèi)容如下： 反證法思想 用于獨(dú)立性檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)思想 目標(biāo) 證明結(jié)論成立 結(jié)果只有一種情況：結(jié)論成立 判斷分類變量X與Y之間是否有關(guān) 結(jié)果有兩種可

6、能：有關(guān)或無關(guān) 構(gòu)造 兩種 情況 ：結(jié)論成立 ：結(jié)論的反面成立 ：X與Y之間無關(guān)(獨(dú)立) ：X與Y之間有關(guān) 理論 依據(jù) 矛盾雙方不可能同時(shí)成立 但是有且只有一個(gè)成立 在一次試驗(yàn)中，小概率事件(觀測值大于等于臨界值)幾乎是不可能發(fā)生的 操作 步驟 1) 假設(shè)的反面成立 2) 推導(dǎo)矛盾，從而不成立 3) 由不成立說明成立 1)確定置信水平，找到臨界值 2)提出原假設(shè)，并假設(shè)成立， 3)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀測值 4)通過比較與的大小給出結(jié)論：小則有利于成立，大有利于成立 3.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟是什么？ 由于教材一邊解決問題，一邊做講解，因此結(jié)題思路顯得有點(diǎn)

7、散。然而細(xì)心提煉則不難總結(jié)出步驟，具體可大致分為4個(gè)階段：①提出原假設(shè):兩個(gè)分類變量獨(dú)立(無關(guān))，備擇假設(shè):兩個(gè)分類變量有關(guān)，并假設(shè)成立；②確定允許犯錯(cuò)誤的概率的上界，找到臨界值；③在下，計(jì)算的觀測值；④若,此時(shí)小概率事件發(fā)生，我們認(rèn)為在一次試驗(yàn)中，小概率事件是不可能發(fā)生，所以假設(shè)出錯(cuò)，從而接受；若時(shí)，我們沒有充分理由拒絕，也就沒辦法接受了.其中②③兩個(gè)步驟屬平級關(guān)系，可以調(diào)換次序. 4.為什么在最后表達(dá)結(jié)論的時(shí)候要出現(xiàn)“在犯錯(cuò)誤的概率不超過XX的前提下”這樣的詞. 這也是初學(xué)者較難理解的問題，原因就在于獨(dú)立性檢驗(yàn)的過程中存在一個(gè)小小的漏洞，就是假設(shè)“在一次實(shí)驗(yàn)中，小概率事件不發(fā)生”，而事

8、實(shí)上，小概率事件是可能發(fā)生的(用反證法，如果始終不發(fā)生，就是不可能事件了)，而正是因?yàn)檫@一點(diǎn)點(diǎn)漏洞，導(dǎo)致獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果可能是錯(cuò)誤的，但是犯錯(cuò)誤的概率不會(huì)太大，我們就把犯錯(cuò)誤的最大概率等同于小概率事件發(fā)生的概率了。至于小概率事件所對應(yīng)的臨界值，則屬于大學(xué)的研究范疇，在此不必做過多解釋. 四、教學(xué)特點(diǎn)與預(yù)期效果分析 1. 教學(xué)特點(diǎn) ① 用學(xué)案輔助教學(xué) 由于本節(jié)內(nèi)容較散，理論部分較難，故需教師精心設(shè)計(jì)學(xué)案，提前發(fā)放給學(xué)生，以提高學(xué)生的預(yù)習(xí)效率. ② “問題串”為主，“講授式”為輔的教學(xué)模式 在最初定奪本節(jié)課教學(xué)模式時(shí)比較為難，一方面，按照新課標(biāo)的理念，注重學(xué)生自主探究為主，教師僅僅是引

9、導(dǎo)者(實(shí)踐證明這有利于學(xué)生學(xué)會(huì)“學(xué)習(xí)”，尤其是提高自學(xué)能力和合作學(xué)習(xí)能力)，然而另一方面，本節(jié)內(nèi)容理論難度較大，而且涉及到很多大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，憑高中學(xué)生的數(shù)學(xué)水平難以完成自主探究.因此，在理論部分，還得需要教師講，教師的“講授”成為了無奈的選擇.不過好在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中，不要求學(xué)生掌握這部分深?yuàn)W的理論，只要體會(huì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的操作步驟.因此，最終定下來的教學(xué)模式是“‘問題串’為主，‘講授式’為輔”的模式. 在“問題串”的指引下，學(xué)生研究出解決問題所需要收集的數(shù)據(jù)，并自行研究課本上給出的解題過程，提煉出解決問題的操作步驟，然后再由教師講解操作規(guī)程背后的理論依據(jù). ③ 游戲式導(dǎo)

10、入 本節(jié)課采用“有獎(jiǎng)競猜”的游戲方式作為課堂導(dǎo)入，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.獎(jiǎng)品為本節(jié)課的錄像光盤，也有一定的紀(jì)念意義. ④ 充滿生活氣息的數(shù)學(xué)課堂 在《課程標(biāo)準(zhǔn)》理念下，“數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用”地位空前提高，教材中引入、例題甚至是課后習(xí)題的編寫，都有大量生活的影子.而本節(jié)課《獨(dú)立性檢驗(yàn)》正是一個(gè)貼近生活的數(shù)學(xué)范疇，它可以解決兩件撲朔迷離事情之間到底有關(guān)還是無關(guān)的問題.因此本課從引入(吸煙與患肺癌)到例題(禿頂與心臟病)到練習(xí)(經(jīng)常上網(wǎng)與考試及格)再到課后作業(yè)題，全部都有著實(shí)際生活的影子. 2.預(yù)期效果分析 通過本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生應(yīng)能掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的操作步驟，并能夠解決相關(guān)的實(shí)際問題，同時(shí)也可以初步體會(huì)到獨(dú)立性檢驗(yàn)的大致思想.而對獨(dú)立性檢驗(yàn)思想的更進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和一些細(xì)節(jié)性的說法，則應(yīng)該放在下一個(gè)課時(shí)，通過更多正面和反面的例子予以進(jìn)行.