2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題 文（北京卷含答案）

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1、絕密★啟封并使用完畢前 2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學（文）（北京卷） 本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。 （1）已知，集合，則 （A） （B） （C） （D） （2）若復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)的取值范圍是 （A）

2、 （B） （C） （D） （3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為 （A）2 （B） （C） （D） （4）若滿足則的最大值為 （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 （5）已知函數(shù)，則 （A）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是

3、奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （C）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （6）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為 （A）60 （B）30 （C）20 （D）10 （7）設m, n為非零向量，則“存在負數(shù)，使得m=λn”是“m·n<0”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （8）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，

4、而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080．則下列各數(shù)中與最接近的是 （參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48） （A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093 第二部分（非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。 （9）在平面直角坐標系xOy中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin=，則sin=_________． （10）若雙曲線的離心率為，則實數(shù)m=__________． （11）已知，，且x+y=

5、1，則的取值范圍是__________． （12）已知點P在圓上，點A的坐標為(-2,0)，O為原點，則的最大值為_________． （13）能夠說明“設a，b，c是任意實數(shù)．若a>b>c，則a+b>c”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為______________________________． （14）某學習小組由學生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件： （?。┠袑W生人數(shù)多于女學生人數(shù)； （ⅱ）女學生人數(shù)多于教師人數(shù)； （ⅲ）教師人數(shù)的兩倍多于男學生人數(shù)． ①若教師人數(shù)為4，則女學生人數(shù)的最大值為__________． ②該小組人數(shù)的最小值為_________

6、_． 三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （15）（本小題13分） 已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5． （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）求和：． （16）（本小題13分） 已知函數(shù). （I）求f(x)的最小正周期； （II）求證：當時，． （17）（本小題13分） 某大學藝術(shù)專業(yè)400名學生參加某次測評，根據(jù)男女學生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

7、（Ⅰ）從總體的400名學生中隨機抽取一人，估計其分數(shù)小于70的概率； （Ⅱ）已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人，試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)； （Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70，且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例． （18）（本小題14分） 如圖，在三棱錐P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點． （Ⅰ）求證：PA⊥BD； （Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面PAC； （Ⅲ）當PA∥平面BDE時，求三棱錐E–BCD的體積． （19）（本小題1

8、4分） 已知橢圓C的兩個頂點分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于點E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5． （20）（本小題13分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值． 2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學（文）（北京卷）答案 一、 （1）C （2）B （3）C （4）D （5）B （6）D

9、（7）A （8）D 二、 （9） （10）2 （11） （12）6 （13）（答案不唯一） （14）6 12 三、 （15）（共13分） 解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a2+a4=10，所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n?1. （Ⅱ）設等比數(shù)列的公比為q. 因為b2b4=a5，所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以. 從而. （16）（共13分） 解：（Ⅰ）. 所以的最小正周期. （Ⅱ）因為， 所以. 所以. 所以當時，. （17）（共13分） 解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖

10、可知，樣本中分數(shù)不小于70的頻率為，所以樣本中分數(shù)小于70的頻率為. 所以從總體的400名學生中隨機抽取一人，其分數(shù)小于70的概率估計為0.4. （Ⅱ）根據(jù)題意，樣本中分數(shù)不小于50的頻率為，分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為. 所以總體中分數(shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計為. （Ⅲ）由題意可知，樣本中分數(shù)不小于70的學生人數(shù)為， 所以樣本中分數(shù)不小于70的男生人數(shù)為. 所以樣本中的男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，男生和女生人數(shù)的比例為. 所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為. （18）（共14分） 解：（I）因為，，所以平面， 又因為平面，所以. （II）因為，為中點，所以，

11、 由（I）知，，所以平面. 所以平面平面. （III）因為平面，平面平面， 所以. 因為為的中點，所以，. 由（I）知，平面，所以平面. 所以三棱錐的體積. （19）（共14分） 解：（Ⅰ）設橢圓的方程為. 由題意得解得. 所以. 所以橢圓的方程為. （Ⅱ）設，則. 由題設知，且. 直線的斜率，故直線的斜率. 所以直線的方程為. 直線的方程為. 聯(lián)立解得點的縱坐標. 由點在橢圓上，得. 所以. 又， ， 所以與的面積之比為. （20）（共13分） 解：（Ⅰ）因為，所以. 又因為，所以曲線在點處的切線方程為. （Ⅱ）設，則. 當時，， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞減. 所以對任意有，即. 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.