2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題 文（北京卷含答案）

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1、絕密★啟封并使用完畢前 2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)（文）（北京卷） 本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 第一部分（選擇題 共40分） 一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。 （1）已知，集合，則 （A） （B） （C） （D） （2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限，則實數(shù)的取值范圍是 （A）

2、 （B） （C） （D） （3）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為 （A）2 （B） （C） （D） （4）若滿足則的最大值為 （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 （5）已知函數(shù)，則 （A）是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （B）是

3、奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （C）是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) （D）是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) （6）某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為 （A）60 （B）30 （C）20 （D）10 （7）設(shè)m, n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得m=λn”是“m·n<0”的 （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 （8）根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，

4、而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080．則下列各數(shù)中與最接近的是 （參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48） （A）1033 （B）1053 （C）1073 （D）1093 第二部分（非選擇題 共110分） 二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。 （9）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin=，則sin=_________． （10）若雙曲線的離心率為，則實數(shù)m=__________． （11）已知，，且x+y=

5、1，則的取值范圍是__________． （12）已知點P在圓上，點A的坐標(biāo)為(-2,0)，O為原點，則的最大值為_________． （13）能夠說明“設(shè)a，b，c是任意實數(shù)．若a>b>c，則a+b>c”是假命題的一組整數(shù)a,b,c的值依次為______________________________． （14）某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時滿足以下三個條件： （?。┠袑W(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)； （ⅱ）女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)； （ⅲ）教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)． ①若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為__________． ②該小組人數(shù)的最小值為_________

6、_． 三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。 （15）（本小題13分） 已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5． （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）求和：． （16）（本小題13分） 已知函數(shù). （I）求f(x)的最小正周期； （II）求證：當(dāng)時，． （17）（本小題13分） 某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：

7、（Ⅰ）從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于70的概率； （Ⅱ）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50）內(nèi)的人數(shù)； （Ⅲ）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例． （18）（本小題14分） 如圖，在三棱錐P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點． （Ⅰ）求證：PA⊥BD； （Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面PAC； （Ⅲ）當(dāng)PA∥平面BDE時，求三棱錐E–BCD的體積． （19）（本小題1

8、4分） 已知橢圓C的兩個頂點分別為A(?2,0)，B(2,0)，焦點在x軸上，離心率為． （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）點D為x軸上一點，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M，N，過D作AM的垂線交BN于點E.求證：△BDE與△BDN的面積之比為4:5． （20）（本小題13分） 已知函數(shù)． （Ⅰ）求曲線在點處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值． 2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)（文）（北京卷）答案 一、 （1）C （2）B （3）C （4）D （5）B （6）D

9、（7）A （8）D 二、 （9） （10）2 （11） （12）6 （13）（答案不唯一） （14）6 12 三、 （15）（共13分） 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d. 因為a2+a4=10，所以2a1+4d=10. 解得d=2. 所以an=2n?1. （Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q. 因為b2b4=a5，所以b1qb1q3=9. 解得q2=3. 所以. 從而. （16）（共13分） 解：（Ⅰ）. 所以的最小正周期. （Ⅱ）因為， 所以. 所以. 所以當(dāng)時，. （17）（共13分） 解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖

10、可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的頻率為，所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70的頻率為. 所以從總體的400名學(xué)生中隨機抽取一人，其分?jǐn)?shù)小于70的概率估計為0.4. （Ⅱ）根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為. 所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計為. （Ⅲ）由題意可知，樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的學(xué)生人數(shù)為， 所以樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男生人數(shù)為. 所以樣本中的男生人數(shù)為，女生人數(shù)為，男生和女生人數(shù)的比例為. 所以根據(jù)分層抽樣原理，總體中男生和女生人數(shù)的比例估計為. （18）（共14分） 解：（I）因為，，所以平面， 又因為平面，所以. （II）因為，為中點，所以，

11、 由（I）知，，所以平面. 所以平面平面. （III）因為平面，平面平面， 所以. 因為為的中點，所以，. 由（I）知，平面，所以平面. 所以三棱錐的體積. （19）（共14分） 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為. 由題意得解得. 所以. 所以橢圓的方程為. （Ⅱ）設(shè)，則. 由題設(shè)知，且. 直線的斜率，故直線的斜率. 所以直線的方程為. 直線的方程為. 聯(lián)立解得點的縱坐標(biāo). 由點在橢圓上，得. 所以. 又， ， 所以與的面積之比為. （20）（共13分） 解：（Ⅰ）因為，所以. 又因為，所以曲線在點處的切線方程為. （Ⅱ）設(shè)，則. 當(dāng)時，， 所以在區(qū)間上單調(diào)遞減. 所以對任意有，即. 所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. 因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.