南郵MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)答案全.doc

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1、第一次練習(xí)教學(xué)要求：熟練掌握Matlab軟件的基本命令和操作，會(huì)作二維、三維幾何圖形，能夠用Matlab軟件解決微積分、線性代數(shù)與解析幾何中的計(jì)算問(wèn)題。補(bǔ)充命令vpa(x,n)顯示x的n位有效數(shù)字，教材102頁(yè)fplot(f(x),a,b)函數(shù)作圖命令，畫(huà)出f(x)在區(qū)間a,b上的圖形在下面的題目中為你的學(xué)號(hào)的后3位（1-9班）或4位（10班以上）1.1 計(jì)算與 syms xlimit(902*x-sin(902*x)/x3)ans =366935404/3limit(902*x-sin(902*x)/x3,inf)ans =01.2 ，求 syms xdiff(exp(x)*cos(902*

2、x/1000),2)ans = (46599*cos(451*x)/500)*exp(x)/250000 - (451*sin(451*x)/500)*exp(x)/2501.3 計(jì)算dblquad(x,y) exp(x.2+y.2),0,1,0,1)ans =2.13941.4 計(jì)算 syms xint(x4/(9022+4*x2) ans = (91733851*atan(x/451)/4 - (203401*x)/4 + x3/121.5 syms xdiff(exp(x)*cos(902*x),10)ans =-356485076957717053044344387763*cos(90

3、2*x)*exp(x)-3952323024277642494822005884*sin(902*x)*exp(x)1.6 給出在的泰勒展式(最高次冪為4). syms xtaylor(sqrt(902/1000+x),5,x) ans = -(9765625*451(1/2)*500(1/2)*x4)/82743933602 +(15625*451(1/2)*500(1/2)*x3)/91733851 -(125*451(1/2)*500(1/2)*x2)/406802 + (451(1/2)*500(1/2)*x)/902 +(451(1/2)*500(1/2)/5001.7 Fibona

4、cci數(shù)列的定義是用循環(huán)語(yǔ)句編程給出該數(shù)列的前20項(xiàng)（要求將結(jié)果用向量的形式給出）。x=1,1;for n=3:20 x(n)=x(n-1)+x(n-2);endxx=Columns 1 through 10 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55Columns 11 through 20 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 67651.8 對(duì)矩陣，求該矩陣的逆矩陣，特征值，特征向量，行列式，計(jì)算，并求矩陣（是對(duì)角矩陣），使得。A=-2,1,1;0,2,0;-4,1,902/1000;inv(A)ans =0.4107 0.0223 -0.455

5、4 0 0.5000 0 1.8215 -0.4554 -0.9107eig(A)ans =-0.5490 + 1.3764i -0.5490 - 1.3764i 2.0000 det(A)ans =4.3920P,D=eig(A)P = %特征向量0.3245 - 0.3078i 0.3245 + 0.3078i 0.2425 0 0 0.9701 0.8944 0.8944 0.0000 D = -0.5490 + 1.3764i 0 0 0 -0.5490 - 1.3764i 0 0 0 2.0000 P*D6*inv(P) %A6的值ans =15.3661 12.1585 + 0.0

6、000i -5.8531 0 64.0000 0 23.4124 -5.8531 + 0.0000i -1.6196 1.9 作出如下函數(shù)的圖形（注：先用M文件定義函數(shù)，再用fplot進(jìn)行函數(shù)作圖）：m文件: function y=fenduan(x) if x=1/2 y=2*xelse x syms n A=sym(4,2;1,3);x=1;2;P,D=eig(A) %沒(méi)有sym下面的矩陣就會(huì)顯示為小數(shù)P = -1, 2 1, 1 D = 2, 0 0, 5 An=P*Dn*inv(P) An = 2n/3 + (2*5n)/3, (2*5n)/3 - (2*2n)/3 5n/3 - 2n

7、/3, (2*2n)/3 + 5n/3 xn=An*x xn = 2*5n - 2n 2n + 5n3.2 對(duì)于練習(xí)1中的，求出的通項(xiàng). syms n A=sym(2/5,1/5;1/10,3/10); x=1;2;P,D=eig(A) P = -1, 2 1, 1 D = 1/5, 0 0, 1/2 An=P*Dn*inv(P) An = (2*(1/2)n)/3 + (1/5)n/3, (2*(1/2)n)/3 - (2*(1/5)n)/3 (1/2)n/3 - (1/5)n/3, (1/2)n/3 + (2*(1/5)n)/3xn = 2*(1/2)n - (1/5)n (1/2)n +

8、 (1/5)n3.3 對(duì)隨機(jī)給出的，觀察數(shù)列.該數(shù)列有極限嗎? A=4,2;1,3;a=;x=2*rand(2,1)-1;for i=1:20 a(i,1:2)=x; x=A*x; end for i=1:20 if a(i,1)=0 else t=a(i,2)/a(i,1); fprintf(%g,%gn,i,t); endend 結(jié)論：在迭代17次后，發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在極限為0.53.4 對(duì)120頁(yè)中的例子，繼續(xù)計(jì)算.觀察及的極限是否存在. （120頁(yè)練習(xí)9） A=2.1,3.4,-1.2,2.3;0.8,-0.3,4.1,2.8;2.3,7.9,-1.5,1.4;3.5,7.2,1.7,-9.

9、0;x0=1;2;3;4;x=A*x0;for i=1:1:100a=max(x);b=min(x);m=a*(abs(a)abs(b)+b*(abs(a) A=2.1,3.4,-1.2,2.3;0.8,-0.3,4.1,2.8;2.3,7.9,-1.5,1.4;3.5,7.2,1.7,-9.0;P,D=eig(A)P = -0.3779 -0.8848 -0.0832 -0.3908 -0.5367 0.3575 -0.2786 0.4777 -0.6473 0.2988 0.1092 -0.7442 -0.3874 -0.0015 0.9505 0.2555D = 7.2300 0 0 0

10、 0 1.1352 0 0 0 0 -11.2213 0 0 0 0 -5.8439結(jié)論：A的絕對(duì)值最大特征值等于上面的的極限相等，為什么呢？還有，P的第三列也就是-11.2213對(duì)應(yīng)的特征向量和上題求解到的y也有系數(shù)關(guān)系，兩者都是-11.2213的特征向量。3.6 設(shè)，對(duì)問(wèn)題2求出若干天之后的天氣狀態(tài)，并找出其特點(diǎn)（取4位有效數(shù)字）. （122頁(yè)練習(xí)12） A2=3/4,1/2,1/4;1/8,1/4,1/2;1/8,1/4,1/4;P=0.5;0.25;0.25;for i=1:1:20 P(:,i+1)=A2*P(:,i);endPP = Columns 1 through 10 0.5

11、000 0.5625 0.5938 0.6035 0.6069 0.6081 0.6085 0.6086 0.6087 0.6087 0.2500 0.2500 0.2266 0.2207 0.2185 0.2178 0.2175 0.2174 0.2174 0.2174 0.2500 0.1875 0.1797 0.1758 0.1746 0.1741 0.1740 0.1739 0.1739 0.1739 Columns 11 through 200.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.6087 0.

12、2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 Column 21 0.6087 0.2174 0.1739結(jié)論：9天后，天氣狀態(tài)趨于穩(wěn)定P*=（0.6087,0.2174,0.1739）T3.7 對(duì)于問(wèn)題2，求出矩陣的特征值與特征向量，并將特征向量與上一題中的結(jié)論作對(duì)比. （122頁(yè)練習(xí)14） A2=3/4,1/2,1/4;1/8,1/4,1/2;1/8,1/4,1/

13、4; P,D=eig(A2)P = -0.9094 -0.8069 0.3437 -0.3248 0.5116 -0.8133 -0.2598 0.2953 0.4695D = 1.0000 0 0 0 0.3415 0 0 0 -0.0915分析：事實(shí)上，q=k(-0.9094, -0.3248, -0.2598)T均為特征向量，而上題中P*的3個(gè)分量之和為1，可令k(-0.9094, -0.3248, -0.2598)T=1，得k=-0.6696.有q=(0.6087, 0.2174, 0.1739),與P*一致。3.8對(duì)問(wèn)題1，設(shè)為的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，若，具體求出上述的，將表示成的

14、線性組合，求的具體表達(dá)式，并求時(shí)的極限，與已知結(jié)論作比較. （123頁(yè)練習(xí)16） A=3/4,7/18;1/4,11/18;P,D=eig(A);syms k pk;a=solve(u*P(1,1)+v*P(1,2)-1/2,u*P(2,1)+v*P(2,2)-1/2,u,v);pk=a.u*D(1,1).k*P(:,1)+a.v*D(2,2).k*P(:,2) pk = -5/46*(13/36)k+14/23 5/46*(13/36)k+9/23或者：p0=1/2;1/2;P,D=eig(sym(A);B=inv(sym(P)*p0 B = 5/46 9/23syms kpk=B(1,1)

15、*D(1,1).k*P(:,1)+B(2,1)*D(2,2).k*P(:,2) pk = -5/46*(13/36)k+14/23 5/46*(13/36)k+9/23 vpa(limit(pk,k,100),10) ans = .6086956522 .3913043478結(jié)論：和用練習(xí)12中用迭代的方法求得的結(jié)果是一樣的。第四次練習(xí)教學(xué)要求：會(huì)利用軟件求勾股數(shù)，并且能夠分析勾股數(shù)之間的關(guān)系。會(huì)解簡(jiǎn)單的近似計(jì)算問(wèn)題。4.1 求滿足，的所有勾股數(shù)，能否類(lèi)似于（11.8），把它們用一個(gè)公式表示出來(lái)？解法程序1：for b=1:998 a=sqrt(b+2)2-b2); if(a=floor(a)

16、 fprintf(a=%i,b=%i,c=%in,a,b,b+2) endend運(yùn)行結(jié)果：a=4,b=3,c=5a=6,b=8,c=10a=8,b=15,c=17a=10,b=24,c=26a=12,b=35,c=37a=14,b=48,c=50a=16,b=63,c=65a=18,b=80,c=82a=20,b=99,c=101a=22,b=120,c=122a=24,b=143,c=145a=26,b=168,c=170a=28,b=195,c=197a=30,b=224,c=226a=32,b=255,c=257a=34,b=288,c=290a=36,b=323,c=325a=38,b

17、=360,c=362a=40,b=399,c=401a=42,b=440,c=442a=44,b=483,c=485a=46,b=528,c=530a=48,b=575,c=577a=50,b=624,c=626a=52,b=675,c=677a=54,b=728,c=730a=56,b=783,c=785a=58,b=840,c=842a=60,b=899,c=901a=62,b=960,c=962解法程序2： n=0;m=;for a=1:100 for c=a+1:1000 b=sqrt(c2-a2); if (b=floor(b)&(ba)&(c-b)=2) n=n+1; m(:,l)

18、=a,b,c; end endendm勾股數(shù)，的解是： 以下是推導(dǎo)過(guò)程：由，有顯然，從而是2的倍數(shù).設(shè)，代入上式得到：因?yàn)?，從?4.2 將上一題中改為,分別找出所有的勾股數(shù).將它們與時(shí)的結(jié)果進(jìn)行比較，然后用公式表達(dá)其結(jié)果。（1）時(shí)通項(xiàng)：a=8,b=6,c=10a=12,b=16,c=20a=16,b=30,c=34a=20,b=48,c=52a=24,b=70,c=74a=28,b=96,c=100a=32,b=126,c=130a=36,b=160,c=164a=40,b=198,c=202a=44,b=240,c=244a=48,b=286,c=290a=52,b=336,c=340a=

19、56,b=390,c=394a=60,b=448,c=452a=64,b=510,c=514a=68,b=576,c=580a=72,b=646,c=650a=76,b=720,c=724a=80,b=798,c=802a=84,b=880,c=884a=88,b=966,c=970（2）5時(shí)通項(xiàng)： a=15,b=20,c=25a=25,b=60,c=65a=35,b=120,c=125a=45,b=200,c=205a=55,b=300,c=305a=65,b=420,c=425a=75,b=560,c=565a=85,b=720,c=725a=95,b=900,c=905（3）6時(shí)通項(xiàng)a=

20、12,b=9,c=15a=18,b=24,c=30a=24,b=45,c=51a=30,b=72,c=78a=36,b=105,c=111a=42,b=144,c=150a=48,b=189,c=195a=54,b=240,c=246a=60,b=297,c=303a=66,b=360,c=366a=72,b=429,c=435a=78,b=504,c=510a=84,b=585,c=591a=90,b=672,c=678a=96,b=765,c=771a=102,b=864,c=870a=108,b=969,c=975（4）7時(shí)通項(xiàng)a=21,b=28,c=35a=35,b=84,c=91a=

21、49,b=168,c=175a=63,b=280,c=287a=77,b=420,c=427a=91,b=588,c=595a=105,b=784,c=791綜上：當(dāng)c-b=k為奇數(shù)時(shí)，通項(xiàng)當(dāng)c-b=k為偶數(shù)時(shí)，通項(xiàng)4.3 對(duì)，（），對(duì)哪些存在本原勾股數(shù)？（140頁(yè)練習(xí)12）程序：for k=1:200 for b=1:999 a=sqrt(b+k)2-b2); if(a=floor(a)&gcd(gcd(a,b),(b+k)=1) fprintf(%i,k); break; end endend運(yùn)行結(jié)果：1,2,8,9,18,25,32,49,50,72,81,98,121,128,162,

22、169,200,4.4 設(shè)方程(11.15)的解構(gòu)成數(shù)列,觀察數(shù)列,.你能得到哪些等式？試根據(jù)這些等式推導(dǎo)出關(guān)于的遞推關(guān)系式. （142頁(yè)練習(xí)20）解：1000以內(nèi)解構(gòu)成的數(shù)列 , , , 如下： n 1 2 3 4 5 6 2 7 26 97 362 1351 1 4 15 56 209 780 3 11 41 153 571 2131 4 15 56 209 780 2911 1 3 11 41 153 571我們發(fā)現(xiàn)這些解的關(guān)系似乎是：=因?yàn)?，所以。有以下結(jié)論： （4.1）可以看成一個(gè)線性映射,令,（4.1）可寫(xiě)成：4.5 選取對(duì)隨機(jī)的，根據(jù)的概率求出的近似值。（取自130頁(yè)練習(xí)7）提

23、示：(1)最大公約數(shù)的命令:gcd(a,b)(2)randint(1,1,u,v)產(chǎn)生一個(gè)在u,v區(qū)間上的隨機(jī)整數(shù)程序： m=90200;s=0;for i=1:m a=randint(1,2,1,109); if gcd(a(1),a(2)=1; s=s+1; endendpi=sqrt(6*m/s)pi =3.14314.6 用求定積分的Monte Carlo法近似計(jì)算。（102頁(yè)練習(xí)16）提示：Monte Carlo法近似計(jì)算的一個(gè)例子。對(duì)于第一象限的正方形,內(nèi)畫(huà)出四分之一個(gè)圓向該正方形區(qū)域內(nèi)隨即投點(diǎn),則點(diǎn)落在扇形區(qū)域內(nèi)的概率為.投次點(diǎn),落在扇形內(nèi)的次數(shù)為,則,因此.程序如下n=100000;nc=0;for i=1:n x=rand;y=rand; if(x2+y2=1) nc=nc+1; endendpi=4*nc/n解：程序：a=0;b=1;m=1000;H=1;s=0;for i=1:m xi=rand(); yi=H*rand(); if yisqrt(1-xi2); s=s+1; endendpi=4*H*(b-a)*s/m運(yùn)行結(jié)果：pi = 3.1480四、通過(guò)本課程學(xué)習(xí)，談?wù)勀汩_(kāi)設(shè)對(duì)這門(mén)課的認(rèn)識(shí)，對(duì)教學(xué)以及上機(jī)實(shí)驗(yàn)提出自己的和建議。