不定積分換元法【PPT課件】

2016/12/1 1 第五章 不定積分 一、原函數(shù)與不定積分概念 二、不定積分的性質 三、基本積分表 第一節(jié) 不定積分的概念和性質 2016/12/1 2 一、概念 （ 1） 問題 與反問題 ?)()( 瞬時速度已知運動方程問題：)()( 求導數(shù)：)(?)( 知瞬時速度求運動規(guī)律反問題：反求導 即：逆運算問題 如：加法與減法、乘法與除法、乘方與開方等 都是互逆的運算。 導數(shù)或微分運算的逆運算是什麼？ )()(),(),(使如何求函數(shù)已知函數(shù)即反導數(shù)或原函數(shù) 也就是： d e r i v a t i v ea n t i 2016/12/1 4 都有使一個可導函數(shù)若存在上有定義在區(qū)間設,),(.)(例如：（ 2） 原函數(shù)定義 ),(,3)( 23 ()( ()( 或.)()( 上的一個原函數(shù)在是則稱 ,(323一個原函數(shù)上的在是 ,(, ),( ,(co ss i ),(,c o s)( s i n 1要分清：導函數(shù)與原函數(shù) ! .),(s i )0(,1 還有：原函數(shù) 導函數(shù) 注 2要注意區(qū)間 ! )1,1(,112 .a r c s i n)1,1( 上的原函數(shù)是它在a r c s i n 的定義域是而 函數(shù)的原函數(shù)若存在， 則不唯一，有無窮多 ,)()( 的一個原函數(shù)是即：若,)()( 時事實上：當 結論是：函數(shù)的原函數(shù)加任意常數(shù)仍然是函數(shù)的原函數(shù)。 .,)()( ,)()( ）（則注 4 同一 函數(shù)的任何兩個原函數(shù)之間，至多相差一個常數(shù)。 ,)()()( 的原函數(shù)都是、若),()()( ）為某個常數(shù)（其中則 .)()( )2.()()( 中值定理的推論原函數(shù)，結論：找到函數(shù)的一個函數(shù)。就找到了函數(shù)的全部原).(,c o ss i 的一個原函數(shù)是例如ss i ）為任意常數(shù)（其中的全部原函數(shù)。是則的一個原函數(shù)是若即：.,)()(,)()(不定積分2016/12/1 11 .)()(上的不定積分在區(qū)間稱為上的原函數(shù)全體在區(qū)間函數(shù)(積分變量 積分號 記作 : 被積函數(shù) （ 3） 不定積分的定義 ,)()( 的一個原函數(shù)是若注 ,)()( 積分常數(shù) .),(c o ss i xx d x s i nc o )( 再例如： ？ 323.？的原函數(shù)？是 3 的原函數(shù)是 016/12/1 13 （ a）原函數(shù)的存在性問題 .)(,)(上存在原函數(shù)在區(qū)間則上連續(xù)在區(qū)間若函數(shù) （ b）原函數(shù)的結構問題 注 1不定積分的理論問題： ()(的任意一個原函數(shù)。是其中 )()( 被積表達式 ()(注 2關于積分表達式中的 ()( 時，當 d)(d)( ()()( )( f(x) 妙用 注 3不定積分的幾何意義： ()( 一條積分曲線 )(x ()(的不定積分在幾何上， )( ()(到的曲線，是一簇經過上下平移得).( 率均為處的線在點稱為積分曲線。這些曲 一簇 一族 一些 一片 一批 一束 一捆 一扎 一堆 一撮 一縷 一綹 一群 一組 3簇 6族 5不講 教材 用語 頁碼 統(tǒng)計 北大張筑生 數(shù)學分析新講 函數(shù)簇 202頁 3簇 人大趙樹嫄 微積分 一簇積分曲線 220頁 復旦 數(shù)學分析 （ 60版） 相互平行的一簇曲線 330頁 朱來義 微積分 積分曲線族 118頁 6族 樊映川 高等數(shù)學講義 （ 64版） 曲線族 338頁 同濟數(shù)學教研室 高等數(shù)學 （ 78版） 曲線族 242頁 同濟 高等數(shù)學 第五版 函數(shù)族 183頁 華師大 數(shù)學分析 第三版 曲線族 179頁 清華蕭樹鐵大學數(shù)學 微積分 一族鋪滿整個平面的“平行”曲線 171頁 南開 數(shù)學分析 李成章等 沒講 5不講 復旦 數(shù)學分析 （ 91版）歐陽光中姚允龍 沒講 華羅庚 高等數(shù)學引論 沒說幾何意義 斯米爾諾夫 高等數(shù)學教程 沒有明說 同濟 微積分 第三版 無 we in of 家庭，氏族，族 英文注釋： A 一簇 一族 一些 一批 一群 一組 族：家族、種族、屬性共同的類 簇：聚集、聚集成團成堆， 一簇曲線 積分曲線是：的的過點例如：函數(shù) )0,0(的積分曲線是：設函數(shù) )( )(則0)0( f又 10)0( 0即1 C 1)( ).(1000)/(257總成本函數(shù)固定成本為，件元邊際成本為：時的量為例：已知某種產品日產,257解 ()( 257(23 507)( 050071 0 0 0)0(又1 0 0 0 求總成本函數(shù)為1000507)( 不定積分換元法 一、第一換元法 湊微分法 二、第 二 換元法 拆微分法 一、第一換元法 湊微分法 先看一個簡單例子： 計算不定積分 ： 32 + 2 + 1 d = 3 + 2 + + 如果 把上式中 的 都換 為 ,就得到： 3 + 2 + 1 d() = + + + = + + + 注意到 ： 就有： 3 + 2 + 1 d d = d 問題 1：這樣做，是否正確呢？ ()d = + () = () 回顧不定積分定義 ,我們知道，如果 則有： 反之亦真 而事實上 + + + = 3 + 2 + = 3 +2 + 1 說明 確實 有： = + + + 3 + 2 + 1 d 即這種做法至少對此例來說是正確的。 問題 2：這種方法是否具有普遍性呢？ 下面我們來分析剛才的過程，并把它推廣到一般形式。 32 + 2 + 1 d = 3 + 2 + + ()d = + () 3 + 2 + 1 d ()()d = + () 綜上所述，我們有： 定理：設函數(shù) ()在區(qū)間 上有定義， ()在區(qū)間 上可導， ( ) ,并且 ()d = + 則有： ()()d = + 證明 ： 我們先結合開始的例題，分析定理中被積函數(shù)的特點 : 被積函數(shù)為兩個函數(shù)的乘積，而且 第一個函數(shù)為 (),即函數(shù)表達式中出現(xiàn) 的地方 ,都是 () （特別注意 ： () 可以出現(xiàn)多次 ,當然也可以只出現(xiàn)一次）；第二個函數(shù)恰好是 () 的導數(shù) 或者是() 的導數(shù) 的常數(shù)倍 。（注意： 只出現(xiàn)一次）。 例 用湊微分法計算。 1. + + 1 d 問題： 填 行不行呢？ 如果填 ，怎么計算呢？ 例 用湊微分法計算。 2. + d 問題： 填 1行不行呢？ 如果填 1，怎么計算呢？ 例 用湊微分法計算。 3. 2 d 4. 1 22d 例 3. ( )d 1. + d 2. d 注：第一換元法俗稱“湊微分法”。能否熟練使用這種方法，是與使用者對各種微分形式或者說各種湊微分的形式是否能熟記于心是大有關系的。 以下通過各種例子和練習題來幫助同學們來了解總結各種常見的微分形式。 另外，使用者（特別是對于初學者來說）， 除了 熟記 各種 微分形式以外還需要做一定量的練習。 例 1. ( + )d ( 0, 1) 2. 1 + d ( 0) 3. 2)d 注： + = + ( + ) 課堂或課后 練習 ： 1. d 2. d 3. 14+2 d 4. 12+2+3d 1. 2 d 2. 12 d 3. d 例 注： = () 特別地 ： = = 1. 1+2 d 2. 31+8 d 3. 174+12 d 4. 1(1+)d 課堂或課后 練習 ： 5. 1(1)d 1. 32 + 23 + 2 + 5d 3. 2 32 3 + 7 3 d 2. + 1 d 例 注： ()d = d ()() d = 1()d() ()() d = ()d() 1. +d 2. +3 d 3. +1( )12 d 4. 2+14+1d ( 0) 課堂或課后 練習 ： 5. +12+ d 課堂或課后 練習 ： 6. d 7. 2 +3 3 +2 d 注： 一般地 + +d = + + ( ) + d 請大家自己確定： =?, =? 1. (1+ )2 d 3. d 2. (2+ )d 課堂或課后練習 4. d 5. d 6. d 7. d 請大家想一想，還有哪些湊微分類型？ 8. 1 2 d 9. (1 )d 10. 1 + 2 d 11. (1 + )d 被積表達式 湊微分形式 被積表達式 湊微分形式 被積表達式 湊微分形式 例 請大家注意計算過程與結果 ) 11 + d 解法 1：（利用湊微分法） 11+ d = 2d 2 = 122d = 2 + 解法 2：利用初等方法，即直接積分法 11+ d = d = 1 1 d = 1 d = + + 問題 1. 請大家仔細檢查上面兩種解法的結果，看哪種解法的結果是符合 題意 的 完全 結果？哪 種 解法的結果不是符合題意的完全結果 ？它改變 了積分變量的限制條件 ，因此，我們需要對其結果作出調整？ 問題 2. 怎么調整？ 解法 2： 11 + d = d = 1 1 d = 1 d = + + 解法 1： 11 + d = 2d 2 = 2 + = 122d 事實上， 只 要求出被積函數(shù)和所得結果的定義區(qū)間，就會發(fā)現(xiàn)解法 1的結果沒有改變積分變量的限制 條件，因此解法 1的結果是 符合 題意的完全 結果 ；解法 2的結果對積分 變量增加了限制 條件 ( 2) ,這是由于解法 2將被積函數(shù)的分子、分母同乘以 1 ,因此 對積分變量 增加 了限制條件 ( 2) ,所以，需對解法 2的結果作出調整。如何調整呢？就是想辦法去掉限制條件 ( 2)。 例如可作如下調整： + + = 1 + = 1 1+ + = 1+ + 這個結果與解法 1中的結果是恒等的。 注：在解題結束時，必須檢查一下你的結果，看看是否是符合題意的完全結果，否則，要找出導致出現(xiàn)不符合 題意 的結果的原因，分析在運算過程中是否增加（或者忽略）了對積分變量的限制條件，并對結果做出相應的調整。（再注：這個 注意點不僅僅適用于第一換元法，也適用于 其他積分方法。） 二、第 二 換元法 拆微分法 上面第一換元法的實質是通過變量代換 = (),將積分 ()()d轉化為 d,前提條件是積分 d較 ()()d 更容易。 而如果是積分 ()()d較積分 d更容易求出，就應該將其寫為： d = ()()d 即通過變量代換 = (),將積分 d轉化為 ()()d，習慣上寫為 ： d = ()()d 這就是第二換元法 。 1、 定理：設函數(shù) ()在區(qū)間 上有定義 ， ()在區(qū)間 上可導而且有反函數(shù) ， 且 ( ) ,則當 ()d存在 (注意：此條件不能少 )， 而且 ()()d = + 則 有 ： ()d = 1() + 即 通過變量代換 = (),將積分 d：轉化為 ()()d d = ()()d = 2、 分析說明 第 二 換 元 法 的 關 鍵 是 對 變 換 = 的選擇 ， 選擇的恰當和巧妙可使運算得到簡化而且易于計算 ，常用的主要有三角代換和簡單的無理代換 ， 有時候還可以用倒代換等 。 3、 三角代換 當被積函數(shù)的表達式中含有形 如 2 2,2 + 2,2 2 特別是 含有二次 根式 2 2, 2 + 2, 2 2 可使用如下的三角代換： 2 2 = 2 + 2 = 2 2 = 例 （ 1） . 2 2d （ 2） . 12 + 2 d （ 3） . 12 2 d （ 4） . 12 + 232d （ 5） . 1 2 2 d （ 6） . 22 + 2 2 d （ 7） . 32 2 2 d 注：在最后回代時，可通過直角三角形求所需要的三角函數(shù) 2 2 = 注：在最后回代時，可通過直角三角形求所需要的三角函數(shù) 2 + 2 = 注：在最后回代時，可通過直角三角形求所需要的三角函數(shù) 2 2 = 當被積函數(shù)的表達式中含有如下根式時 ， 可考慮直接令根式等于 ，去掉被積表達式中的根式 。 + , + + , + , + + 例 （ 1） . 1 + + 1d （ 2） . 11 + 3 d （ 3） . 2 d （ 4） . 1 + d （ 5） . 1 + 23 d （ 6） . 13 + 1d （ 7） . + 1d （ 8） . 2 + d 再見