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1、
南京市六校聯(lián)合體高二期末試卷
數(shù)學（文科） 2018.6
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案直接填寫在答題卡相應位置上.
1.已知集合A＝{1，3}，B＝{1，4，5}，則A∪B＝ ▲ ．
2.已知復數(shù)z＝(4＋3i)2(i為虛數(shù)單位)，則z的實部為 ▲ ．
3. 一個原命題的逆否命題是“若x＝1，則x2－2x＜0”，那么該原命題是 ▲ 命題．（填“真”或“假”）．
4.函數(shù)f(x)＝的定義域是 ▲ ．
5.以雙曲線－y2＝1的左焦點為焦點的拋物線的標準
2、方程為 ▲ ．
6.函數(shù)f(x)＝2x(0＜x＜1)，其值域為D，在區(qū)間(－1，2)上隨機取一個數(shù)x，則x∈D的概率是 ▲ ．
第8題
開始
k＜4
結束
k?1，s?1
s?2s-k﹣×i
k?k+1
輸出s
7.某地區(qū)為了了解居民每天的飲水狀況，采用分層抽樣的方法隨機抽取100名年齡在[10，20)，[20，30)，…，[50，60]年齡段的市民進行問卷調(diào)查，由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則[30，40)年齡段應抽取的人數(shù)為 ▲ ．
N
Y
第7題
第7題
3、
8.如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的s值等于 ▲ ．
9.觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a8＋b8等于 ▲ ．
10.從集合A＝{－2，－1，1，2}中隨機取一個數(shù)為m，從集合B＝{－1，1，2，3}中隨機取一個數(shù)為n，則方程＋＝1表示雙曲線的概率為 ▲ ．
11.設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓C上的點，
PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝θ，若cosθ＝，則橢圓C的離心率為 ▲ ．
12.函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)(
4、x∈R)，且在區(qū)間[－1，1)上，f(x)＝，
則f(f(2019))＝ ▲ ．
13.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝(|x－1|＋|x－2|－3)．若函數(shù)g(x)＝f(x) －ax恰有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為 ▲ ．
14.已知函數(shù)f(x)＝(x∈R)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，g(x)＝－x2＋2ax－2(a∈R),
若A＝{x|f(g(x))＞e}＝R，則a的取值范圍是 ▲ ．
二、解答題：本大題共6小題，共計90分。請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15.（本小題滿分1
5、4分）
已知二次函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，f(－1)＝5，且圖象過原點．
(1)求二次函數(shù)f(x)的解析式；
(2)已知集合U＝[1，4]，B＝{y|y＝，x∈U}，求．
16.（本小題滿分14分）
已知命題p：指數(shù)函數(shù)f(x)＝(a－1)x在定義域上單調(diào)遞減，
命題q：函數(shù)g(x)＝lg(ax2－2x＋)的定義域為R.
(1)若q是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；
(2)若“p∧q”為假命題“p∨q”為真命題，求實數(shù)a的取值范圍.
17.（本小題滿分14分）
已知函數(shù)f(x)＝ax－(k－1)a－x(a＞
6、0且a≠1)是奇函數(shù)．
(1)求實數(shù)k的值；
(2)若f(1)＜0，解關于x的不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)＜0．
18.（本小題滿分16分）
某禮品店要制作一批長方體包裝盒，材料是邊長為60cm的正方形紙板．如圖所示，先在其中相鄰兩個角處各切去一個邊長是xcm的正方形，然后在余下兩個角處各切去一個長、寬分別為30cm、xcm的矩形，再將剩余部分沿圖中的虛線折起，做成一個有蓋的長方體包裝盒．
(1)求包裝盒的容積V(x)關于x的函數(shù)表達式，并求函數(shù)的定義域；
(2)當x為多少cm時，包裝盒的容積最大？最大容積是多少cm3？
7、
19.（本小題滿分16分）
已知離心率為的橢圓＋＝1(a＞b＞0) ，經(jīng)過點A(1，)，過A作直線與橢圓相交于另一點B，與軸相交于點D，取線段AB的中點P，以線段DP為直徑作圓與直線OP相交于點Q.
(1)求橢圓的方程；
(2)若P點坐標為(，)，求直線DQ的方程；
(3)求證：直線DQ過定點，并求出該定點坐標.
20.（本小題滿分16分）
已知函數(shù)f(x)＝ax＋xlnx的圖象在(1，f(1))處的切線與直線2x－y＋1＝0平行．
(1)求實
8、數(shù)a的值；
(2)若f(x)≤(k2＋k－1)x2對任意x＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
(3)當n＞m＞1(m，n∈N*)時，證明：n＞m．
高二期末考試
數(shù)學試題答案
1、 {1，3，4，5} 2、7 3、真 4、[－5，1] 5、y2＝﹣4x 6、
7、35 8、－3 9、47 10、 11、3－2 12、2
13、(﹣1，1) 14、(﹣1，1)
15． 解：(1)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，因為f(1)＝1，f(﹣
9、1)＝5，且圖象過原點，所以 ……………………………………………………………………………3分
解得所以f(x)＝3x2﹣2x. ………………………………………………………7分
(2)y＝＝3﹣，當x∈[1，4]時，函數(shù)y＝3﹣是增函數(shù)，當x＝1時，y取得最小值1，當x＝4時，y取得最大值，所以B＝[1，]， ………………………………………………11分
＝(，4] ………………………………………………………………………………14分
16解：(1)若命題q是真命題，則有①當a＝0時定義域為(﹣∞，0)，不合題意 ………1分
②當a≠0時，由已知可得 ……………………………
10、…………………4分
解得：a＞，故所求實數(shù)a的取值范圍為(，＋∞)． …………………………………6分
(2)若命題p為真命題，1＜a＜2 ……………………………………………………………8分
若p為真q為假，則，得到1＜a≤ ………………………………………10分
若p為假q為真，則 得到a≥2 ． ………………………………………12 分
綜上所述，的取值范圍是1＜a≤ 或a≥2． ………………………………………14分
17解：(1)因為f(x)是奇函數(shù)，且f(0)有意義，所以f(0)＝0，所以1－(k－1)＝0，
k＝2．…………………………………………………
11、………………………………………………2分
當k＝2時，f(x)＝ax－a－x，f(－x)＝a－x－ax，f(x)＋f(－x)＝0，所以f(x)是奇函數(shù)，
k＝2符合題意．…………………………………………………………………………………4分
(2)因為f(1)＜0，所以a－＞0，即0＜a＜1，………………………………………………6分
f ￠(x)＝axlna＋a－xlna，因為0＜a＜1，所以f ￠(x)＜0，所以f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)．…9分
由f(x2＋2x)＜－f(x－4)＝f(4－x)，得x2＋2x＞4－x，即x2＋3x－4＞0，…………………12分
解得x＜－4或x＞1，
12、故所求不等式的解集為(－∞，－4)∪(1，＋∞)．…………………14分
18．(1)因為包裝盒高h＝x，底面矩形的長為60－2x，寬為30－x，
所以鐵皮箱的體積V(x)＝(60－2x)·(30－x)·x＝2x3－120x2＋1800x．……………………………4分
函數(shù)的定義域為(0，30)． ……………………………………………………………………6分
(2)由(1)得， V ￠(x)＝6x2－240x＋1800＝6(x－10)(x－30)，
令V ￠(x)＝0，解得x＝10． ……………………………………………………………………8分
當x∈(0，10)時， V ￠(x)＞0
13、，函數(shù)V(x)單調(diào)遞增；
當x∈(10，30)時， V ￠(x)＜0，函數(shù)V(x)單調(diào)遞減．………………………………………12分
所以函數(shù)V(x)在x＝10處取得極大值，這個極大值就是函數(shù)V(x)的最大值．
又V(10)＝8000cm3． …………………………………………………………………………15分
答：切去的正方形邊長x＝10cm時，包裝盒的容積最大，最大容積是8000cm3． ……16分
19． (1)因為所以：a＝2，b＝1橢圓的方程為：＋y2＝1……………………4分
(2)因為點P的坐標為(，)，所以AB的方程為：y＝－x＋ ，
所以D點坐標為(0，) ……………………
14、…………………………………………………5分
又因為以DP為直徑的圓與OP交于Q，所以DQ⊥OP又kOP＝，所以kDQ＝－2…7分
所以DQ的方程為：y＝－2x＋ …………………………………………………………8分
(3) 由題意知直線l的斜率存在，可設l的方程為：y－＝k(x－1)，
所以D點坐標為(0，－k)……………………………………………………………………9分
又消去y后得：(4k2＋1)x2＋4k(－2k)x＋4(－k)2－4＝0
所以：xA＋xB＝－，………………………………………………………………10分
所以xP＝，yP＝，所以kOP＝－ ………………………………………
15、12分
又DQ⊥OP，所以kDQ＝4k……………………………………………………………………14分
所以DQ的方程為：y－＋k＝4kx，即y－＝k(4x－1) ………………………………15分
所以直線DQ恒過定點(，) ……………………………………………………………16分
20.解：(1)求導數(shù)，得f ′(x)＝a＋lnx＋1．
由已知，得f ′(1)＝2，即a＋ln1＋1＝2 ∴a＝1． ………………………………………3分
(2)由(1)知f(x)＝x＋xlnx，
∴f(x)≤(k2＋k－1)x2對任意x＞0成立?k2＋k－1≥對任意x＞0成立． …………5分
16、令g(x)＝，則問題轉化為求g(x)的最大值． …………………………………………6分
求導得g′(x)＝－，令g′(x)＝0，解得x＝1. ……………………………………………7分
當0＜x＜1時，g′(x)＞0，∴g(x)在(0，1)上是增函數(shù)；
當x＞1時，g′(x)＜0，∴g(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．
∴g(x)在x＝1處取得最大值g(1)＝1．
∴k2＋k－1≥1即k≥1或k≤－2為所求． ………………………………………………9分
（3）證明：令h(x)＝，則h′(x)＝ …………………………………………11分
由（2）知， x≥1＋lnx(x＞0)，∴h′(x)≥0，∴h(x)是（1，＋∞）上的增函數(shù)．
∵n＞m＞1，∴h(n)＞h(m)，即＞，………………………………………………14分
∴mnlnn－nlnn＞mnlnm－mlnm，即mnlnn＋mlnm＞mnlnm＋nlnn，
∴l(xiāng)nnmn＋lnmm＞lnmmn＋lnnn，即ln(mnn)m＞ln(nmm)m，∴(mnn)m＞(nmm)m。
∴n＞m． …………………………………………………………………………16分
江蘇省南京市六校聯(lián)合體 高二下學期期末考試數(shù)學文Word版含答案
