奧數(shù)知識點(diǎn) 速算與巧算

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1、速 算 與 巧 算 引導(dǎo)： 1、計算（湊十法） 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 2、計算（湊整法） 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 2+13+25+44+18+37+56+75 3、計算（用已知求未知） 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15 5+6+7+8+9+10 4、計算（改變運(yùn)算順序） 10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 5、計算（帶著“+”、“-”號搬家） 1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 一、湊十

2、法：利用個位數(shù)相加之和都等于10的技術(shù) 題1、計算　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結(jié)果，但缺點(diǎn)是麻煩、容易出錯；而且一步出錯，以后步步都錯。若是利用湊十法，就能克服這種缺點(diǎn)。 二、湊整法：同學(xué)們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如： 　　巧用這些結(jié)果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準(zhǔn)。像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標(biāo)。 題2、計算　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 解：這是求1到19共10個單數(shù)之和，用湊整法做： 題3、

3、計算 　　2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 解：這是求2到20共10個雙數(shù)之和，用湊整法做： 題4、計算 　　2+13+25+44+18+37+56+75 解：用湊整法： 三、用已知求未知 　　利用已經(jīng)獲得較簡單的知識來解決面臨的更復(fù)雜的難題這是人們認(rèn)識事物的一般過程，湊十法、湊整法的實(shí)質(zhì)就是這個道理，可見把這種認(rèn)識規(guī)律用于計算方面，可使計算更快更準(zhǔn)。 題5、計算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 解：由例2和例3，已經(jīng)知道從1開始的前10個單數(shù)之和及從2開始的前10個雙數(shù)之和，巧

4、用這些結(jié)果計算這道題就容易了。 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 　　=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16+18+20） =100+110（這步利用了例2和例3的結(jié)果）=210 題6、計算：5+6+7+8+9+10 解：可以利用前10個自然數(shù)之和等于55這一結(jié)果。 5+6+7+8+9+10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4）=55-10=45 　　 四、改變運(yùn)算順序 在只有加減運(yùn)算的算式中，有時改變加、減的運(yùn)算順序可

5、使計算顯得十分巧妙！ 題7、計算：10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 解：改變一下運(yùn)算順序，先減后加，就使運(yùn)算顯得非?！捌痢薄? 　　10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=(10-9)+(8-7)+(6-5)+(4-3)+(2-1)=1+1+1+1+1=5 五、帶著“+”、“-”號搬家 題8、計算：1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 解：這題只有加減運(yùn)算，而且1-2不夠減。我們可以采用帶著加減號搬家的方法解決。要注意每個數(shù)自己的符號就是這個數(shù)前面的那個“+”號或“-”號，搬家時要帶著符號一起搬。 　　1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11=1+3-2

6、+5-4+7-6+9-8+11-10 　　=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）=1+1+1+1+1+1=6 　　在這道題的運(yùn)算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，……把“+11”搬到了“-10”前面，這就叫帶著符號搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計算簡便。 題9、計算：?。?+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19）=10 題10、計算：（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99）=50 　　 　　 總結(jié)： 速算第一步：觀察?。ㄊ欠衲苡霉?，數(shù)字有什么特點(diǎn)，符號有什么特點(diǎn)，是否有簡便方法…） 速算思想：

7、 1、 “整”比“散”好！ （100+200 比 156+288好算） 2、 “小”比“大”好！ （1+2 比 1257+3658好算） 掌握理論（小技巧）： 1、 加法交換律：1+2 = 2+1 2、 加法結(jié)合律：（1+2）+3 = 1+（2+3） 3、 帶符號搬家：加減法中數(shù)字就像逛超市，每人推著自己的小車，去哪兒都推著（即符號在前面） 43+88-33 = 43-33+88 = 88+43-33 括號前為+，添/去括號后不變， 括號前為-，添/去括號后括號內(nèi)要變號 4、 加括號：5+3-2 = 5+(3-2)，5-3-2 = 5-(3+2) 5、

8、 減括號：5+(3-2)= 5+3-2，5-(3+2)=5-3-2 6、 找基準(zhǔn)數(shù)：53+51+48+47 (基準(zhǔn)數(shù)為50) 7、 變加為乘：8+8+8+8+8+8+8+7=8×7或=8×8-1=63 8、 加減抵消：92-16+23-23+16=92 9、 減法巧算：100-36-24，88-（28+15） 10、 分組：90-89+88-87+86-85+84-83 11、 利用乘法結(jié)合率：81+9×21=9×9+9×21=9×(9+21)=9×30=270 12、 利用乘法分配率：99×7=(100-1) ×7=100×7-1×7=700-7=693 13、 等差數(shù)列（高

9、斯公式）：1+2+3+……+998+999+1000=(首項+末項) ×項數(shù)÷2 14、 金字塔數(shù)列：1+2+3+……+98+99+100+99+98+……+3+2+1=100×100=10000 15、 位值原理 1234 + 3142 + 4321 + 2413==10000+1000+100+10=11110 適用于：各數(shù)位有特點(diǎn)，按數(shù)位相加（即千位加千位，百位加百位）更簡便 1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 1+2+3+4+5+6=21 1+2+3+4+5+6+7=28 1+2+3+4+5+6+7+8=36 1+2

10、+3+4+5+6+7+8+9=45 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 應(yīng)用題 1．三個小朋友分5塊糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，你能分嗎？ 2．①把16只小雞分別裝進(jìn)5個籠子里，每個籠子里都要有雞，而且每個籠子里的雞的只數(shù)也不能相同，如何分裝？ 　?、诎赐瑯右螅?5只小雞裝進(jìn)5個籠子能辦得到嗎？ 　　③按同樣要求，把14只小雞分裝到5個籠子能辦得到嗎？ 3．①把100塊糖分給10個小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖，而且每人分到糖塊數(shù)都不一樣，如何分？ 　?、诎?9塊糖按同樣要求分給10個小朋友，你能分嗎？ 4．從1到20這20個數(shù)中，所有

11、的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少？ 5．小方家的鐘除了幾點(diǎn)鐘敲幾下外，每半點(diǎn)鐘也敲一下。比如說，0點(diǎn)半敲1下，1點(diǎn)鐘敲1下，1點(diǎn)半敲1下，2點(diǎn)敲2下，2點(diǎn)半敲1下，……照這樣敲下去，從夜里0點(diǎn)開始，計到白天中午12點(diǎn)鐘，在這12個小時之內(nèi)時鐘共敲了多少下？ 習(xí)題解答 　　1．答案是不能分。 　　所需糖塊數(shù)最少的一種分法是：第1個人分1塊，第2個人分2塊，第3個人分3塊，這樣三個人共需要有1+2+3=6（塊），但總的糖塊數(shù)只有5塊，不夠分。如果第3個人也分得2塊，這樣糖是夠分了，但是這樣就有2個人分得糖塊數(shù)一樣多了，又不符合分糖要求了。 　　2．①5只籠子裝16只小雞的裝法是1，2

12、，3，4，6。 　　1+2+3+4+6=16（只） 　?、?只籠子裝15只小雞的裝法是1，2，3，4，5。 　　1+2+3+4+5=15（只） 　?、?只籠子裝14只小雞，要求每籠都有雞，而且籠籠雞數(shù)不等，無法分裝。 　　3．①記住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100塊糖按要求分給10個人的分法是：各人所得糖塊數(shù)分別為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。 　?、?9塊糖按要求分給10個小朋友無法分。 　　4．解：方法1： 　　單數(shù)之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100 　　雙數(shù)之和：2+4+6+8+10+

13、12+14+16+18+20=110 　　差：110-100=10 　　方法2：改變運(yùn)算順序 　　(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19) 　　=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19) 　　=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=10 　　5．解：先記錄時鐘敲的整點(diǎn)數(shù)和半點(diǎn)數(shù)如下： 　　　　　 列算式求和，并改變運(yùn)算順序： 　　1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+

14、9+1+10+1+11+1+12 　　=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) 　　=78+12=90（下） 經(jīng)典例題： 例1、哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊；接著哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、14塊、16塊。你說誰拿得多，多幾塊？ 解：方法1：先算哥哥共拿了多少塊？ 　　　　 再算妹妹共拿了多少塊？ 　　 　　72-64=8（塊） 　　方法2：這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算共多拿了多少塊。 (2-1)+

15、(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)　=1+1+1+1+1+1+1+1=8（塊） 　　可以看出方法2要比方法1巧妙！ 例2、星期天，小明家來了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54塊。小明說：“咱們一共10個人，每人都要分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，誰會分？”結(jié)果大家都無法分，你能幫他們分好嗎？ 解：按小明提的要求確實(shí)無法分。 　　因為要使得每個人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是：第一人分到1塊，第二人分到2塊，…第十人分到10塊。但是，這種分法共需要有 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（塊） 　　而小明這包糖一共才54塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一人少得1塊糖，比如說，應(yīng)該得10塊糖的小朋友只分到了9塊，但是這樣一來，他就和另一個先分得9塊糖的那個小朋友一樣多了，這又不符合小明提出“每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多”的要求。