2021-2021學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊 第4章4.5 角的比較與補(bǔ)(余)角例題與講解 （新版）滬科版

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1、 4.5　角的比較與補(bǔ)(余)角 1．角的大小比較 (1)疊合法：把一個(gè)角放在另一個(gè)角上，使兩個(gè)角的頂點(diǎn)和一邊分別重合，并使這兩個(gè)角的另一邊都放在這條邊的同側(cè)，就可以明顯看見兩個(gè)角的大?。绻麅山堑牧硪贿呏睾希@兩個(gè)角相等；如果兩角的另一邊不重合，則這兩個(gè)角不等，其中一個(gè)角的另一邊落在另一個(gè)角的內(nèi)部，則這個(gè)角比另一個(gè)角小，其中一個(gè)角的另一邊落在另一個(gè)角的外部，則這個(gè)角比另一個(gè)角大． ①先讓頂點(diǎn)O與E重合，再讓OA與OC重合，并且使另一邊OB，ED在OA的同側(cè)．如果OB與ED重合，則表示這兩個(gè)角相等，如圖，記作∠AOB＝∠CED. ②先讓頂點(diǎn)O與E重合，再讓OA與OC重合，并

2、且使另一邊OB，ED在OA的同側(cè)．如果ED落在∠AOB的外部，則表示∠AOB小于∠CED，如圖，記作∠AOB＜∠CED. ③先讓頂點(diǎn)O與E重合，再讓OA與OC重合，并且使另一邊OB，ED在OA的同側(cè)．如果ED落在∠AOB的內(nèi)部，則表示∠AOB大于∠CED，如圖，記作∠AOB＞∠CED. (2)度量法：用量角器量出角的度數(shù)，根據(jù)角的度數(shù)大小來判定角的大小，度數(shù)大的角大，度數(shù)小的角小，度數(shù)相等時(shí)，角相等．即角的大小和它們的度數(shù)大小一致． 辨誤區(qū) 用疊合法比較角的大小時(shí)應(yīng)注意的問題 用疊合法比較角的大小時(shí)，一定要將角的另一邊落在重合邊的同側(cè)． 【例1－1】 已知O是直線AB上一點(diǎn)

3、，OC是一條射線，則∠AOC與∠BOC的關(guān)系是(　　)． A．∠AOC一定大于∠BOC B．∠AOC一定小于∠BOC C．∠AOC一定等于∠BOC D．∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC 解析：由題可知射線OC可能在OA這一側(cè)，那么此時(shí)∠AOC就小于∠BOC，如果射線OC在OB這一側(cè)，那么∠AOC就大于∠BOC，如果射線OC垂直直線AB，那么∠AOC＝∠BOC＝90°，綜合所述∠AOC可能大于、等于或小于∠BOC. 答案：D 【例1－2】 如圖有兩塊三角板，你能比較∠BAC與∠DEF的大小嗎？ 分析：可以用特殊值法，通過三角板的特殊值來比較大??；還可以使用疊合法來比較這兩

4、個(gè)角的大?。? 解：能．只要把兩塊三角板如圖那樣疊合在一起，就可以比較出∠BAC和∠DEF的大?。? 說方法 比較兩個(gè)角的大小的常用方法 比較兩個(gè)角的大小，常用的方法是疊合法和測量法兩種．一般地，若兩個(gè)角的大小差別明顯，則用疊合法進(jìn)行驗(yàn)證；若兩個(gè)角的大小差別不明顯，則用測量法進(jìn)行驗(yàn)證． 2．角的和差關(guān)系 角的和、差有幾何與代數(shù)兩種意義，幾何意義對于今后讀圖形語言有很大幫助，代數(shù)意義是今后角的運(yùn)算的基礎(chǔ)． (1)幾何意義：設(shè)有兩個(gè)角∠AOB和∠BOC(∠AOB＞∠BOC)，如圖所示，把∠BOC移到∠AOB上，使它們的頂點(diǎn)重合，邊OB重合，當(dāng)∠BOC在∠AOB的外部時(shí)(如圖1)，它們

5、的另兩邊OA與OC所成的∠AOC就是∠AOB與∠BOC的和，即∠AOC＝∠AOB＋∠BOC；當(dāng)∠BOC在∠AOB內(nèi)部時(shí)(如圖2)，它們的另兩邊OA與OC所成的∠AOC是∠AOB與∠BOC的差，即∠AOC＝∠AOB－∠BOC. (2)代數(shù)意義：已知∠A＝36°，∠B＝60°，那么∠A＋∠B＝36°＋60°＝96°，∠B－∠A＝60°－36°＝24°.即兩個(gè)角的和、差關(guān)系等于兩個(gè)角的度數(shù)的和、差關(guān)系． 【例2】 已知一條射線OA，如果從點(diǎn)O再引兩條射線OB和OC，使∠AOB＝60°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度數(shù)． 解：當(dāng)OC在∠AOB的內(nèi)部時(shí)，如圖(1)， 圖(1) 此時(shí)∠

6、AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－20°＝40°. 當(dāng)OC在∠AOB的外部時(shí)，如圖(2)， 圖(2) 此時(shí)∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝60°＋20°＝80°. 綜上可知，∠AOC的度數(shù)為40°或80°. 辨誤區(qū) 作圖題要分類討論 根據(jù)題意畫圖時(shí)，要考慮到所有可能的情況進(jìn)行分類討論，防止漏解． 3．角的平分線 在角的內(nèi)部，以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的一條射線把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線．如圖，OC是從∠AOB的頂點(diǎn)O出發(fā)的一條射線，把∠AOB分成兩個(gè)相等的角，即∠AOC＝∠BOC，則OC叫做∠AOB的平分線． 角平分線定義的推理步驟 (1)角平分線

7、的性質(zhì)的推理步驟 ∵OC是∠AOB的平分線(已知)， ∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC(角平分線的定義)． (2)角平分線的判斷的推理步驟 ∵∠AOC＝∠BOC(已知)， ∴OC是∠AOB的平分線(角平分線的定義)． 釋疑點(diǎn) 對角的平分線的理解 角的平分線是一條射線，每個(gè)角都有且只有一條角平分線，它把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角． 【例3】 如圖所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，OD是∠AOC的平分線，求∠BOD的度數(shù)． 分析：從圖形上看，∠BOD＝∠BOC＋∠COD，因?yàn)椤螧OC＝60°，故只要求出∠COD的度數(shù)即可獲解，因?yàn)镺D

8、是∠AOC的平分線，而∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝30°，故∠COD可求． 解：∵∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝30°， OD是∠AOC的平分線， ∴∠COD＝∠AOC＝×30°＝15°. ∵∠BOD＝∠BOC＋∠COD， ∴∠BOD＝60°＋15°＝75°. 說方法 如何求角的度數(shù) 和求線段長一樣，求一個(gè)角的度數(shù)時(shí)，我們通常將這個(gè)角拆成另外幾個(gè)易求角度的角的和或者差的形式，通過求出另外幾個(gè)角達(dá)到求這個(gè)角的目的． 4．補(bǔ)角與余角的概念 (1)如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)平角，那么我們就稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角． 即：若∠1＋∠2＝180°，則∠

9、1與∠2互補(bǔ)． 反之，若∠1與∠2互補(bǔ)，則∠1＋∠2＝180°. (2)如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)直角，那么我們就稱這兩個(gè)角互為余角，簡稱互余，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角． 即：若∠1＋∠2＝90°，則∠1與∠2互余． 反之，若∠1與∠2互余，則∠1＋∠2＝90°. 談重點(diǎn) 余角與補(bǔ)角的關(guān)系 (1)互余和互補(bǔ)描述的都不是一個(gè)角，而是指具有特殊數(shù)量關(guān)系的兩個(gè)角，只與兩個(gè)角的大小有關(guān)，與它們的位置無關(guān)． (2)銳角A的余角表示為(90°－∠A)，補(bǔ)角可表示成(180°－∠A)． (3)兩角互為鄰補(bǔ)角，它們一定互補(bǔ)，但兩角互補(bǔ)，它們不一定為鄰補(bǔ)角． (4)一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大9

10、0°. 【例4－1】 如圖所示，AOB是一條直線，∠AOC＝90°，∠DOE＝90°，問圖中互余的角有幾對？互補(bǔ)的角有幾對？ 分析：由互為余角和互為補(bǔ)角的定義，只需找出圖中和為90°的兩個(gè)角以及和為180°的兩個(gè)角即可．也可令∠1＝x°，則∠2＝90°－x°，∠3＝x°，∠4＝90°－x°，∠BOD＝180°－x°，∠AOE＝90°＋x°.從而判斷出互余、互補(bǔ)的角． 解：互余的角：∠1與∠2，∠1與∠4，∠3與∠2，∠3與∠4； 互補(bǔ)的角：∠1與∠BOD，∠3與∠BOD，∠2與∠AOE，∠4與∠AOE. 說方法 表示一個(gè)角的余角或補(bǔ)角 可任意設(shè)一個(gè)角為x°，用含x°的代數(shù)式設(shè)

11、法表示出其他所有的角，凡是90°－x°的角都與這個(gè)角互余，凡是180°－x°的角都與這個(gè)角互補(bǔ)． 【例4－2】 一個(gè)角的補(bǔ)角是它的余角的3倍，那么這個(gè)角的度數(shù)是(　　)． A．60° B．45° C．30° D．15° 解析：由于一個(gè)角和它的補(bǔ)角的和是平角，與它的余角的和是直角，如果設(shè)這個(gè)角為x°，則它的補(bǔ)角是180°－x°，余角是90°－x°，由題目中所給的數(shù)量關(guān)系列出方程180°－x°＝3(90°－x°)，所以180°－x°＝270°－3x°，所以x°＝45°. 答案：B 析規(guī)律 根據(jù)互余和互補(bǔ)求角的度數(shù) 根據(jù)互余和互補(bǔ)的概念求角的度數(shù)的問題

12、，一般設(shè)出這個(gè)角的度數(shù)，用含有這個(gè)角的代數(shù)式來表示這個(gè)角的余角和補(bǔ)角從而得到關(guān)于這個(gè)角的方程．解方程可解決問題． 5．補(bǔ)角與余角的性質(zhì) (1)補(bǔ)角性質(zhì)：同角(或等角)的補(bǔ)角相等． 若∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，則∠2＝∠3. 若∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，∠1＝∠3，則∠2＝∠4. (2)余角性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等． 若∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠3＝90°，則∠2＝∠3. 若∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，∠1＝∠3，則∠2＝∠4. 釋疑點(diǎn) 進(jìn)一步理解余角與補(bǔ)角 銳角的余角為銳角，銳角的補(bǔ)角為鈍角；鈍角的余角不存在，鈍角的補(bǔ)

13、角為銳角；如果互補(bǔ)的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角都是直角． 【例5】 如圖，∠AOB＝∠COD＝90°，試說明∠AOC＝∠BOD. 解：∵∠AOB＝90°(已知)， ∴∠AOC＋∠BOC＝∠AOB＝90°(角的和差)． ∵∠COD＝90°(已知)， ∴∠BOD＋∠BOC＝∠COD＝90°(角的和差)． ∴∠AOC＝∠BOD(同角的余角相等)． 析規(guī)律 根據(jù)互余、互補(bǔ)判斷兩角的相等關(guān)系 當(dāng)題目中的角有互補(bǔ)互余的關(guān)系時(shí)，判斷兩個(gè)角的相等關(guān)系通常運(yùn)用等角的余角相等；等角的補(bǔ)角相等來解決． 6．角的計(jì)算與證明 角的和、差關(guān)系，角平分線及性質(zhì)，余角、補(bǔ)角及其性質(zhì)是進(jìn)行角的計(jì)算與

14、證明的基礎(chǔ)，熟練掌握這些知識及其推理的基本步驟是關(guān)鍵．在解決具體問題時(shí)要結(jié)合圖形，觀察角與角之間的關(guān)系，并運(yùn)用這些關(guān)系與性質(zhì)來解決問題． 析規(guī)律 根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行角的運(yùn)算 結(jié)合圖形和角的平分線的性質(zhì)判定角的和、差、倍、分的關(guān)系，并運(yùn)用這一關(guān)系解決問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想及方程思想． 【例6】 如圖所示，一副三角尺的兩個(gè)直角頂點(diǎn)O重疊在一起． (1)比較∠AOC與∠BOD的大小，并說明理由． (2)∠AOD與∠BOC的和是多少度？ 解：(1)∠AOC與∠BOD相等， 理由：∵∠AOB＝∠COD＝90°， ∴∠AOB－∠COB＝∠COD－∠COB， ∴∠AOC＝∠B

15、OD. (2)∵∠AOD＝∠AOB＋∠BOD， ∴∠AOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠BOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠COD＝90°＋90°＝180°. 7.角平分線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用 折疊問題是幾何中常見的問題，折疊過程中，角的大小不變．解決這類問題時(shí)，常與角的平分線，平角、周角的大小的關(guān)系，角的和差關(guān)系結(jié)合起來探求解決問題的思路． 析規(guī)律 折疊問題的解法 結(jié)合折疊問題畫出圖形，結(jié)合圖形，并根據(jù)角的和、差、倍、分的關(guān)系來尋找未知角與已知角之間的關(guān)系，并通過正確的推理求出未知角． 【例7】 如圖，將書頁斜折過去，使角的頂點(diǎn)A落在F處，BC為折痕，BD為∠EBF的平分線，求∠CBD的度數(shù)

16、． 解：由折疊的性質(zhì)可知，∠CBF＝∠CBA. 由角平分線的性質(zhì)可知，∠DBF＝∠DBE. ∵∠DBF＋∠DBE＋∠CBF＋∠CBA＝180°， ∴2∠CBF＋2∠FBD＝180°. ∴∠CBD＝90°. 8．角的比較與測量的應(yīng)用 比較角的大小有兩種常用的方法：一是疊合法；二是度量法．疊合法簡單易行，方便操作；度量法需要測量工具，雖然比較精確，但會(huì)與標(biāo)準(zhǔn)有差距．角的比較與測量的實(shí)際應(yīng)用比較廣泛，主要應(yīng)用于產(chǎn)品尺寸的質(zhì)檢和測繪等方面，解決這類問題要結(jié)合實(shí)際問題中的要求采用合適的方法來解決． 說方法 估測角的大小 對要求不高的或精確度不高的也可用估測法：直接通過觀察的方

17、法，比較角的大小較為直觀，但不夠準(zhǔn)確，適用于角度差別較大或要求不高的角的大小的比較．利用余角和補(bǔ)角的定義解決實(shí)際問題． 【例8】 在某工廠生產(chǎn)流水線上生產(chǎn)如圖所示的零件，其中∠α稱為工件的中心角，生產(chǎn)要求∠α的標(biāo)準(zhǔn)角度為30°±1°，一名質(zhì)檢員在檢驗(yàn)時(shí)，手拿一量角器逐一測量∠α的度數(shù)．請你運(yùn)用你所學(xué)的知識分析一下，該名質(zhì)檢員采用的哪種比較方法？你還能給該質(zhì)檢員設(shè)計(jì)較好的質(zhì)檢方法嗎？請說說你的方法． 分析：角的比較方法有兩種，測量法和疊合法，測量具體，而疊合更直觀，在檢驗(yàn)中，采用疊合的方法比較快捷． 解：該質(zhì)檢員采用的是測量法．還可以使用疊合法，即在工作中找一個(gè)角度為31°和一個(gè)角度為29°的兩個(gè)工件，然后可把幾個(gè)工件夾在這兩個(gè)工件中間，使頂點(diǎn)和一邊重合，觀察另一邊的情況． 6