高數(shù)知識點總結(上冊)

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1、高數(shù)知識點總結（上冊） 函數(shù)： 絕對值得性質： (1)|a+b||a|+|b| (2)|a-b||a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)||= 函數(shù)的表示方法： （1）表格法 （2）圖示法 （3）公式法（解析法） 函數(shù)的幾種性質： （1）函數(shù)的有界性 （2）函數(shù)的單調性 （3）函數(shù)的奇偶性 （4）函數(shù)的周期性 反函數(shù)： 定理：如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調的，則它的反函數(shù)存在，且是單值、單調的。 基本初等函數(shù)： （1）冪函數(shù) （2）指數(shù)函數(shù) （3）對數(shù)函數(shù) （4）三角函數(shù) （5）反三角函數(shù) 復合函

2、數(shù)的應用 極限與連續(xù)性： 數(shù)列的極限： 定義：設是一個數(shù)列，a是一個定數(shù)。如果對于任意給定的正數(shù)（不管它多么小），總存在正整數(shù)N，使得對于n>N的一切，不等式都成立，則稱數(shù)a是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于a，記做，或（） 收斂數(shù)列的有界性： 定理：如果數(shù)列收斂，則數(shù)列一定有界 推論：（1）無界一定發(fā)散（2）收斂一定有界 （3）有界命題不一定收斂 函數(shù)的極限： 定義及幾何定義 函數(shù)極限的性質： （1）同號性定理：如果，而且A>0(或A<0),則必存在的某一鄰域，當x在該鄰域內（點可除外），有（或）。 （2）如果，且在的某一鄰域內（），恒有（或），則（）。 （3

3、）如果存在，則極限值是唯一的 （4）如果存在，則在在點的某一鄰域內（）是有界的。 無窮小與無窮大： 注意：無窮小不是一個很小的數(shù)，而是一個以零位極限的變量。但是零是可作為無窮小的唯一的常數(shù)，因為如果則對任給的，總有，即常數(shù)零滿足無窮小的定義。除此之外，任何無論多么小的數(shù)，都不滿足無窮小的定義，都不是無窮小。 無窮小與無窮大之間的關系： （1）如果函數(shù)為無窮大，則為無窮小 （2）如果函數(shù)為無窮小，且，則為無窮大 具有極限的函數(shù)與無窮小的關系： （1）具有極限的函數(shù)等于極限值與一個無窮小的和 （2）如果函數(shù)可表為常數(shù)與無窮小的和，則該常數(shù)就是函數(shù)的極限 關于無窮小的幾

4、個性質： 定理： （1）有限個無窮小的代數(shù)和也是無窮小 （2）有界函數(shù)與無窮小a的乘積是無窮小 推論： （1）常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 （2）有限個無窮小的乘積是無窮小 極限的四則運算法則： 定理：兩個函數(shù)、的代數(shù)和的極限等于它們的極限的代數(shù)和 兩個函數(shù)、乘積的極限等于它們的極限的乘積 極限存在準則與兩個重要極限： 準則一（夾擠定理） 設函數(shù)、、在的某個鄰域內（點可除外）滿足條件： （1） （2）， 則 準則二 單調有界數(shù)列必有極限 定理：如果單調數(shù)列有界，則它的極限必存在 重要極限： （1）

5、 （2） （3）或 無窮小階的定義： 設為同一過程的兩個無窮小。 （1）如果，則稱是比高階的無窮小，記做 （2）如果，則稱是比低階的無窮小 （3）如果，則稱與是同階無窮小 （4）如果，則稱與是等階無窮小，記做 幾種等價無窮?。? 對數(shù)函數(shù)中常用的等價無窮小： 時， 三角函數(shù)及反三角函數(shù)中常用的等價無窮小： 時， 指數(shù)函數(shù)中常用的等價無窮小： 時， 二項式中常用的等價無窮小： 時， 函數(shù)在某一點處連續(xù)的條件： 由連續(xù)定義可知，函數(shù)在點處連續(xù)必須同時滿足下列三個條件： （1）在點處有定義 （2）當時，的極限

6、存在 （3）極限值等于函數(shù)在點處的函數(shù)值 極限與連續(xù)的關系： 如果函數(shù)在點處連續(xù)，由連續(xù)定義可知，當時，的極限一定存在，反之，則不一定成立 函數(shù)的間斷點： 分類：第一類間斷點 (左右極限都存在) 第二類間斷點(有一個極限不存在) 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性： 定理：如果函數(shù)、在點處連續(xù)，則他們的和、差、積、商（分母不為零）在點也連續(xù) 反函數(shù)的連續(xù)性： 定理：如果函數(shù)在某區(qū)間上是單調增（或單調減）的連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)也在對應的區(qū)間上是單調增（或單調減）的連續(xù)函數(shù) 最大值與最小值定理： 定理：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值

7、 推論：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有界 介值定理： 定理：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，兩端點處的函數(shù)值分別為，而是介于A與B之間的任一值，則在開區(qū)間內至少有一點，使得 推論（1）：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必能取得介于最大值與最小值之間的任何值 推論（2）：設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且(兩端點的函數(shù)值異號)，則在的內部，至少存在一點，使 導數(shù)與微分 導數(shù)： 定義： 導數(shù)的幾何定義：函數(shù)在圖形上表示為切線的斜率 函數(shù)可導性與連續(xù)性之間的表示： 如果函數(shù)在x處可導，則在點x處連續(xù)，也即函數(shù)在點x處連續(xù) 一個數(shù)在某一點連續(xù)，它卻不一定在該點可導 據(jù)導數(shù)

8、的定義求導： （1） （2） （3） 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式： （1）常數(shù)導數(shù)為零 （2）冪函數(shù)的導數(shù)公式 （3）三角函數(shù)的導數(shù)公式 （4）對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式： （5）指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式： （6） （7）反三角函數(shù)的導數(shù)公式： 函數(shù)和、差、積、商的求導法則： 法則一（具體內容見書106） 函數(shù)乘積的求導法則： 法則二（具體內容見書108） 函數(shù)商的求導法則： 法則三（具體內容見書109） 復合函數(shù)的求導法則

9、：（定理見書113頁） 反函數(shù)的求導法則： 反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù) 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：（見書121頁） 高階導數(shù)：二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù) 求n階導數(shù)：（不完全歸納法） 隱函數(shù)的導數(shù)：（見書126頁） 對隱函數(shù)求導時，首先將方程兩端同時對自變量求導，但方程中的y是x的函數(shù)，它的導數(shù)用記號（或表示） 對數(shù)求導法：先取對數(shù)，后求導（冪指函數(shù)） 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)： 微分概念： 函數(shù)可微的條件 如果函數(shù)在點可微，則在點一定可導 函數(shù)在點可微的必要充分條件是函數(shù)在點可導 函數(shù)的微分dy是函數(shù)的

10、增量的線性主部（當），從而，當很小時，有 通常把自變量x的增量稱為自變量的微分，記做dx。即于是函數(shù)的微分可記為，從而有 基本初等函數(shù)的微分公式： 幾個常用的近似公式： （x用弧度） （x用弧度） 中值定理與導數(shù)應用 羅爾定理：如果函數(shù)滿足下列條件 （1）在閉區(qū)間上連續(xù) （2）在開區(qū)間內具有導數(shù) （3）在端點處函數(shù)值相等，即，則在內至少有一點，使 拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足下列條件 （1）在閉區(qū)間上連續(xù) （2）在開區(qū)間內具有導數(shù)，則在內至少有一點，使得 定理幾何意義是：如果連續(xù)曲線上的弧除

11、端點處外處處具有不垂直于x軸的切線，那么，在這弧上至少有一點c，使曲線在點c的切線平行于弧 推論：如果函數(shù)在區(qū)間內的導數(shù)恒為零，那么在內是一個常數(shù) 柯西中值定理：如果函數(shù)與滿足下列條件 （1）在閉區(qū)間上連續(xù) （2）在開區(qū)間內具有導數(shù) （3）在內的每一點處均不為零，則在內至少有一點使得 羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣 洛必達法則：（理論根據(jù)是柯西中值定理） 未定式 1、情形 定理：如果 (1)當時，與都趨于零 （2）在點a的某領域（點a可除外）內，與都存在且 （3）存在（或為），則極限

12、存在（或為），且= 在一定條件下通過分子、分母分別求導數(shù)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則 2、情形 推論：如果 （1）當時，與都趨于零 （2）當|x|>N時，與都存在且 （3）存在（或為），則極限存在（或為），且= 未定式 1、情形 如果 （1）時，與都趨于無窮大 （2）在點a的某領域（點a可除外）內，與都存在且 （3）存在（或為） ，則則極限存在（或為），且= 2、情形 推論：如果 （1）時，與都趨于無窮大 （2）當|x|>N時，與都存在且 （3）存在（或為） ，則

13、則極限存在（或為），且= 注意：1、洛必達法則僅適用于型及型未定式 2、當不存在時，不能斷定不存在，此時不能應用洛必達法則 泰勒公式（略） 邁克勞林公式（略） 函數(shù)單調性的判別法： 必要條件：設函數(shù)在上連續(xù)，在內具有導數(shù)，如果在上單調增加（減少），則在內，（） 充分條件：設函數(shù)在上連續(xù)，在內具有導數(shù)， （1）如果在內，，則在上單調增加 （2）如果在內，，則在上單調減少 函數(shù)的極值及其求法 極值定義（見書176頁） 極值存在的充分必要條件 必要條件：設函數(shù)在點處具有導數(shù)，且在點處取得極值，則 函數(shù)的極值點一定是駐點 導數(shù)不存在也可能成為極值點

14、 駐點：使的點，稱為函數(shù)的駐點 充分條件（第一）：設連續(xù)函數(shù)在點的一個鄰域（點可除外）內具有導數(shù)，當x由小增大經(jīng)過時，如果 （1）由正變負，則是極大點 （2）由負變正，則是極小點 （3）不變號，則不是極值點 充分條件（第二）：設函數(shù)在點處具有二階導數(shù)，且， （1）如果，則在點處取得極大值 （2）如果，則在點處取得極小值 函數(shù)的最大值和最小值（略） 曲線的凹凸性與拐點： 定義：設在上連續(xù)，如果對于上的任意兩點、恒有，則稱在上的圖形是（向上）凹的，反之，圖形是（向上）凸的。 判別法： 定理：設函數(shù)在上連續(xù)，在內具有二階導數(shù) （1

15、）如果在內，那么的圖形在上是凹的 （2）如果在內，那么的圖形在上是凸的 拐點：凸弧與凹弧的分界點稱為該曲線的拐點。 不定積分 原函數(shù)：如果在某一區(qū)間上，函數(shù)與滿足關系式： 或，則稱在這個區(qū)間上，函數(shù)是函數(shù)的一個原函數(shù) 結論：如果函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上必有原函數(shù) 定理：如果函數(shù)是的原函數(shù)，則（C為任意常數(shù)）也是的原函數(shù)，且的任一個原函數(shù)與相差為一個常數(shù) 不定積分的定義： 定義：函數(shù)的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記做 不定積分的性質： 性質一：或 及或 性質二：有限個函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和。即 性質

16、三：被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，即 （k為常數(shù)，且k0 基本積分表： （1）（k是常數(shù)） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） 第一類換元法（湊微分法） 第二類換元法：變量代換 被積函數(shù)若函數(shù)有無理式，一般情況下導用第二類換元法。將無理式化為有理式 基本積分表添加公式： 結論： 如果被積函數(shù)含有，則進行變量代換化去根式 如果被積函數(shù)含有，則進行變量代換化去根式 如果被積函數(shù)含有，則進行變量代換化去根式

17、 分部積分法： 對應于兩個函數(shù)乘積的微分法，可推另一種基本微分法---------分部積分法 分部積分公式 1、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與的積，可以利用分部積分法 令u等于冪函數(shù) 2、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與的積，可使用分部積分法 令u= 3、如果被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積，也可用分部積分法。 定積分 定積分的定義 定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，則在上可積 定理：如果函數(shù)在上只有有限個第一類間斷點，則在上可積 定積分的幾何意義： 1、在上，這時的值在幾何上表示由曲線、x軸及二直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積 2、在上，其表示曲邊

18、梯形面積的負值 3、在上，既取得正值又取得負值 幾何上表示由曲線、x軸及二直線x=a、x=b所圍成平面圖形位于x軸上方部分的面積減去x軸下方部分的面積 定積分的性質： 性質一、函數(shù)和（差）的定積分等于他們的定積分的和（差），即 性質二、被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即 （k是常數(shù)） 性質三、如果將區(qū)間分成兩部分和，那么 、 性質四、如果在上，，那么 性質五、如果在上，，那么 性質六、如果在上，，那么 性質七、設M及m，分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則 m(b-a)M(b-a) (a

19、估值定理 性質八、積分中值定理 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在積分區(qū)間上至少有一點，使得 微積分基本公式 積分上限的函數(shù)： （axb） 性質：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么積分上限的函數(shù)在上具有導數(shù)，且 定理：在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在 牛頓——萊布尼茨公式 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且是的任意一個原函數(shù)，那么 定積分的換元法 假設（1）函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)； （2）函數(shù)在區(qū)間上單值，且具有連續(xù)導數(shù)； （3）當t在區(qū)間上變化時，的值在上變化，且， ，則有定積分的換元公式 設在區(qū)間上連續(xù)，則 （1）如果函數(shù)為奇函數(shù)，則 （2）如果函數(shù)為偶函數(shù)，則 定積分的分部積分法 設、在上具有連續(xù)導數(shù)、，那么，在等式的兩邊分別求a到b的定積分得 ……定積分的分部積分公式 即 或 無窮區(qū)間上的廣義積分 定義：設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取b>a，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記做即 無界函數(shù)的廣義積分（見書279頁） 定積分的應用（見書286頁） 元素法 在極坐標系中的計算法