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1、圖象與性質(zhì) 交點情況 解析式的確定 應 用 一 、定義 二次函數(shù)的定義： 形 如 y=ax2+bx+c (a,b,c是常數(shù)， a0) 的函數(shù)叫做二次函數(shù) 注意：（ 1）等號左邊是變量 y，右邊是關(guān)于 自變量 x的 整式 （ 3）等式的右邊最高次數(shù) 為 2次，可以沒有 一次項和常數(shù)項， 但 不能沒有二次 項。 （ 2） a,b,c為常數(shù)， 且 a 0 (4)函數(shù) 的自變量 x的取值范圍：任意實數(shù) 當 二次函數(shù)表示某個實際問題時 ,還必須根據(jù)題意確定自 變量的取值范圍 . 函數(shù) y ax2 bx c 其中 a、 b、 c是常數(shù) 切記： a0 右邊一個 x的二
2、次多項式（不能是分式或根式 ） 二次函數(shù) 的特殊形式： 當 b 0時， y ax2 c 當 c 0時， y ax2 bx 當 b 0， c 0時， y ax2 知識運用 下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？ (1)y=3x-1 (2)y=3x2 (3)y=3x3+2x2 (4)y=2x2-2x+1 (5)y=x -2 +x (6)y=x2-x(1+x) 當 m取何值時，函數(shù)是 y= (m+2)x 分別 是一次函數(shù)？ 反比例函數(shù)？ 知識運用 m2-2 二次函數(shù)？ 二、
3、 圖象與性質(zhì) （一）形如 y = ax 2 (a0) 的二次函數(shù) 二次函數(shù) 開 口 方 向 對 稱 軸 頂 點 坐 標 y = ax 2 a 0 a 0 向上 向下 直線 X=0 (0,0) （二）形如 y = ax 2+k (a0) 的二次函數(shù) 二次函數(shù) 開口方向 對稱軸 頂點坐標 y = ax 2+k a 0 向上 a 0 向下 直線 X=0 （ 0， K） 二次函數(shù) 開口方向 對稱軸 頂點坐標 y = a（ x - h) 2 a 0 a 0 向上 直線 X=h （ h， 0） （三）、形如 y = a (x - h) 2 ( a0 ) 的二次函數(shù)
4、（或 y軸） （或 y軸） (四 )形 如 y = a (x+h) 2 +k(a 0) 的二次函數(shù) 二次函數(shù) 開口方向 對稱軸 頂點坐標 y = a（ x+h) 2+k 向上 向下 a 0 a 0 直線 X=-h （ -h， k） 圖象 的平移規(guī)律： 對于拋物線 y=a(x+h)2+k的平移有以下規(guī)律： (1)、平移不改變 a 的值； (2)、 h決定圖象沿 x軸方向左右平移 ，左 +右 (3)、 k決定圖象沿 y軸方向上下平移 ，上 +下 （ 1）拋物線 y = x 2的開口向 ,對稱軸是 , 頂點坐標是 ,圖象過第 象限 ； 上 Y軸
5、 (0,0) 一、二 3 2 （ 2） 拋物線 y = x 2+3的開口向 ,對稱 軸是 , 頂點坐標是 ,是由拋物線 y = x 2向 平移 個單位得到的； 2 1 2 1 上 直線 X=0 （ 0， 3） 上 3 （ 3） 已知（如圖）拋物線 y = ax 2+k的圖象， 則 a 0， k 0；若圖象過 A (0,-2) 和 B (2,0) ， 則 a = ,k = ；函數(shù)關(guān)系式是 y = 。 0.5 -2 0.5x 2-2 X Y A B O 知識運用 （ 4） 拋物線 y = 2 (x ) 2+1
6、的開口向 , 對稱軸 , 頂點坐標 是 ________ （ 5） 若拋物線 y = a (x+m) 2+n開口向下，頂 點在第四象限，則 a 0, m 0, n 0。 （ 6）已知 二次函數(shù) y=- x2+bx-5的圖象的頂 點在 y軸上，則 b=___。 1 2 上 X= （， 1） 0 1.由 y=2x2的圖象向左平移兩個單位 ,再向下平 移三個單位 ,得到的圖象的函數(shù)解析式為 ________________________ 2.由函數(shù) y= -3(x-1)2+2的圖象向右平移 4個單位 , 再向上平移 3
7、個單位 ,得到的圖象的函數(shù)解析式 為 _____________________________ y=2(x+2)2-3 =2x2+8x+5 y= - 3(x-1-4)2+2+3 =-3x2+30 x-70 3.拋物線 y=ax2向左平移一個單位 ,再向下 平移 8個單位且 y=ax2過點 (1,2).則平移后 的解析式為 ______________; y=2(x+1)2-8 4.將拋物線 y=x2-6x+4如何移動才能得到 y=x2. 逆向思考 ,由 y=x2-6x+4 =(x-3)2-5知 :先向左平移 3個 單位 ,再向上平移 5個單位 . 知識運用 向 上
8、 向 下 大 二次 函數(shù) y=ax2+bx+c(a0) 的圖象和性質(zhì) 1、二次函數(shù) y=x2-8x+12圖象的開口向 , 對稱軸是 ，頂點坐標為 。 直線 x=4 (4,） 上 2、 函數(shù) 的頂點坐標是 ，對稱軸 。 開口方向 ， 當 x 時， y隨 x的增大而增大 當 x 時， y隨 x的增大而減小 當 x 時， y有最大值或最小最，最大或最小值 是 。 拋物線與 x軸交點坐標為 ， 拋物線與 y 軸的交點坐標為
9、 。 知識運用 212233y x x 歸納知識點： 拋物線 y=ax2+bx+c的符號問題： （ 1） a的符號： 由拋物線的開口方向確定 開口向上 a0 開口向下 a0 交點在 x軸下方 c0 與 x軸有一個交點 b2-4ac=0 與 x軸無交點 b2-4ac0； 當 0 x1 x2 2時， y1 y2 你認為其中正確的個數(shù)有 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 C 已知 y=ax2+bx+c的圖象如圖所示 , a___0, b____0, c_____0, abc____0 b___2a
10、, 2a-b_____0, 2a+b_______0 b2-4ac_____0 a+b+c_____0, a-b+c____0 4a-2b+c_____0 0 -1 1 -2 三、拋物線與一元二次方程的關(guān)系 y=ax2+bx+c的圖 象和 x軸交點 方程 ax2+bx+c=0 的根 b 2-4ac 函數(shù)的圖象 有兩個交點 方程有兩個不相等的實數(shù)根 b2-4ac0 只有一個交點 方程有兩個相等的實數(shù)根 b2-4ac=0 沒有交點 方程沒有實數(shù)根 b2-4ac<0 x y o . . x y o x y o 2 2 對 于 二 次
11、函 數(shù) y = a x + b x + c ( a 0 ) , 當 y=0 時 , 函 數(shù) 即 可 化 為 一 元 二 次 方 程 a x + b x + c = 0 , 這 時 方 程 的 根 就 是 拋 物 線 與 x 軸 交 點 的 橫 坐 標 . 根據(jù) 下列表格中二次函數(shù) y ax2+bx+c的自變量與 函數(shù)值的對應值，判斷方程 ax2+bx+c =0 （ a0, a, b, c為常數(shù)）的一個解的范圍是（ ） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ax2 bx c -0.03 -0.01 0.02 0.04 A 6.17 X 6.18 B 6.18 X 6
12、.19 C -0.01 X 0.02 D 6.19 X 6.20 B 四、 解析式的確定 2、已知拋物線頂點坐標（ h, k），通常設 拋物線解析式為 _______________ 3、已知拋物線與 x 軸的兩個交點 (x1,0)、 (x2,0),通常設解析式為 _____________ 1、已知拋物線上的三點，通常設解析式為 ________________ y=ax2+bx+c(a0) y=a(x-h)2+k(a0) y=a(x-x1)(x-x2) (a0) 求拋物線解析式的三種方法 練習 根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式。 (1)、圖象經(jīng)過 (0， 0)， (1，
13、-2) ， (2， 3) 三點； (2)、圖象的頂點 (2， 3)， 且經(jīng)過點 (3， 1) ； (3)、圖象經(jīng)過 (-2， 0)， (3， 0) ，且最高點 的縱坐標是 3 。 五、 二次函數(shù)的應用 例 1、 某工廠大門是一拋物線型水泥建筑物， 如圖所示，大門地面寬 AB=4m，頂部 C離地面 高度為 4 4m現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通 過大門，貨物頂部距地面 2 8m，裝貨寬度為 2 4m請判斷這輛汽車能否順利通過大門 例 2、 如圖所示，某建筑工地準備利用一面舊 墻建一個長方形儲料場，新建墻的總長為 30米。 （ 1）如圖，設長方形的一條邊長為
14、 x米，則另 一條邊長為多少米？ （ 2）設長方形的面積為 y平方米，寫出 y與 x之 間的關(guān)系式。 （ 3）若要使長方形的面積為 72平方米， x應取 多少米？ x (4)當 x為多少時，長方形的面積最大？ 某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出 20件，每 件盈利 40元。為了擴大銷售，商場決定采取適當?shù)慕?價措施。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價一元，商 場平均每天可多售出 2件。問每件襯衫降價多少元時， 商場平均每天盈利最多？最大盈利為多少？ 某跳水運動員進行 10米跳臺跳水訓練時 ， 身體 （ 看成一 點 ） 在空中的運動路線是如圖所示坐標系下經(jīng)過原點 O 的一條拋物線 ，
15、在跳某個規(guī)定動作時 ， 正常情況下 ， 該 運動員在空中的最高處距水面米 ， 入水處距池邊的距離 為 5米 ， 同時 ， 運動員在距水面 5米以前 ， 必須完成規(guī)定 的翻騰動作并調(diào)整好入水姿勢 ， 否則就會出現(xiàn)失誤 。 （ 1） 求這條拋物線的解析式； （ 2） 在 某次試跳中 ， 測 得運動員在空中的運動 路線是 （ 1） 中的拋物線 ， 且運動員在空中調(diào)整好 入水姿勢時 ， 距池邊的 水平距離為米 ， 問此次 跳水會不會失誤 ？ 并能 過計算說明理由 ？ O y A B x 10m 3m 跳 臺 支 柱 已知 二次函數(shù) 的圖象與 x 軸交
16、 于 A、 B兩點，與 y 軸交于 C點，頂點為 D點 . （ 1）求出拋物線的對稱軸和頂點坐標； （ 2）求出 A、 B、 C的坐標； （ 3）求 ACDB的 面積 . 542 xxy y x B O A C D 解析式 點 的坐標 線段長 面積 已知 拋物線 與 x 軸交于點 A（ 1, 0） 和 B（ 3， 0），與 y 軸交于點 C ， C在 y 軸的正半軸上， S ABC為 8. （ 1）求這個二次函數(shù)的解析式；（ 2）若拋 物線的頂點為 D，直線 C
17、D交 x 軸于 E. 則 x 軸 上方的拋 物線 上是否存在點 P ，使 S PBE=15 ？ cbxaxy 2 y A E O B C D x 面積 線段長 點的坐標 解析式 如 圖二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過 A 、 B、 C三點 ， （ 1） 觀察圖象 ， 寫出 A 、 B、 C三點的坐標 ， 并求出拋物 線解析式 ， （ 2） 求此拋物線的頂點坐標和對稱軸 （ 3）觀察圖象，當 x取何值時， y0? y x A B O -1 4 5 C 課后練習： 如 圖，已知正方形 ABCD的邊長為 4， E是 BC上的 點
18、， F是 CD上的點，且 EC=AF， EC=x， AEF的 面積為 y。 （ 1）求 y與 x之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量 x的取值范圍 ； （ 2）畫出函數(shù)的圖象。 E B C D A F 如 圖，在平面直角坐標系中， O為坐標原點， A點坐標為 ( 8, 0)， B點坐標為 (2, 0)，以 AB的 中點 P為圓心， AB為直徑作 P與 y軸的負半軸 交于點 C. (1)求圖象經(jīng)過 A、 B、 C三點的拋物線的解析 式 ； (2)設 M點為 (1)中拋物線的頂點，求出頂點 M的 坐標和直線 MC的解析式； (3)判定 (
19、2)中的直線 MC與 P的 位置關(guān)系，并說明理由 . A B C 0 P y x 課后訓練： 某瓜果基地市場部為指導該基地某種蔬菜的生產(chǎn) 和銷售，對今年這種蔬菜上市后的市場售價和生 產(chǎn)成本進行了預測，提供了兩方面的信息（如甲 乙兩圖）。其中生產(chǎn)成本六月份最低。甲圖的圖 象是線段，乙圖的圖象是拋物線。 5 3 3 6 售 價 3 4 1 6 成 本 月 份 月 份 請根據(jù)圖象提供的信息說明解決下列問題 ： （ 1）在三月份出售這種蔬菜，每千克的收益是多少？ （ 2）哪個月出售這種蔬菜，每千克的收益最大？最大收 益是多少？ 3 4 1 6 成 本 月 份 月 份 5 3 3 6 售 價
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