六年級(jí)數(shù)學(xué)教案《分?jǐn)?shù)的除法》

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1、 六年級(jí)數(shù)學(xué)教案——《分?jǐn)?shù)的除法》 根據(jù)量、度量單位（基準(zhǔn)量）與量數(shù)的基本關(guān)系： 量＝度量單位（基準(zhǔn)量）量數(shù)。 我們已經(jīng)知道：當(dāng) a、b 是自然數(shù)，且 b0 時(shí)，除法算式 ab 表示兩種意義： ⑴由量基準(zhǔn)量（度量單位）＝量數(shù)，可知： ab 可以表示 a 是 b 的幾倍或幾分之幾。這時(shí) a 與 b 表示兩個(gè)量。 ⑵由量量數(shù)＝基準(zhǔn)量（度量單位） ，可知： ab 可以表示什么 數(shù)的 b 倍等于 a，或者把 a 平均分成 b 份，每份是多少。這 時(shí) a 表示一個(gè)量， b 表示量數(shù)（用所求的量去度

2、量 a 所得的 結(jié)果）。 從實(shí)際問題抽象出來的除法算式 ab，究竟表示上述兩種意義 中的哪一種，必須結(jié)合具體情景才能來確定。 當(dāng) a、b 為分?jǐn)?shù)時(shí)，除法算式 ab 仍然具有上述兩種意義，但必須探索它的算法。分?jǐn)?shù)除法的算法分兩種情形來探索：一是除數(shù)是整數(shù)的情形；二是除數(shù)是分?jǐn)?shù)的情形。 一、除數(shù)是整數(shù)的分?jǐn)?shù)除法 下圖（圖 1）是一個(gè)長(zhǎng)方形，把它的涂色部分平均分成 2 份，每份是這個(gè)長(zhǎng)方形的幾分之幾？ 圖 1 我們可以從前面的分?jǐn)?shù)墻上直接看出這個(gè)結(jié)果。 但是，我們還需要探索，從算式 2 怎么算出結(jié)果呢？

3、 第 1 頁 算法 1： 2＝＝。 一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子縮小到原來的一半，分母不變，所得的分?jǐn)?shù) 就是原來的一半。 算法 2：因?yàn)榈囊话氲扔诘模裕? 2＝＝。 比較上面兩種算法，算法 1 有局限性，它轉(zhuǎn)化為兩個(gè)整數(shù)的 除法運(yùn)算，可是在整數(shù)范圍除法并非總能實(shí)施，暢通無阻。 如果圖 1 中的涂色部分平均分成 3 份，每份是這個(gè)長(zhǎng)方形的 幾分之幾？ 算式： 3＝？ 上面的算法 1 就行不通了，算法 2 行得通。 因?yàn)?3＝的，所以， 3＝＝。圖 2

4、 圖 2 中的斜線部分是長(zhǎng)方形的，也驗(yàn)證了上面的算法是正確的。 從以上的探索結(jié)果，可以產(chǎn)生一個(gè)猜想：除以一個(gè)整數(shù)（零除外）等于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。 這個(gè)猜想是否成立？有待檢驗(yàn)。 理解分?jǐn)?shù)除法的意義，還有另一條重要途徑。 在探索分?jǐn)?shù)乘法意義的時(shí)候，我們得到一個(gè)重要的數(shù)量關(guān)系： 量＝度量單位量數(shù) 第 2 頁 從這個(gè)基本關(guān)系可以引伸出兩個(gè)變式： 量量數(shù)＝度量單位， 或量度量單位＝量數(shù)。 因此，對(duì)于除法算式 3＝？的意義，可以作這樣解釋：用什 么數(shù)為度量單位去度量時(shí)，量數(shù)

5、是 3？于是便有下面的代數(shù)解法： 設(shè) 3＝ x， 可得， 3x＝， x＝， x＝。 即 3＝。 在圖 2 中，用斜線部分（即）為度量單位去度量涂色部分 （即）時(shí)，量數(shù)的確是 3。這里，我們又看到了，代數(shù)的方法與圖形的直觀相互印證，和諧統(tǒng)一。 代數(shù)在解法的過程中，注意到 3＝ x 和 x＝， 得 3＝。 這也驗(yàn)證了一個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)：除以一個(gè)自然數(shù)（零除外）等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。 二、除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法 這個(gè)探索其實(shí)不必再?gòu)木唧w情景或?qū)嶋H操作入手。 因?yàn)榍懊嬖谔剿鞒龜?shù)是整數(shù)的分?jǐn)?shù)除法的時(shí)

6、候，已經(jīng)獲得了重要的數(shù)學(xué)事實(shí)：除以一個(gè)自然數(shù)（零除外）等于乘這個(gè)數(shù) 第 3 頁 的倒數(shù)。因此，可以類比，得到猜想：除以一個(gè)分?jǐn)?shù)是否等 于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)呢？ 驗(yàn)證這個(gè)猜想，除了教材提供的方法外，還有其他途徑。 途徑 1：用代數(shù)方法檢驗(yàn)。 計(jì)算： 8＝？ 設(shè) 8＝ x， 可得， x＝ 8， x＝ 8， x＝ 12。 注意到 8＝ x 和 x＝ 8，即 8＝ 8。 途徑 2：從已知到未知的推理。 8＝ 8（ 1） ＝ 8 根據(jù)倒數(shù)關(guān)系：＝ 1 ＝ 12。 因此，無論除數(shù)是整數(shù)還是分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)除法只有如下法則： 除以一個(gè)數(shù)（零除外）等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。 這個(gè)法則也告訴我們，倒數(shù)概念的重要性：有了倒數(shù)，乘法和除法兩種不同的運(yùn)算可以統(tǒng)一為乘法運(yùn)算。 第 4 頁