高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第6節(jié) 雙曲線練習(xí) 新人教A版

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1、 第八章 第6節(jié) 雙曲線 [基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練] 1．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577755)雙曲線x2－my2＝1的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的2倍，則m＝(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C．2 D．4 解析：D　[雙曲線的方程可化為x2－＝1，∴實(shí)軸長(zhǎng)為2，虛軸長(zhǎng)為2， ∴2＝2，解得m＝4.] 2．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577756)(2018·天津市十二區(qū)縣一模)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左頂點(diǎn)與拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－2)，則雙曲線的焦距為(　　) A．6 B．3 C．6 D．3

2、解析：A　[根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－2)，即點(diǎn)(－1，－2)在拋物線的準(zhǔn)線上，則p＝2，則拋物線的焦點(diǎn)為(1,0)；則雙曲線的左頂點(diǎn)為(－3,0)，即a＝3；點(diǎn)(－1，－2)在雙曲線的漸近線上，則其漸近線方程為y＝±2x，由雙曲線的性質(zhì)，可得b＝6；則c＝＝3，則焦距為2c＝6.故選A.] 3．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577757)(2016·高考新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：－＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝，則E的離心率為(　　) A. B. C. D．2 解析：A　[設(shè)|MF1|

3、＝x，則|MF2|＝2a＋x. ∵M(jìn)F1與x軸垂直，∴(2a＋x)2＝x2＋4c2，∴x＝. ∵sin∠MF2F1＝，∴3x＝2a＋x，∴x＝a，∴＝a， ∴a＝b，∴c＝a，∴e＝＝.故選A.] 4．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577758)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線均和圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：A　[圓心的坐標(biāo)是(3,0)，圓的半徑是2，雙曲線的漸近線方程是bx±ay＝0，根據(jù)已知得＝2，即＝2，解得b＝2，則a2＝3

4、2－22＝5，故所求的雙曲線方程是－＝1.] 5．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577759)(2018·佳木斯市三模)橢圓C：＋＝1與雙曲線E：－＝1(a，b>0)有相同的焦點(diǎn)，且兩曲線的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線漸近線的傾斜角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：D　[橢圓C：＋＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)(±1,0)，離心率為. 雙曲線E：－＝1(a，b>0)的焦點(diǎn)(±1,0)，c＝1，雙曲線的離心率為2. 可知a＝，則b＝，雙曲線漸近線y＝±x的傾斜角的正弦值為.故選D.] 6．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577760)(2018·邯鄲市一

5、模)已知點(diǎn)A(a,0)，點(diǎn)P是雙曲線C：－y2＝1右支上任意一點(diǎn)，若|PA|的最小值為3，則a＝　________　. 解析：設(shè)P(x，y)(x≥2)，則|PA|2＝(x－a)2＋y2 ＝2＋a2－1. a＞0時(shí)，x＝a，|PA|的最小值為a2－1＝3， ∴a＝2； a＜0時(shí)，2－a＝3，∴a＝－1. 答案：－1或2 7．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577761)(2016·高考北京卷)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)，若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則a＝　________　. 解析：取B為雙曲線右焦點(diǎn)，如圖所示．

6、 ∵四邊形OABC為正方形且邊長(zhǎng)為2， ∴c＝|OB|＝2， 又∠AOB＝，∴＝tan ＝1，即a＝b. 又a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2. 答案：2 8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577762)(2016·高考浙江卷)設(shè)雙曲線x2－＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若點(diǎn)P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是　________　. 解析：如圖，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，從而|F1F2|＝4，由對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在右支上，設(shè)|PF2|＝m，則|PF1|＝m＋2a＝m＋2， 由于△PF1F2為銳角三角形， 結(jié)合實(shí)際意義需滿足 解得

7、－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2， ∴2＜2m＋2＜8. 答案：(2，8) 9．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577763)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，橢圓的長(zhǎng)半軸與雙曲線半實(shí)軸之差為4，離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程； (2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cos∠F1PF2的值． 解析：(1)由已知：c＝，設(shè)橢圓長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別為a，b，雙曲線半實(shí)、虛軸長(zhǎng)分別為m，n， 則 解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2. ∴橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1. (2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，P是第一象

8、限的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|＝14， |PF1|－|PF2|＝6， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝4. 又|F1F2|＝2， ∴cos∠F1PF2＝ ＝＝. 10．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577764)已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過(guò)點(diǎn)P(4，－)． (1)求雙曲線方程； (2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：1·2＝0； (3)求△F1MF2的面積． 解：(1)∵e＝，∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ. ∵過(guò)點(diǎn)P(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴雙曲線方程為－＝1. (2)證明：法一　由(1)可知，雙曲線中a＝

9、b＝， ∴c＝2，∴F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)． ∴kMF1＝，kMF2＝. kMF1·kMF2＝＝－. ∵點(diǎn)(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3； 故kMF1·kMF2＝－1.∴MF1⊥MF2. ∴1·2＝0. 法二　∵1＝(－3－2，－m)， 2＝(2－3，－m)， ∴1·2＝(3＋2)×(3－2)＋m2 ＝－3＋m2.∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴9－m2＝6， 即m2－3＝0.∴1·2＝0. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝4， △F1MF2的高h(yuǎn)＝|m|＝，∴S△F1MF2＝6. [能力

10、提升練] 11．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577765)(2018·濰坊市三模)已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的左右焦點(diǎn)F1、F2，P為橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)的一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)橢圓C1與雙曲線C2的離心率為e1，e2，且＝，若∠F1PF2＝，則雙曲線C2的漸近線方程為(　　) A．x±y＝0 B．x±y＝0 C．x±y＝0 D．x±2y＝0 解析：C　[設(shè)橢圓C1的方程＋＝1(a1＞b1＞0)，雙曲線C2的方程－＝1(a2＞0，b2＞0)，焦點(diǎn)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)． 由e1＝，e2＝，由＝，則＝，則a1＝3a2. 由題意：

11、|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2， 則|PF1|＝a1＋a2＝4a2，|PF2|＝a1－a2＝2a2. 由余弦定理可知：|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2，則(2c)2＝(4a2)2＋(2a2)2－2×4a2×2a2×， c2＝3a，b＝c2－a＝2a，則b2＝a2， 雙曲線的漸近線方程y＝±x＝±x，即x±y＝0.故選C.] 12．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577766)(2018·濱州市一模)已知雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)為

12、A，拋物線C：y2＝8ax的焦點(diǎn)為F，若在E的漸近線上存在點(diǎn)P使得PA⊥FP，則E的離心率的取值范圍是(　　) A．(1,2) B. C．(2，＋∞) D. 解析：B　[雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A(a,0)，拋物線C：y2＝8ax的焦點(diǎn)為F(2a,0)，雙曲線的漸近線方程為y＝±x，可設(shè)P， 即有＝(m－a，m)，＝(m－2a，m)． 由PA⊥FP，即為⊥，可得·＝0， 即為(m－a)(m－2a)＋m2＝0， 化為m2－3ma＋2a2＝0，由題意可得Δ＝9a2－4·2a2≥0，即有a2≥8b2＝8(c2－a2)

13、，即8c2≤9a2，則e＝≤. 由e＞1，可得1＜e≤.故選B.] 13．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577767)(2018·吳忠市模擬)已知雙曲線C：－y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F2的直線與雙曲線C的右支相交于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則△PF1Q的周長(zhǎng)為　________　. 解析：由雙曲線C：－y2＝1，得a＝，b＝1， ∴c＝＝2，則F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)． 由于點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則PQ⊥x軸， 令x＝2，有y2＝－1＝， 即y＝±，則|PF2|＝， |PF1|＝2a＋|PF2|＝2＋＝， 則△PF1Q的周長(zhǎng)為|PF1|＋|QF1

14、|＋|PQ|＝＋＋＝. 答案： 14．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577768)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)． (1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程； (2)以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過(guò)A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率． 解：(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±x，∴a＝b， ∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2， ∴雙曲線方程為－＝1. (2)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)， 則直線AO的斜率滿足·(－)＝－1， ∴x0＝y(tǒng)0.① 依題意，圓的方程為x

15、2＋y2＝c2， 將①代入圓的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c， ∴x0＝c， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2.② 由a2＋b2＝c2，得b2＝c2－a2代入②式，整理得 c4－2a2c2＋a4＝0， ∴34－82＋4＝0， ∴(3e2－2)(e2－2)＝0.∵e>1，∴e＝， ∴雙曲線的離心率為. 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。