高考數(shù)學一輪復(fù)習 第八章 解析幾何 第6節(jié) 雙曲線練習 新人教A版

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1、 第八章 第6節(jié) 雙曲線 [基礎(chǔ)對點練] 1.(導學號14577755)雙曲線x2-my2=1的實軸長是虛軸長的2倍,則m=(  ) A.            B. C.2 D.4 解析:D [雙曲線的方程可化為x2-=1,∴實軸長為2,虛軸長為2, ∴2=2,解得m=4.] 2.(導學號14577756)(2018·天津市十二區(qū)縣一模)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左頂點與拋物線y2=2px(p>0)的焦點的距離為4,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(-1,-2),則雙曲線的焦距為(  ) A.6 B.3 C.6 D.3

2、解析:A [根據(jù)題意,雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線的交點坐標為(-1,-2),即點(-1,-2)在拋物線的準線上,則p=2,則拋物線的焦點為(1,0);則雙曲線的左頂點為(-3,0),即a=3;點(-1,-2)在雙曲線的漸近線上,則其漸近線方程為y=±2x,由雙曲線的性質(zhì),可得b=6;則c==3,則焦距為2c=6.故選A.] 3.(導學號14577757)(2016·高考新課標全國卷Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線E:-=1的左、右焦點,點M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=,則E的離心率為(  ) A. B. C. D.2 解析:A [設(shè)|MF1|

3、=x,則|MF2|=2a+x. ∵MF1與x軸垂直,∴(2a+x)2=x2+4c2,∴x=. ∵sin∠MF2F1=,∴3x=2a+x,∴x=a,∴=a, ∴a=b,∴c=a,∴e==.故選A.] 4.(導學號14577758)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C:x2+y2-6x+5=0相切,且雙曲線的右焦點為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:A [圓心的坐標是(3,0),圓的半徑是2,雙曲線的漸近線方程是bx±ay=0,根據(jù)已知得=2,即=2,解得b=2,則a2=3

4、2-22=5,故所求的雙曲線方程是-=1.] 5.(導學號14577759)(2018·佳木斯市三模)橢圓C:+=1與雙曲線E:-=1(a,b>0)有相同的焦點,且兩曲線的離心率互為倒數(shù),則雙曲線漸近線的傾斜角的正弦值為(  ) A. B. C. D. 解析:D [橢圓C:+=1的焦點坐標(±1,0),離心率為. 雙曲線E:-=1(a,b>0)的焦點(±1,0),c=1,雙曲線的離心率為2. 可知a=,則b=,雙曲線漸近線y=±x的傾斜角的正弦值為.故選D.] 6.(導學號14577760)(2018·邯鄲市一

5、模)已知點A(a,0),點P是雙曲線C:-y2=1右支上任意一點,若|PA|的最小值為3,則a= ________ . 解析:設(shè)P(x,y)(x≥2),則|PA|2=(x-a)2+y2 =2+a2-1. a>0時,x=a,|PA|的最小值為a2-1=3, ∴a=2; a<0時,2-a=3,∴a=-1. 答案:-1或2 7.(導學號14577761)(2016·高考北京卷)雙曲線-=1(a>0,b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點B為該雙曲線的焦點,若正方形OABC的邊長為2,則a= ________ . 解析:取B為雙曲線右焦點,如圖所示.

6、 ∵四邊形OABC為正方形且邊長為2, ∴c=|OB|=2, 又∠AOB=,∴=tan =1,即a=b. 又a2+b2=c2=8,∴a=2. 答案:2 8.(導學號14577762)(2016·高考浙江卷)設(shè)雙曲線x2-=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,若點P在雙曲線上,且△F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是 ________ . 解析:如圖,由已知可得a=1,b=,c=2,從而|F1F2|=4,由對稱性不妨設(shè)點P在右支上,設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=m+2a=m+2, 由于△PF1F2為銳角三角形, 結(jié)合實際意義需滿足 解得

7、-1+<m<3,又|PF1|+|PF2|=2m+2, ∴2<2m+2<8. 答案:(2,8) 9.(導學號14577763)中心在原點,焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=2,橢圓的長半軸與雙曲線半實軸之差為4,離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程; (2)若P為這兩曲線的一個交點,求cos∠F1PF2的值. 解析:(1)由已知:c=,設(shè)橢圓長、短半軸長分別為a,b,雙曲線半實、虛軸長分別為m,n, 則 解得a=7,m=3.∴b=6,n=2. ∴橢圓方程為+=1,雙曲線方程為-=1. (2)不妨設(shè)F1、F2分別為左、右焦點,P是第一象

8、限的一個交點,則|PF1|+|PF2|=14, |PF1|-|PF2|=6, 所以|PF1|=10,|PF2|=4. 又|F1F2|=2, ∴cos∠F1PF2= ==. 10.(導學號14577764)已知雙曲線的中心在原點,焦點F1、F2在坐標軸上,離心率為,且過點P(4,-). (1)求雙曲線方程; (2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證:1·2=0; (3)求△F1MF2的面積. 解:(1)∵e=,∴可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ. ∵過點P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6. ∴雙曲線方程為-=1. (2)證明:法一 由(1)可知,雙曲線中a=

9、b=, ∴c=2,∴F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0). ∴kMF1=,kMF2=. kMF1·kMF2==-. ∵點(3,m)在雙曲線上,∴9-m2=6,m2=3; 故kMF1·kMF2=-1.∴MF1⊥MF2. ∴1·2=0. 法二 ∵1=(-3-2,-m), 2=(2-3,-m), ∴1·2=(3+2)×(3-2)+m2 =-3+m2.∵M點在雙曲線上,∴9-m2=6, 即m2-3=0.∴1·2=0. (3)△F1MF2的底|F1F2|=4, △F1MF2的高h=|m|=,∴S△F1MF2=6. [能力

10、提升練] 11.(導學號14577765)(2018·濰坊市三模)已知橢圓C1與雙曲線C2有相同的左右焦點F1、F2,P為橢圓C1與雙曲線C2在第一象限內(nèi)的一個公共點,設(shè)橢圓C1與雙曲線C2的離心率為e1,e2,且=,若∠F1PF2=,則雙曲線C2的漸近線方程為(  ) A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±y=0 D.x±2y=0 解析:C [設(shè)橢圓C1的方程+=1(a1>b1>0),雙曲線C2的方程-=1(a2>0,b2>0),焦點F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0). 由e1=,e2=,由=,則=,則a1=3a2. 由題意:

11、|PF1|+|PF2|=2a1,|PF1|-|PF2|=2a2, 則|PF1|=a1+a2=4a2,|PF2|=a1-a2=2a2. 由余弦定理可知:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2,則(2c)2=(4a2)2+(2a2)2-2×4a2×2a2×, c2=3a,b=c2-a=2a,則b2=a2, 雙曲線的漸近線方程y=±x=±x,即x±y=0.故選C.] 12.(導學號14577766)(2018·濱州市一模)已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的右頂點為

12、A,拋物線C:y2=8ax的焦點為F,若在E的漸近線上存在點P使得PA⊥FP,則E的離心率的取值范圍是(  ) A.(1,2) B. C.(2,+∞) D. 解析:B [雙曲線E:-=1(a>0,b>0)的右頂點為A(a,0),拋物線C:y2=8ax的焦點為F(2a,0),雙曲線的漸近線方程為y=±x,可設(shè)P, 即有=(m-a,m),=(m-2a,m). 由PA⊥FP,即為⊥,可得·=0, 即為(m-a)(m-2a)+m2=0, 化為m2-3ma+2a2=0,由題意可得Δ=9a2-4·2a2≥0,即有a2≥8b2=8(c2-a2)

13、,即8c2≤9a2,則e=≤. 由e>1,可得1<e≤.故選B.] 13.(導學號14577767)(2018·吳忠市模擬)已知雙曲線C:-y2=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過點F2的直線與雙曲線C的右支相交于P、Q兩點,且點P的橫坐標為2,則△PF1Q的周長為 ________ . 解析:由雙曲線C:-y2=1,得a=,b=1, ∴c==2,則F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0). 由于點P的橫坐標為2,則PQ⊥x軸, 令x=2,有y2=-1=, 即y=±,則|PF2|=, |PF1|=2a+|PF2|=2+=, 則△PF1Q的周長為|PF1|+|QF1

14、|+|PQ|=++=. 答案: 14.(導學號14577768)已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0). (1)若雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2,求雙曲線的方程; (2)以原點O為圓心,c為半徑作圓,該圓與雙曲線在第一象限的交點為A,過A作圓的切線,斜率為-,求雙曲線的離心率. 解:(1)∵雙曲線的漸近線為y=±x,∴a=b, ∴c2=a2+b2=2a2=4,∴a2=b2=2, ∴雙曲線方程為-=1. (2)設(shè)點A的坐標為(x0,y0), 則直線AO的斜率滿足·(-)=-1, ∴x0=y(tǒng)0.① 依題意,圓的方程為x

15、2+y2=c2, 將①代入圓的方程得3y+y=c2,即y0=c, ∴x0=c, ∴點A的坐標為,代入雙曲線方程得-=1,即b2c2-a2c2=a2b2.② 由a2+b2=c2,得b2=c2-a2代入②式,整理得 c4-2a2c2+a4=0, ∴34-82+4=0, ∴(3e2-2)(e2-2)=0.∵e>1,∴e=, ∴雙曲線的離心率為. 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式,改變粗放式增長模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu),實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進新型城鎮(zhèn)化,推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。

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