中考數(shù)學全程演練:第46課時 二次函數(shù)綜合型問題

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1、2019 屆數(shù)學中考復習資料 第 46 課時 二次函數(shù)綜合型問題 (50 分) 一、選擇題(每題 10 分,共 10 分) 12015 嘉興如圖 461,拋物線 yx22xm1 交x 軸于點 A(a,0)和 B(b,0),交 y 軸于點 C,拋物線的頂點為 D.下列四個判斷:當 x0 時,y0;若 a1,則 b4;拋物線上有兩點 P(x1,y1)和 Q(x2,y2)若 x112,則 y1y2;點 C 關于拋物線對稱軸的對稱點為E,點G,F(xiàn)分別在x軸和y軸上,當m2 時,四邊形 EDFG周長最小值為6 2.其中正確判斷的序號是 (C) A B C D 【解析】 根據(jù)二次函數(shù)所作象限,判斷出 y

2、的符號; 根據(jù) A,B 關于對稱軸對稱,求出 b 的值; 根據(jù)x1x221,得到x11x2,從而得到Q點距離對稱軸較遠,進而判斷出 y1y2; 作 D 關于 y 軸的對稱點 D,E 關于 x 軸的對稱點 E,連結 DE,DE與DE的和即為四邊形EDFG周長的最小值求出D,E,D,E的坐標即可解答 二、填空題(每題 10 分,共 10 分) 圖 461 22015 衢州如圖 462,已知直線 y34x3 分別交 x 軸,y 軸于點 A,B,P 是拋物線 y12x22x5 上一個動點,其橫坐標是 a,過點 P 且平行 y 軸的直線交直線 y34x3 于點 Q,則 PQBQ 時,a 的值是_4,1,

3、42 5或 42 5_. 【解析】 P 點橫坐標為 a,因為 P 點在拋物線 y12x22x5 上,所以 P點坐標為a,12a22a5 ,又 PQy 軸,且 Q 點在函數(shù) y34x3 上,所以點 Q 坐標為a,34a3 ,B點 坐 標 為 (0 , 3) , 根 據(jù) 平 面 內 兩 點 間 的 距 離 公 式 , 可 得 PQ 12a2114a22,BQa234a2,根據(jù)題意,PQBQ,所以 12a2114a22a234a2,解得 a 的值分別為1,4,42 5或42 5. 三、解答題(共 30 分) 3(15 分)2014 內江改編如圖 463,拋物線 yax2bxc 經過點 A(3,0),

4、C(0,4),點 B 在拋物線上,CBx 軸且 AB 平分CAO. (1)求拋物線的解析式; (2)線段 AB 上有一動點 P,過 P 作 y 軸的平行線,交拋物線于點 Q,求線段PQ 的最大值 解:(1)A(3,0),C(0,4), AC5, AB 平分CAO, CABBAO, CBx 軸,CBABAO, 圖 462 圖 463 CABCBA, ACBC5,B(5,4), A(3,0),C(0,4),B(5,4)代入 yax2bxc 得 09a3bc,4c,425a5bc,解得a16,b56,c4. 所以 y16x256x4; (2)設 AB 的解析式為 ykxb,把 A(3,0),B(5,

5、4)代入得03kb,45kb,解得k12,b32, 直線 AB 的解析式為 y12x32; 可設 Px,12x32,Qx,16x256x4 , 則 PQ16x256x412x3216(x1)283,當x1時,PQ 最大,且最大值為83. 4(15分)2015 福州改編如圖464,拋物線yx24x與x軸交于O,A兩點,P 為拋物線上一點,過點 P 的直線 yxm 與對稱軸交于點 Q. (1)這條拋物線的對稱軸是_x2_;直線 PQ 與 x 軸所夾銳角的度數(shù)是_45_; (2)若兩個三角形面積滿足 SPOQ13SPAQ,求 m 的值 解:(2)設直線 PQ 交 x 軸于點 B,分別過點 O,A 作

6、 PQ 的垂線,垂足分別為E,F(xiàn). 當點 B 在 OA 的延長線上時,顯然 SPOQ13SPAQ不成立 如答圖所示, 第 3 題答圖 當點 B 落在線段 OA 上時,SPOQSPAQOEAF13, 由OBEABF,得OBABOEAF13, AB3OB. OB14OA. 由 yx24x 得點 A(4,0), OB1, B(1,0) 1m0,m1; 如答圖所示, 當點 B 落在線段 AO 的延長線上時, SPOQSPAQOEAF13, 由OBEABF,得OBABOEAF13, AB3OB. OB12OA. 由 yx24x 得點 A(4,0), OB2, B(2,0) 2m0, m2. 綜上所述,當

7、 m1 或 2 時,SPOQ13SPAQ. (30 分) 5(15 分)2015 株洲如圖 465,已知拋物線的表達式為 yx26xc. (1)若拋物線與 x 軸有交點,求 c 的取值范圍; (2)設拋物線與 x 軸兩個交點的橫坐標分別為 x1,x2,圖 464 第 4 題答圖 第 4 題答圖 圖 465 若 x21x2226,求 c 的值; (3)若P,Q是拋物線上位于第一象限的不同兩點,PA,QB都垂直于x軸,垂足分別為 A,B,且OPA 與OQB 全等,求證:c214. 解:(1)yx26xc 與 x 軸有交點, x26xc0 有實數(shù)根, b24ac0, 即 624(1)c0, 解得 c

8、9; (2)x26xc0 有解,且 x21x2226, c9,(x1x2)22x1x226, 即6122c126, 解得 c5; (3)設 P 的坐標為(m,n),則 Q 點坐標為(n,m),且 m0,n0,mn, 將這兩個點的坐標代入方程得 m26mcn,n26ncm, 得 n2m27(mn)0, (mn)(mn7)0, mn7, n7m, 代入方程得, m27m(c7)0, 存在這樣的點,以上方程有解, 724(1)(c7)0, 解得 c214, 而當 c214時,m72,此時 n72, 故 c214. 6(15 分)2015 溫州如圖 466 拋物線 yx26x 交 x 軸正半軸于點 A

9、,頂點為 M,對稱軸 MB 交 x 軸于點 B,過點C(2,0)作射線 CD 交 MB 于點 D(D 在 x 軸上方),OECD交 MB 于點 E,EFx 軸交 CD 的延長線于點 F,作直線 MF. (1)求點 A,M 的坐標; (2)當 BD 為何值時,點 F 恰好落在該拋物線上? (3)當 BD1 時, 求直線 MF 的解析式,并判斷點 A 是否落在該直線上; 延長 OE交FM于點G,取CF中點P,連結PG,F(xiàn)PG,四邊形 DEGP,四邊形 OCDE 的面積分別記為 S1,S2,S3,則 S1S2S3_348_. 解:(1)令 y0,則x26x0,解得 x10,x26,A(6,0),對稱

10、軸是直線 x3,M(3,9); (2)OECF,OCEF,C(2,0), EFOC2,BC1, 點 F 的橫坐標為 5, 點 F 落在拋物線 yx26x 上, F(5,5),BE5.BDDECBOC12, DE2BD,BE3BD,BD53; (3)當 BD1 時,BE3,F(xiàn)(5,3) 設 MF 的解析式為 ykxb,將 M(3,9),F(xiàn)(5,3)代入, 得93kb,35kb,解得k3,b18, y3x18. 當 x6 時,y36180,點 A 落在直線MF 上; 圖 466 第 6 題答圖 BD1,BC1, BDC 為等腰直角三角形, OBE 為等腰直角三角形, CD 2,CFOE3 2, D

11、P122,PF322, 根據(jù)MF及OE的解析式求得點G的坐標為92,92,作GNEF交EF于點N,則ENGN32,所以EG322,SFPG,S梯形DEGP,S梯形OCDE的高相等,所以三者面積比等于底之比, 故 SFPGS梯形DEGPS梯形OCDE PF(DPEG)(DCOE) 32212322(31) 2 3224348. (20 分) 7(20 分)2015 成都如圖 467,在平面直角坐標系 xOy 中,拋物線 yax22ax3a(a0)與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側),經過點A的直線l:ykxb與y軸負半軸交于點C,與拋物線的另一個交點為D,且CD4AC. 圖 467 備用圖

12、(1)直接寫出點 A 的坐標,并求直線 l 的函數(shù)表達式(其中 k,b 用含 a 的式子表示); (2)點 E 是直線 l 上方的拋物線上的動點,若ACE 的面積的最大值為54,求 a的值; (3)設P是拋物線的對稱軸上的一點,點Q在拋物線上,以點A,D,P,Q為頂點的四邊形能否成為矩形?若能,求出點 P 的坐標;若不能,請說明理由 解:(1)令 ax22ax3a0, 解得 x11,x23, A 點坐標為(1,0); 直線 l 經過點 A,0kb,bk, ykxk, 令 ax22ax3akxk,即 ax2(2ak)x3ak0, CD4AC,點 D 的橫坐標為 4, 3ka14,ka, 直線 l

13、 的函數(shù)表達式為 yaxa; (2)如答圖,過點 E 作 EFy 軸,交直線 l 于點 F, 設 E(x,ax22ax3a),則 F(x,axa), EFax22ax3a(axa)ax23ax4a, SACESAFESCFE12(ax23ax4a)(x1)12(ax23ax4a)x12(ax23ax4a)12ax322258a, ACE 的面積的最大值為258a. ACE 的面積的最大值為54, 258a54,解得 a25; (3)令 ax22ax3aaxa, 即 ax23ax4a0, 解得 x11,x24, D(4,5a), yax22ax3a,拋物線的對稱軸為 x1, 設 P(1,m),

14、如答圖,若 AD 是矩形的一條邊,則 Q(4,21a), 第 7 題答圖 m21a5a26a,則 P(1,26a), 四邊形 ADPQ 為矩形,ADP90, AD2PD2AP2, 52(5a)2(14)2(26a5a)2(11)2(26a)2, 即 a217,a0,a77, P11,26 77; 第 7 題答圖 如答圖,若 AD 是矩形的一條對角線, 則線段 AD 的中點坐標為32,5a2,Q(2,3a), m5a(3a)8a,則 P(1,8a), 四邊形 APDQ 為矩形,APD90, AP2PD2AD2, (11)2(8a)2(14)2(8a5a)252(5a)2, 即 a214,a0,a12, P2(1,4), 綜上所述,以點 A,D,P,Q 為頂點的四邊形能成為矩形,點 P 的坐標為1,26 77或(1,4)

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