《精修版高中數(shù)學人教A版選修44教學案： 第二講 第4節(jié) 漸開線與擺線 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《精修版高中數(shù)學人教A版選修44教學案： 第二講 第4節(jié) 漸開線與擺線 Word版含答案（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 核心必知 1漸開線的概念及產(chǎn)生過程 把一條沒有彈性的細繩繞在一個圓盤上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切， 逐漸展開， 鉛筆畫出的曲線叫做圓的漸開線， 相應的定圓叫做漸開線的基圓 2擺線的概念及產(chǎn)生過程 圓的擺線就是一個圓沿著一條定直線無滑動地滾動時圓周上一個定點的軌跡， 圓的擺線又叫旋輪線 3圓的漸開線和擺線的參數(shù)方程 (1)圓的漸開線方程：xr（cos sin ），yr（sin cos ）( 為參數(shù)) (2)擺線的參數(shù)方程：xr（sin ），yr（1cos ）( 為參數(shù)) 問題思考 1
2、漸開線方程中，字母 r 和參數(shù) 的幾何意義是什么？ 提示：字母 r 是指基圓的半徑，參數(shù) 是指繩子外端運動時繩子上的定點 M 相對于圓心的張角 2擺線的參數(shù)方程中，字母 r 和參數(shù) 的幾何意義是什么？ 提示：字母 r 是指定圓的半徑， 參數(shù) 是指圓上定點相對于某一定點運動所張開的角度大小 求半徑為 4 的圓的漸開線的參數(shù)方程 精講詳析 本題考查圓的漸開線的參數(shù)方程的求法，解答本題需要搞清圓的漸開線的參數(shù)方程的一般形式，然后將相關字母的取值代入即可 以圓心為原點 O，繩端點的初始位置為 M0，向量的方向為 x 軸正方向，建立坐標系，設漸開線上的任意點 M(x，y)，繩拉直時和圓的切點為 A，故
3、OAAM，按漸開線定義，弧AM0的長和線段 AM 的長相等，記和 x 軸正向所夾的角為 (以弧度為單位)，則|AM|AM04 作 AB 垂直于 x 軸，過 M 點作 AB 的垂線，由三角和向量知識，得(4cos ，4sin )， 由幾何知識知MAB，(4sin ，4cos )， 得 (4cos 4sin ，4sin 4cos ) (4(cos sin )，4(sin cos ) 又(x，y)，因此有x4（cos sin ），y4（sin cos ）， 這就是所求圓的漸開線的參數(shù)方程 解決此類問題的關鍵是根據(jù)漸開線的形成過程， 將問題歸結到用向量知識和三角的有關知識建立等式關系上 用向量方法建立
4、運動軌跡曲線的參數(shù)方程的過程和步驟： (1)建立合適的坐標系，設軌跡曲線上的動點為 M(x，y) (2)取定運動中產(chǎn)生的某一角度為參數(shù) (3)用三角、幾何知識寫出相關向量的坐標表達式 (4)用向量運算得到的坐標表達式，由此得到軌跡曲線的參數(shù)方程 1基圓直徑為 10，求其漸開線的參數(shù)方程 解：取 為參數(shù)，為基圓上點與原點的連線與 x 軸正方向的夾角 直徑為 10，半徑 r5. 代入圓的漸開線的參數(shù)方程得：x5（cos sin ），y5（sin cos ）， 這就是所求的圓的漸開線的參數(shù)方程 求半徑為 2 的圓的擺線的參數(shù)方程(如圖所示，開始時定點 M 在原點 O 處，取圓滾動時轉過的角度 ，(以
5、弧度為單位)為參數(shù)) 精講詳析 本題考查圓的擺線的參數(shù)方程的求法解答本題需要搞清圓的擺線的參數(shù)方程的一般形式，然后將相關數(shù)據(jù)代入即可 當圓滾過 角時，圓心為點 B，圓與 x 軸的切點為 A，定點 M 的位置如圖所示，ABM. 由于圓在滾動時不滑動，因此線段 OA 的長和圓弧AM的長相等，它們的長都等于 2，從而 B 點坐標為(2，2) 向量(2，2)， 向量(2sin ，2cos )，(2sin ，2cos )， (22sin ，22cos ) (2(sin )，2(1cos ) 動點 M 的坐標為(x，y)，向量(x，y) 所以x2（sin ），y2（1cos ）. 這就是所求擺線的參數(shù)方程
6、 2圓的半徑為 r，沿 x 軸正向滾動，圓與 x 軸相切于原點 O.圓上點 M 起始處沿順時針已偏轉 角試求點 M 的軌跡方程 解：xMr r cos ()2rsin ()， yMrr sin (2) r1cos () 點 M 的參數(shù)方程為 xrsin （），yr1cos （）.( 為參數(shù)) 設圓的半徑為 8，沿 x 軸正向滾動，開始時圓與 x 軸相切于原點 O，記圓上動點為 M，它隨圓的滾動而改變位置，寫出圓滾動一周時 M 點的軌跡方程，畫出相應曲線，求此曲線上點的縱坐標 y 的最大值，說明該曲線的對稱軸 精講詳析 本題考查擺線的參數(shù)方程的求法及應用解答本題需要先分析題意，搞清M 點的軌跡的
7、形狀，然后借助圖象求得最值 軌跡曲線的參數(shù)方程為x8（tsin t），y8（1cos t），(0t2) 即 t時，即 x8時，y 有最大值 16. 曲線的對稱軸為 x8. 擺線的參數(shù)方程是三角函數(shù)的形式，可考慮其性質與三角函數(shù)的性質有類似的地方 3當 2、時，求出漸開線xcos sin ，ysin cos 上對應的點 A、B，并求出 A、B 間的距離 解：將 2代入xcos sin ，ysin cos ， 得 xcos 22sin 2022， ysin 22cos 21. A(2，1) 將 ，代入xcos sin ，ysin cos ， 得 xcos sin 1，ysin cos . B(1，
8、) |AB|（21）2（1）2 5422. 本課時考點是圓的漸開線或擺線的參數(shù)方程的應用， 近幾年的高考題中還未出現(xiàn)過 本考題以填空題的形式對圓的擺線的參數(shù)方程的應用進行了考查，屬低檔題 考題印證 擺線xtsin t，y1cos t(0t2)與直線 y1 的交點的直角坐標為_ 命題立意 本題主要考查擺線方程及其參數(shù)的幾何意義 解析 由題設得 11cos t，解得 t12，t232. 對應交點的坐標為x121，y11，x2321，y21， 交點為(21，1)，(321，1) 答案：(21，1)，(321，1) 一、選擇題 1關于漸開線和擺線的敘述，正確的是( ) A只有圓才有漸開線 B漸開線和擺
9、線的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才能得到不同的圖形 C正方形也可以有漸開線 D對于同一個圓，如果建立的直角坐標系的位置不同，畫出的漸開線形狀就不同 解析：選 C 本題主要考查漸開線和擺線的基本概念不僅圓有漸開線，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開線，漸開線和擺線的定義雖然從字面上有相似之處，但是它們的實質是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同對于同一個圓不論在什么地方建立直角坐標系，畫出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標系中的位置可能不同 2.r5（sin ），y5（1cos ）( 為參數(shù))表示的是( ) A半徑為 5 的圓的漸開線的參數(shù)方程 B半徑為 5 的圓的
10、擺線的參數(shù)方程 C直徑為 5 的圓的漸開線的參數(shù)方程 D直徑為 5 的圓的擺線的參數(shù)方程 解析：選 B 根據(jù)圓的漸開線與擺線的參數(shù)方程可知 B 正確 3 已知一個圓的參數(shù)方程為x3cos ，y3sin ( 為參數(shù))， 那么圓的擺線方程中參數(shù)取2對應的點 A 與點 B32，2 之間的距離為( ) A.21 B. 2 C. 10 D. 321 解析：選 C 根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為 3，那么它的擺線的參數(shù)方程為x3（sin ），y3（1cos ）( 為參數(shù))， 把 2代入?yún)?shù)方程中可得x3（21），y3， 即 A(3(21)，3) |AB|3（21）322（32）2 10. 4已知一個圓的
11、擺線過點(1，0)，則擺線的參數(shù)方程為( ) A.x12k（sin ），y12k（1cos ） B.x1k（sin ），y1k（1cos ） C.x12k（sin ），y12k（1cos ） D.x1k（sin ），y1k（1cos ） 解析：選 A 圓的擺線的參數(shù)方程為xr（sin ），yr（1cos ）， 令 r(1cos )0，得：2k，代入 xr(sin )， 得：xr(2ksin 2k)，又過(1，0)， r(2ksin 2k)1，r12k， 又 r0，kN. 二、填空題 5已知圓的漸開線的參數(shù)方程是xcos sin ，ysin cos ( 為參數(shù))，則此漸開線對應的基圓的直徑是_，
12、當參數(shù)4時對應的曲線上的點的坐標為_ 解析：圓的漸開線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為 1，故直徑為 2.求當 4時對應的坐標只需把4代入曲線的參數(shù)方程，得 x2228，y2228，由此可得對應的坐標為(2228，2228) 答案：2 (2228，2228) 6 我 們 知 道 關 于 直 線 y x 對 稱 的 兩 個 函 數(shù) 互 為 反 函 數(shù) ， 則 圓 的 擺 線xr（sin ），yr（1cos ）( 為參數(shù))關于直線 yx 對稱的曲線的參數(shù)方程為_ 解析：關于直線 yx 對稱的函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過程主要體現(xiàn)了 x 與 y 的互換，所以要寫出擺線方程關
13、于 yx 對稱的曲線方程，只需把其中的 x，y 互換 答案：xr（1cos ），yr（sin ）( 為參數(shù)) 7漸開線x6（cos sin ），y6（sin cos ）( 為參數(shù))的基圓的圓心在原點，把基圓的橫坐標伸長為原來的 2 倍(縱坐標不變)得到的曲線的焦點坐標為_ 解析：根據(jù)圓的漸開線方程可知基圓的半徑 r6，其方程為 x2y236，把基圓的橫坐標伸長為原來的 2 倍(縱坐標不變)，得到的曲線的方程為(12x)2y236，整理可得x2144y2361，這是一個焦點在 x 軸上的橢圓c a2b2 144366 3，故焦點坐標為(6 3，0)和(6 3，0) 答案：(6 3，0)和(6 3
14、，0) 8圓的漸開線x 2（cos ttsin t），y 2（sin ttcos t）上與 t4對應的點的直角坐標為_ 解析：對應點的直角坐標為 x 2（cos 44sin 4） 2（22422）14y 2（sin 44cos 4） 2（22422）14 t4對應的點的直角坐標為(14，14) 答案：(14，14) 三、解答題 9半徑為 r 的圓沿直軌道滾動，M 在起始處和原點重合，當 M 轉過53和72時，求點M 的坐標 解：由擺線方程可知： 53時，xM103 36r，yM12r； 72時，xM12r(72)，yMr. 點 M 的坐標分別是(103 36，12r)、(12r(72)，r)
15、10.如圖 ABCD 是邊長為 1 的正方形，曲線 AEFGH叫做“正方形的漸開線”，其中AE、EF、FG、GH的圓心依次按 B、C、D、A 循環(huán)，它們依次相連接，求曲線 AEFGH的長 解：根據(jù)漸開線的定義可知，AE是半徑為 1 的14圓周長，長度為2，繼續(xù)旋轉可得EF是半徑為 2 的14圓周長，長度為；FG是半徑為 3 的14圓周長，長度為32；GH是半徑為 4 的14圓周長，長度為 2.所以曲線 AEFGH 的長是 5. 11已知圓 C 的參數(shù)方程是x16cos ，y26sin ( 為參數(shù))，直線 l 的普通方程是 xy6 20. (1)如果把圓心平移到原點 O，請問平移后圓和直線有什么關系？ (2)寫出平移后圓的擺線方程 (3)求擺線和 x 軸的交點 解：(1)圓 C 平移后圓心為 O(0，0)，它到直線 xy6 20 的距離為 d6 226，恰好等于圓的半徑，所以直線和圓是相切的 (2)由于圓的半徑是 6，所以可得擺線方程是 x66sin ，y66cos ，(為參數(shù)) (3)令 y0， 得 66cos 0cos 1， 所以 2k(kZ) 代入 x66sin ，得 x12k(kZ)，即圓的擺線和 x 軸的交點為(12k，0)(kZ) 最新精品資料
精修版高中數(shù)學人教A版選修44教學案： 第二講 第4節(jié) 漸開線與擺線 Word版含答案
