《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修44教學(xué)案： 第二講 第4節(jié) 漸開(kāi)線(xiàn)與擺線(xiàn) Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修44教學(xué)案： 第二講 第4節(jié) 漸開(kāi)線(xiàn)與擺線(xiàn) Word版含答案（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 核心必知 1漸開(kāi)線(xiàn)的概念及產(chǎn)生過(guò)程 把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤(pán)上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切， 逐漸展開(kāi)， 鉛筆畫(huà)出的曲線(xiàn)叫做圓的漸開(kāi)線(xiàn)， 相應(yīng)的定圓叫做漸開(kāi)線(xiàn)的基圓 2擺線(xiàn)的概念及產(chǎn)生過(guò)程 圓的擺線(xiàn)就是一個(gè)圓沿著一條定直線(xiàn)無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡， 圓的擺線(xiàn)又叫旋輪線(xiàn) 3圓的漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的參數(shù)方程 (1)圓的漸開(kāi)線(xiàn)方程：xr（cos sin ），yr（sin cos ）( 為參數(shù)) (2)擺線(xiàn)的參數(shù)方程：xr（sin ），yr（1cos ）( 為參數(shù)) 問(wèn)題思考 1
2、漸開(kāi)線(xiàn)方程中，字母 r 和參數(shù) 的幾何意義是什么？ 提示：字母 r 是指基圓的半徑，參數(shù) 是指繩子外端運(yùn)動(dòng)時(shí)繩子上的定點(diǎn) M 相對(duì)于圓心的張角 2擺線(xiàn)的參數(shù)方程中，字母 r 和參數(shù) 的幾何意義是什么？ 提示：字母 r 是指定圓的半徑， 參數(shù) 是指圓上定點(diǎn)相對(duì)于某一定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所張開(kāi)的角度大小 求半徑為 4 的圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程 精講詳析 本題考查圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程的求法，解答本題需要搞清圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程的一般形式，然后將相關(guān)字母的取值代入即可 以圓心為原點(diǎn) O，繩端點(diǎn)的初始位置為 M0，向量的方向?yàn)?x 軸正方向，建立坐標(biāo)系，設(shè)漸開(kāi)線(xiàn)上的任意點(diǎn) M(x，y)，繩拉直時(shí)和圓的切點(diǎn)為 A，故
3、OAAM，按漸開(kāi)線(xiàn)定義，弧AM0的長(zhǎng)和線(xiàn)段 AM 的長(zhǎng)相等，記和 x 軸正向所夾的角為 (以弧度為單位)，則|AM|AM04 作 AB 垂直于 x 軸，過(guò) M 點(diǎn)作 AB 的垂線(xiàn)，由三角和向量知識(shí)，得(4cos ，4sin )， 由幾何知識(shí)知MAB，(4sin ，4cos )， 得 (4cos 4sin ，4sin 4cos ) (4(cos sin )，4(sin cos ) 又(x，y)，因此有x4（cos sin ），y4（sin cos ）， 這就是所求圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程 解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)漸開(kāi)線(xiàn)的形成過(guò)程， 將問(wèn)題歸結(jié)到用向量知識(shí)和三角的有關(guān)知識(shí)建立等式關(guān)系上 用向量方法建立
4、運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(xiàn)的參數(shù)方程的過(guò)程和步驟： (1)建立合適的坐標(biāo)系，設(shè)軌跡曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)為 M(x，y) (2)取定運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的某一角度為參數(shù) (3)用三角、幾何知識(shí)寫(xiě)出相關(guān)向量的坐標(biāo)表達(dá)式 (4)用向量運(yùn)算得到的坐標(biāo)表達(dá)式，由此得到軌跡曲線(xiàn)的參數(shù)方程 1基圓直徑為 10，求其漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程 解：取 為參數(shù)，為基圓上點(diǎn)與原點(diǎn)的連線(xiàn)與 x 軸正方向的夾角 直徑為 10，半徑 r5. 代入圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程得：x5（cos sin ），y5（sin cos ）， 這就是所求的圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程 求半徑為 2 的圓的擺線(xiàn)的參數(shù)方程(如圖所示，開(kāi)始時(shí)定點(diǎn) M 在原點(diǎn) O 處，取圓滾動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)的角度 ，(以
5、弧度為單位)為參數(shù)) 精講詳析 本題考查圓的擺線(xiàn)的參數(shù)方程的求法解答本題需要搞清圓的擺線(xiàn)的參數(shù)方程的一般形式，然后將相關(guān)數(shù)據(jù)代入即可 當(dāng)圓滾過(guò) 角時(shí)，圓心為點(diǎn) B，圓與 x 軸的切點(diǎn)為 A，定點(diǎn) M 的位置如圖所示，ABM. 由于圓在滾動(dòng)時(shí)不滑動(dòng)，因此線(xiàn)段 OA 的長(zhǎng)和圓弧AM的長(zhǎng)相等，它們的長(zhǎng)都等于 2，從而 B 點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2) 向量(2，2)， 向量(2sin ，2cos )，(2sin ，2cos )， (22sin ，22cos ) (2(sin )，2(1cos ) 動(dòng)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(x，y)，向量(x，y) 所以x2（sin ），y2（1cos ）. 這就是所求擺線(xiàn)的參數(shù)方程
6、 2圓的半徑為 r，沿 x 軸正向滾動(dòng)，圓與 x 軸相切于原點(diǎn) O.圓上點(diǎn) M 起始處沿順時(shí)針已偏轉(zhuǎn) 角試求點(diǎn) M 的軌跡方程 解：xMr r cos ()2rsin ()， yMrr sin (2) r1cos () 點(diǎn) M 的參數(shù)方程為 xrsin （），yr1cos （）.( 為參數(shù)) 設(shè)圓的半徑為 8，沿 x 軸正向滾動(dòng)，開(kāi)始時(shí)圓與 x 軸相切于原點(diǎn) O，記圓上動(dòng)點(diǎn)為 M，它隨圓的滾動(dòng)而改變位置，寫(xiě)出圓滾動(dòng)一周時(shí) M 點(diǎn)的軌跡方程，畫(huà)出相應(yīng)曲線(xiàn)，求此曲線(xiàn)上點(diǎn)的縱坐標(biāo) y 的最大值，說(shuō)明該曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸 精講詳析 本題考查擺線(xiàn)的參數(shù)方程的求法及應(yīng)用解答本題需要先分析題意，搞清M 點(diǎn)的軌跡的
7、形狀，然后借助圖象求得最值 軌跡曲線(xiàn)的參數(shù)方程為x8（tsin t），y8（1cos t），(0t2) 即 t時(shí)，即 x8時(shí)，y 有最大值 16. 曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為 x8. 擺線(xiàn)的參數(shù)方程是三角函數(shù)的形式，可考慮其性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)有類(lèi)似的地方 3當(dāng) 2、時(shí)，求出漸開(kāi)線(xiàn)xcos sin ，ysin cos 上對(duì)應(yīng)的點(diǎn) A、B，并求出 A、B 間的距離 解：將 2代入xcos sin ，ysin cos ， 得 xcos 22sin 2022， ysin 22cos 21. A(2，1) 將 ，代入xcos sin ，ysin cos ， 得 xcos sin 1，ysin cos . B(1，
8、) |AB|（21）2（1）2 5422. 本課時(shí)考點(diǎn)是圓的漸開(kāi)線(xiàn)或擺線(xiàn)的參數(shù)方程的應(yīng)用， 近幾年的高考題中還未出現(xiàn)過(guò) 本考題以填空題的形式對(duì)圓的擺線(xiàn)的參數(shù)方程的應(yīng)用進(jìn)行了考查，屬低檔題 考題印證 擺線(xiàn)xtsin t，y1cos t(0t2)與直線(xiàn) y1 的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi) 命題立意 本題主要考查擺線(xiàn)方程及其參數(shù)的幾何意義 解析 由題設(shè)得 11cos t，解得 t12，t232. 對(duì)應(yīng)交點(diǎn)的坐標(biāo)為x121，y11，x2321，y21， 交點(diǎn)為(21，1)，(321，1) 答案：(21，1)，(321，1) 一、選擇題 1關(guān)于漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的敘述，正確的是( ) A只有圓才有漸開(kāi)線(xiàn) B漸開(kāi)線(xiàn)和擺
9、線(xiàn)的定義是一樣的，只是繪圖的方法不一樣，所以才能得到不同的圖形 C正方形也可以有漸開(kāi)線(xiàn) D對(duì)于同一個(gè)圓，如果建立的直角坐標(biāo)系的位置不同，畫(huà)出的漸開(kāi)線(xiàn)形狀就不同 解析：選 C 本題主要考查漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的基本概念不僅圓有漸開(kāi)線(xiàn)，其他圖形如橢圓、正方形也有漸開(kāi)線(xiàn)，漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的定義雖然從字面上有相似之處，但是它們的實(shí)質(zhì)是完全不一樣的，因此得出的圖形也不相同對(duì)于同一個(gè)圓不論在什么地方建立直角坐標(biāo)系，畫(huà)出的圖形的大小和形狀都是一樣的，只是方程的形式及圖形在坐標(biāo)系中的位置可能不同 2.r5（sin ），y5（1cos ）( 為參數(shù))表示的是( ) A半徑為 5 的圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程 B半徑為 5 的圓的
10、擺線(xiàn)的參數(shù)方程 C直徑為 5 的圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程 D直徑為 5 的圓的擺線(xiàn)的參數(shù)方程 解析：選 B 根據(jù)圓的漸開(kāi)線(xiàn)與擺線(xiàn)的參數(shù)方程可知 B 正確 3 已知一個(gè)圓的參數(shù)方程為x3cos ，y3sin ( 為參數(shù))， 那么圓的擺線(xiàn)方程中參數(shù)取2對(duì)應(yīng)的點(diǎn) A 與點(diǎn) B32，2 之間的距離為( ) A.21 B. 2 C. 10 D. 321 解析：選 C 根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為 3，那么它的擺線(xiàn)的參數(shù)方程為x3（sin ），y3（1cos ）( 為參數(shù))， 把 2代入?yún)?shù)方程中可得x3（21），y3， 即 A(3(21)，3) |AB|3（21）322（32）2 10. 4已知一個(gè)圓的
11、擺線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(1，0)，則擺線(xiàn)的參數(shù)方程為( ) A.x12k（sin ），y12k（1cos ） B.x1k（sin ），y1k（1cos ） C.x12k（sin ），y12k（1cos ） D.x1k（sin ），y1k（1cos ） 解析：選 A 圓的擺線(xiàn)的參數(shù)方程為xr（sin ），yr（1cos ）， 令 r(1cos )0，得：2k，代入 xr(sin )， 得：xr(2ksin 2k)，又過(guò)(1，0)， r(2ksin 2k)1，r12k， 又 r0，kN. 二、填空題 5已知圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程是xcos sin ，ysin cos ( 為參數(shù))，則此漸開(kāi)線(xiàn)對(duì)應(yīng)的基圓的直徑是_，
12、當(dāng)參數(shù)4時(shí)對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi) 解析：圓的漸開(kāi)線(xiàn)的參數(shù)方程由圓的半徑惟一確定，從方程不難看出基圓的半徑為 1，故直徑為 2.求當(dāng) 4時(shí)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)只需把4代入曲線(xiàn)的參數(shù)方程，得 x2228，y2228，由此可得對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(2228，2228) 答案：2 (2228，2228) 6 我 們 知 道 關(guān) 于 直 線(xiàn) y x 對(duì) 稱(chēng) 的 兩 個(gè) 函 數(shù) 互 為 反 函 數(shù) ， 則 圓 的 擺 線(xiàn)xr（sin ），yr（1cos ）( 為參數(shù))關(guān)于直線(xiàn) yx 對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)的參數(shù)方程為_(kāi) 解析：關(guān)于直線(xiàn) yx 對(duì)稱(chēng)的函數(shù)互為反函數(shù)，而求反函數(shù)的過(guò)程主要體現(xiàn)了 x 與 y 的互換，所以要寫(xiě)出擺線(xiàn)方程關(guān)
13、于 yx 對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)方程，只需把其中的 x，y 互換 答案：xr（1cos ），yr（sin ）( 為參數(shù)) 7漸開(kāi)線(xiàn)x6（cos sin ），y6（sin cos ）( 為參數(shù))的基圓的圓心在原點(diǎn)，把基圓的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 2 倍(縱坐標(biāo)不變)得到的曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi) 解析：根據(jù)圓的漸開(kāi)線(xiàn)方程可知基圓的半徑 r6，其方程為 x2y236，把基圓的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 2 倍(縱坐標(biāo)不變)，得到的曲線(xiàn)的方程為(12x)2y236，整理可得x2144y2361，這是一個(gè)焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓c a2b2 144366 3，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6 3，0)和(6 3，0) 答案：(6 3，0)和(6 3
14、，0) 8圓的漸開(kāi)線(xiàn)x 2（cos ttsin t），y 2（sin ttcos t）上與 t4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi) 解析：對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為 x 2（cos 44sin 4） 2（22422）14y 2（sin 44cos 4） 2（22422）14 t4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(14，14) 答案：(14，14) 三、解答題 9半徑為 r 的圓沿直軌道滾動(dòng)，M 在起始處和原點(diǎn)重合，當(dāng) M 轉(zhuǎn)過(guò)53和72時(shí)，求點(diǎn)M 的坐標(biāo) 解：由擺線(xiàn)方程可知： 53時(shí)，xM103 36r，yM12r； 72時(shí)，xM12r(72)，yMr. 點(diǎn) M 的坐標(biāo)分別是(103 36，12r)、(12r(72)，r)
15、10.如圖 ABCD 是邊長(zhǎng)為 1 的正方形，曲線(xiàn) AEFGH叫做“正方形的漸開(kāi)線(xiàn)”，其中AE、EF、FG、GH的圓心依次按 B、C、D、A 循環(huán)，它們依次相連接，求曲線(xiàn) AEFGH的長(zhǎng) 解：根據(jù)漸開(kāi)線(xiàn)的定義可知，AE是半徑為 1 的14圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為2，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)可得EF是半徑為 2 的14圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為；FG是半徑為 3 的14圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為32；GH是半徑為 4 的14圓周長(zhǎng)，長(zhǎng)度為 2.所以曲線(xiàn) AEFGH 的長(zhǎng)是 5. 11已知圓 C 的參數(shù)方程是x16cos ，y26sin ( 為參數(shù))，直線(xiàn) l 的普通方程是 xy6 20. (1)如果把圓心平移到原點(diǎn) O，請(qǐng)問(wèn)平移后圓和直線(xiàn)有什么關(guān)系？ (2)寫(xiě)出平移后圓的擺線(xiàn)方程 (3)求擺線(xiàn)和 x 軸的交點(diǎn) 解：(1)圓 C 平移后圓心為 O(0，0)，它到直線(xiàn) xy6 20 的距離為 d6 226，恰好等于圓的半徑，所以直線(xiàn)和圓是相切的 (2)由于圓的半徑是 6，所以可得擺線(xiàn)方程是 x66sin ，y66cos ，(為參數(shù)) (3)令 y0， 得 66cos 0cos 1， 所以 2k(kZ) 代入 x66sin ，得 x12k(kZ)，即圓的擺線(xiàn)和 x 軸的交點(diǎn)為(12k，0)(kZ) 最新精品資料
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