三維設(shè)計廣東文人教版2014高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)考案 立體幾何中的翻折問題 文

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1、第56課 立體幾何中的翻折問題 1.（2019東城一模）如圖，在邊長為的正三角形中，，，分別為，，上的點，且滿足.將沿折起到的位置，使平面平面，連結(jié)，.（如圖） （1）若為中點，求證：∥平面； （2）求證：. 證明：（1）取中點，連結(jié)． 在中，分別為的中點， ∴∥，且． ∴∥,且， ∴∥，且． ∴四邊形為平行四邊形，∴∥． 又∵平面，且平面， ∴∥平面． （2） 取中點，連結(jié). ∴，而， 即是正三角形. 又∵, ∴. ∴在圖2中有. ∵平面平面，平面平面， ∴⊥平面. 又平面

2、，∴⊥. 2．（2019海淀一模）已知菱形中，，（如圖1所示），將菱形沿對角線翻折，使點翻折到點的位置（如圖2所示），點，，分別是，，的中點． （1）證明：//平面； （2）證明：； （3）當(dāng)時，求線段的長． 證明：（1）∵點分別是的中點， 又平面，平面， ∴平面． （2）在菱形中，設(shè)為的交點， 　　　　 則． ∴ 在三棱錐中， 　　　　又 ∴平面． 　　　　　又平面，∴． 　　?。?）連結(jié)． 在菱形中，， ∴是等邊三角形， ∵為中點，

3、 又 ，． ∴平面，即平面． 又 平面，∴． 3．（2019汕頭二模）如圖，在邊長為4的菱形中，，點、分別在邊、上．點與點、不重合，，，沿將翻折到的位置，使平面平面． （1）求證：平面； （2）記三棱錐的體積為，四棱錐的體積為，且，求此時線段的長． 【解析】（1）證明：在菱形中， ∵平面⊥平面， 平面平面，且平面， ∴平面， ∵平面，∴． ∵，∴平面． （2）設(shè)． 由（1）知，平面， ∴為三棱錐及四棱錐的高， 4．（2019西城一模）如圖，矩形中，，．，分別在線段和上，∥，將矩形沿折起．記折起后的矩形為，且平面平面． （1）求證：∥平面

4、； （2）若，求證：； （3）求四面體體積的最大值． 【解析】（1）證明：∵四邊形，都是矩形， ∴四邊形是平行四邊形， ∵平面，∴∥平面． （2）證明：設(shè)． ∵平面平面，且， ∴平面， ∴． 又 ， ∴四邊形為正方形， ∴平面， ∴． （3）設(shè)，則，其中． 由（1）得平面， ∴四面體的體積為 當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號， ∴時，四面體的體積最大． 內(nèi)容總結(jié) （1）第56課 立體幾何中的翻折問題 1.（2019東城一模）如圖，在邊長為的正三角形中，，，分別為，，上的點，且滿足.將沿折起到的位置，使平面平面，連結(jié)，.（如圖） （1）若為中點，求證：∥平面 （2）（2）若，求證：