高中數(shù)學第一章《“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)》教案1新人教A版選修2-3備課講稿

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1、 精品文檔 1．3．2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì) 第一課時 一、復習引入： 1．二項式定理 及其特例： （1） ( a b) n Cn0an Cn1 anb L Cnr a n r br L Cnnbn (n N ) ， （2） (1 x)n 1 Cn1 x L Cnr xr L xn . 2 ．二項展開式的通 項公式： Tr 1 Cnr an r br 3．求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項 時，要根據(jù)通項公式討論對 r 的限制；求有 理項 時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性

2、 二、講解新課： 1 二項式系數(shù)表（楊輝三角） ( a b)n 展開式的二項式系數(shù)，當 n 依次取 1,2,3 時，二項式系數(shù)表，表中每行 兩端都是 1，除 1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和 2．二項式系數(shù)的性質(zhì)： ( a b)n 展開式的二項式系數(shù)是 0 1 2 n r Cn ， Cn ， Cn ， ， Cn ． Cn 可以看成以 r 為自變量的函 數(shù) f (r ) 定義域是 {

3、0,1,2, L , n} ，例當 n 6 時，其圖象是 7 個孤立的點（如圖） （1）對稱性 ．與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等（∵ Cnm Cnn m ）． n 是圖象的對稱軸． 直線 r 2 n(n 1)(n 2) L (n k 1) n k 1 ， （2）增減 性與最大值． ∵ Cnk Cnk 1

4、 k ! k ∴ Cnk 相對于 Cnk 1 的增減情況由 n k 1 決定， n k 1 1 k n 1 ， n 1 k k 2 當 k 2 時，二項式系數(shù)逐漸增大．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取 得最大值；

5、 n n 1 n 1 當 n 是偶數(shù)時，中 間一項 Cn2 取得最大值；當 n 是奇數(shù)時，中間兩項 Cn 2 ， Cn 2 取得最大 值 ． （3）各二項式系數(shù)和： ∵ (1 x) n 1 C n1 x L Cnr xr L xn ，

6、 令 x 1 ，則 2n Cn0 Cn1 Cn2 L Cnr L Cnn 三、講解范例： 精品文檔 精品文檔 例 1．在 (a b)n 的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和 證明：在展開式 ( a b) n Cn0 an Cn1anb L Cnr a n r br L Cnnbn ( n N ) 中，令 a 1,b 1，則

7、(1 1)n C n0 Cn1 Cn2 C n3 L ( 1)n Cnn ， 即 0 (Cn0 Cn2 L ) (Cn1 Cn3 L ) ， ∴ Cn0 Cn2 L Cn1 Cn3 L ， 即在 ( a b)n 的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和． 說明： 由性質(zhì)（ 3）及例 1 知 Cn0 C n2 L Cn1 Cn3 L 2n 1 . 例 2．已知 (1 2x)7 a0 a1x a2 x2 L a7 x7 ，求：

8、 （ 1） a1 a2 L a7 ； （ 2） a1 a3 a5 a7 ； （ 3） | a0 | | a1 | L | a7 |. 解：（ 1）當 x 1時， (1 2x) 7 (1 2) 7 1，展開式右邊為 a0 a1 a2 L a7 ∴ a0 a1 a2 L a7 1 ， 當 x 0 時， a0 1，∴ a1 a2 L a7 1 1 2 ， （ 2）令 x 1 ， a0

9、 a1 a2 L a7 1 ① 令 x 1， a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 37 ② ① ② 得： 2( a1 a3 a5 a7 ) 1 37 ，∴ a1 a3 a5 a7 1 37 . 2 （ 3）由展開式知： a1 ,a3 , a5 ,a7 均為負， a0 , a2 , a4 ,a8 均為正， ∴由（ 2）中① +② 得： 2( a0 a2 a4 a6 ) 1 37

10、 ， ∴ a0 a2 a4 1 37 a6 2 ， ∴ | a0 | | a1 | L | a7 | a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 (a0 a2 a4 a6 ) ( a1 a3 a5 a7 ) 37 精品文檔 精品文檔 例 3. 求 (1+x)+(1+x) 2+ +(1+x) 10 展開式中 x3 的系數(shù) 解：

11、 (1 x) (1 x) 2 （1 10 (1 x )[1 (1 x )10 ] x） x ) 1 (1 = ( x 1)11 ( x 1) ， x ∴原式中 x3 實為這分子中的 x4 ，則所求系數(shù)為 C117 精品文檔