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1、
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1．3．2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)
第一課時
一、復(fù)習(xí)引入：
1．二項式定理 及其特例：
（1） ( a b) n
Cn0an
Cn1 anb L
Cnr a n r br
L Cnnbn (n N ) ，
（2） (1 x)n
1 Cn1 x L Cnr xr
L xn .
2 ．二項展開式的通 項公式： Tr 1
Cnr an r br
3．求常數(shù)項、有理項和系數(shù)最大的項
時，要根據(jù)通項公式討論對
r 的限制；求有
理項 時要注意到指數(shù)及項數(shù)的整數(shù)性
2、
二、講解新課：
1 二項式系數(shù)表（楊輝三角）
( a b)n 展開式的二項式系數(shù)，當(dāng) n 依次取 1,2,3 時，二項式系數(shù)表，表中每行
兩端都是 1，除 1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和
2．二項式系數(shù)的性質(zhì)：
( a
b)n 展開式的二項式系數(shù)是
0
1
2
n
r
Cn ， Cn ， Cn ， ， Cn ． Cn 可以看成以 r 為自變量的函
數(shù) f
(r )
定義域是 {
3、0,1,2, L , n} ，例當(dāng) n
6 時，其圖象是
7 個孤立的點（如圖）
（1）對稱性 ．與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等（∵
Cnm
Cnn m ）．
n
是圖象的對稱軸．
直線 r
2
n(n
1)(n
2)
L
(n
k
1)
n
k
1 ，
（2）增減 性與最大值． ∵ Cnk
Cnk 1
4、
k !
k
∴ Cnk 相對于 Cnk
1 的增減情況由
n k
1 決定， n
k
1
1
k
n
1
，
n
1
k
k
2
當(dāng) k
2
時，二項式系數(shù)逐漸增大．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取
得最大值；
5、
n
n 1
n
1
當(dāng) n 是偶數(shù)時，中
間一項 Cn2 取得最大值；當(dāng)
n 是奇數(shù)時，中間兩項
Cn
2
， Cn
2
取得最大
值 ．
（3）各二項式系數(shù)和：
∵ (1 x) n
1 C n1 x L Cnr xr
L
xn ，
6、
令 x 1 ，則 2n
Cn0
Cn1
Cn2
L Cnr
L Cnn
三、講解范例：
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例 1．在 (a b)n 的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和
證明：在展開式
( a
b) n
Cn0 an
Cn1anb L
Cnr a n r br
L Cnnbn ( n N ) 中，令
a 1,b
1，則
7、(1
1)n
C n0
Cn1
Cn2
C n3 L
( 1)n Cnn ，
即 0 (Cn0
Cn2 L )
(Cn1
Cn3
L ) ，
∴ Cn0
Cn2 L Cn1
Cn3
L ，
即在 ( a b)n 的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和．
說明： 由性質(zhì)（ 3）及例 1
知 Cn0
C n2
L
Cn1
Cn3
L
2n 1
.
例 2．已知 (1
2x)7
a0
a1x
a2 x2 L
a7 x7 ，求：
8、
（ 1） a1
a2
L
a7 ；
（ 2） a1
a3
a5 a7 ； （ 3） | a0 | | a1 | L
| a7 |.
解：（ 1）當(dāng) x
1時， (1
2x) 7
(1
2) 7
1，展開式右邊為
a0
a1
a2
L
a7
∴ a0
a1
a2
L a7
1 ，
當(dāng) x
0 時， a0
1，∴ a1
a2 L a7
1 1
2 ，
（ 2）令 x 1 ， a0
9、
a1
a2 L a7
1
①
令 x
1， a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
37
②
① ② 得： 2( a1
a3 a5
a7 )
1 37 ，∴ a1
a3
a5 a7
1 37
.
2
（ 3）由展開式知： a1 ,a3 , a5 ,a7 均為負(fù)， a0 , a2 , a4 ,a8 均為正，
∴由（ 2）中① +② 得： 2( a0
a2
a4
a6 )
1 37
10、
，
∴ a0 a2 a4
1
37
a6
2
，
∴ | a0 | | a1 | L
| a7 | a0
a1
a2
a3 a4
a5
a6 a7
(a0 a2 a4
a6 ) ( a1
a3
a5
a7 ) 37
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例 3.
求 (1+x)+(1+x)
2+ +(1+x)
10 展開式中 x3 的系數(shù)
解：
11、
(1 x) (1 x)
2
（1
10 (1 x )[1
(1 x )10 ]
x）
x )
1 (1
= ( x
1)11
( x 1) ，
x
∴原式中 x3 實為這分子中的 x4 ，則所求系數(shù)為 C117
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