數(shù)學(xué)第八章 立體幾何初步 第45講 空間點、線、面之間的位置關(guān)系

考試要求1.平面的基本性質(zhì)及其簡單應(yīng)用(證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題)(A級要求)；2.空間點、線、面的位置關(guān)系(A級要求).第第45節(jié)節(jié) 空間點、線、面之間的位置關(guān)系空間點、線、面之間的位置關(guān)系1.下列命題中正確的個數(shù)為_.梯形可以確定一個平面；若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行；兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面；如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.解析中兩直線可以平行、相交或異面，中若三個點在同一條直線上，則兩個平面相交，正確.答案2診診 斷斷 自自 測測2.(必修2P23練習(xí)2改編)用集合符號表示“點P在直線l外，直線l在平面內(nèi)”為_.解析考查點、線、面之間的符號表示.答案Pl，l3.(必修2P31習(xí)題5改編)下列說法中正確的是_(填序號).兩兩相交的三條直線共面；四條線段首尾相接，所得的圖形是平面圖形；平行四邊形的四邊所在的四條直線共面；若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD不一定異面.解析當(dāng)三條直線交于一點時有可能不共面；四條線段首尾相接，所得的圖形可以構(gòu)成空間四邊形；若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD一定異面，可反證.答案答案45605.如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60角；DE與MN垂直以上四個命題中正確命題的序號是_解析把正四面體的平面展開圖還原，如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60角，DEMN.答案1.四個公理公理1：如果一條直線上的_在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的_.公理3：經(jīng)過_的三點，有且只有一個平面.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相_.知知 識識 梳梳 理理兩點一條直線不在同一條直線上平行2.直線與直線的位置關(guān)系(2)異面直線所成的角定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線aa，bb，把直線a與b所成的_叫做異面直線a，b所成的角.平行相交任何銳角(或直角)3.直線與平面的位置關(guān)系有_、_、_三種情況.4.平面與平面的位置關(guān)系有_、 _兩種情況.5.等角定理 如果一個角的兩邊和另一個角的_，那么這兩個角相等.直線在平面內(nèi)直線與平面相交直線與平面平行平行相交兩邊分別平行并且方向相同考點一平面基本性質(zhì)的應(yīng)用【例1】 (1)(2016山東卷)已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的_條件.E、F、G、H四點共面；三直線FH、EG、AC共點.(1)解析若直線a和直線b相交，則平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交.答案充分不必要(2)證明連接EF，GH，如圖所示，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，EFBD.GHBD，EFGH，E、F、G、H四點共面.易知FH與直線AC不平行，但共面，設(shè)FHACM，M平面EFHG，M平面ABC.又平面EFHG平面ABCEG，MEG，F(xiàn)H、EG、AC共點.規(guī)律方法共面、共線、共點問題的證明(1)證明點或線共面問題的兩種方法：首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合.(2)證明點共線問題的兩種方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；直接證明這些點都在同一條特定直線上.(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C、D、F、E四點是否共面？為什么？(1)證明由已知FGGA，F(xiàn)HHD，四邊形BCHG為平行四邊形.四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF與CH共面.又DFH，C、D、F、E四點共面.考點二判斷空間兩直線的位置關(guān)系【例2】 (1)(2015廣東改編)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是_(填序號).l與l1，l2都不相交；l與l1，l2都相交；l至多與l1，l2中的一條相交；l至少與l1，l2中的一條相交.(2)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，則下列判斷錯誤的是_(填序號).MN與CC1垂直；MN與AC垂直；MN與BD平行；MN與A1B1平行.(3)在圖中，G、N、M、H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號).解析(1)若l與l1，l2都不相交，則ll1，ll2，l1l2，這與l1和l2異面矛盾，l至少與l1，l2中的一條相交.(2)連接B1C，B1D1，如圖所示，則點M是B1C的中點，MN是B1CD1的中位線，MNB1D1，又BDB1D1，MNBD.CC1B1D1，ACB1D1，MNCC1，MNAC.又A1B1與B1D1相交，MN與A1B1不平行.(3)圖中，直線GHMN；圖中，G、H、N三點共面，但M平面GHN，NGH，因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G、M、N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH與MN異面.所以圖中GH與MN異面.答案(1)(2)(3)規(guī)律方法空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決.【訓(xùn)練2】 (1)已知a，b，c為三條不重合的直線，有下列結(jié)論：AA1MN；A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN與A1C1是異面直線.其中正確結(jié)論的序號是_(注：把你認為正確結(jié)論的序號都填上).解析(1)在空間中，若ab，ac，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以錯，顯然成立.答案(1)1(2)考點三求兩條異面直線所成的角【例3】 (2018南京模擬)如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為_.解析如圖，將原圖補成正方體ABCDQGHP，連接GP，則GPBD，所以APG為異面直線AP與BD所成的角，規(guī)律方法用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.【訓(xùn)練3】 (2018鹽城模擬)已知正四面體ABCD中，E是AB的中點，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為_.解析畫出正四面體ABCD的直觀圖，如圖所示.設(shè)其棱長為2，取AD的中點F，連接EF，設(shè)EF的中點為O，連接CO，則EFBD，則FEC就是異面直線CE與BD所成的角.ABC為等邊三角形，則CEAB，故CECF.因為OEOF，所以COEF.