高中數(shù)學(xué) 252離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差課件 蘇教版選修23

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1、2.5.2離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差【課標(biāo)要求】1能利用隨機(jī)變量的分布列求隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差2能利用隨機(jī)變量的均值和方差解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題【核心掃描】1求簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差(重點(diǎn))2離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念及應(yīng)用(難點(diǎn))自學(xué)導(dǎo)引1離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差(1)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X x1x2 xi xnP p1p2 pi pn方差 V(X)或2 標(biāo)準(zhǔn)差 平均程度 a2V(X) 3服從兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則V(X) ；(2)若XB(n，p)，則V(X) 想一想求隨機(jī)變量X的方差一般步驟是什么？提示寫出X的分

2、布列，由分布列求E(X)，進(jìn)而求V(X)如果隨機(jī)變量是線性關(guān)系或服從兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布，可根據(jù)它們的期望、方差公式進(jìn)行計(jì)算p(1p)np(1p)名師點(diǎn)睛1研究均值與方差的意義隨機(jī)變量的均值與方差都是隨機(jī)變量的重要特征數(shù)(或數(shù)字特征)，是對(duì)隨機(jī)變量的一種簡(jiǎn)明的描寫雖然隨機(jī)變量的分布列完全決定了隨機(jī)變量的取值規(guī)律，但是往往不能明顯而集中地表現(xiàn)隨機(jī)變量的某些特點(diǎn)，例如它取值的平均水平、集中位置、穩(wěn)定與波動(dòng)狀況、集中與離散程度等均值表示隨機(jī)變量一切可能值的平均值或集中位置，而方差則表示隨機(jī)變量一切可能值的集中與離散或穩(wěn)定與波動(dòng)的程度，由于離散型隨機(jī)變量的均值的計(jì)算是從它的概率分布出發(fā)，因而均值是隨機(jī)變

3、量的概率平均值2隨機(jī)變量的方差與樣本方差的關(guān)系樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此它是一個(gè)變量，而隨機(jī)變量的方差是通過大量試驗(yàn)得出的，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，因此它是一個(gè)常數(shù)(量)而非變量對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來(lái)越接近于總體方差題型一求隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差【例1】 已知隨機(jī)變量X的概率分布是試求V(X)和V(2X1)思路探索 屬于已知分布列，用公式求方差X01234P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1解E(X)00.210.220.330.240.11.8.V(X)(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.

4、8)20.2(41.8)20.11.56.對(duì)于V(2X1)，可用兩種方法求解法一2X1的概率分布如下：2X1 11357P0.2 0.20.30.2 0.1E(2X1)2.6.V(2X1)(12.6)20.2(12.6)20.2(32.6)20.3(52.6)20.2(72.6)20.16.24.法二利用方差的性質(zhì)V(aXb)a2V(X)V(X)1.56.V(2X1)4V(X)41.566.24.規(guī)律方法求隨機(jī)變量的方差一般有兩種方法，一是列出分布列，求出期望，再利用方差的定義求解；另一種方法是借助方差的性質(zhì)求解【變式1】 已知X的概率分布為求：(1)E(X)，V(X)，；(2)設(shè)Y2X3，求

5、E(Y)，V(Y)題型二特殊分布的方差【例2】 一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)求學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望和方差思路探索 判斷隨機(jī)變量服從的分布，并求方差解設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中正確解答的選擇題個(gè)數(shù)分別是X，則XB(20,0.9)，rB(20,0.25)，E(X)200.918，E(r)200.255.V(X)npq200.90.11.8，V(r)npq200.250.75

6、50.753.75.由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5X和5r.所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的數(shù)學(xué)期望和方差分別是E(5X)5E(X)51890，E(5r)5E(r)5525.V(5X)25V(X)251.845，V(5r)25V(r)253.7593.75.規(guī)律方法若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即XB(n，p)，則可直接用公式E(X)np，V(X)np(1p)求期望和方差不必列出分布列題型三方差的實(shí)際應(yīng)用【例3】 (14分)現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)技工中選派一人參加技術(shù)比賽，已知他們?cè)谕瑯拥臈l件下每天的產(chǎn)量相等，而出現(xiàn)次品的個(gè)數(shù)X1，X2的分布列如下：X10123P 0.2 0.4 0

7、.3 0.1X20123P 0.3 0.3 0.2 0.2根據(jù)以上條件，選派誰(shuí)去合適呢？本題考查了隨機(jī)變量期望與方差的實(shí)際意義及求解，由具體數(shù)據(jù)對(duì)隨機(jī)變量做出判斷解題流程規(guī)范解答 根據(jù)分布列可得，E(X1)00.210.420.330.11.3，E(X2)00.310.320.230.21.3，因?yàn)镋(X1)E(X2)，所以技工甲與乙出現(xiàn)次品數(shù)的平均水平基本一致，因而還需考察穩(wěn)定性(7分)V(X1)(01.3)20.2(11.3)20.4(21.3)20.3(31.3)20.10.81；V(X2)(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21；(11分

8、)因?yàn)閂(X1)V(X2)，所以技工乙波動(dòng)較大，穩(wěn)定性差，綜上應(yīng)選派技工甲去參加比賽(14分)【題后反思】 均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，當(dāng)均值相同時(shí)，由方差作出判斷，方差反映了隨機(jī)變量取值偏于平均水平的情況，方差越大說明隨機(jī)變量取值波動(dòng)大，越不穩(wěn)定，方差越小，越穩(wěn)定【變式3】 甲，乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y，已知兩人在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求X，Y的分布列；(2)求X，Y的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲，乙兩人的射擊技術(shù)解(

9、1)依據(jù)題意，0.53aa0.11，解得a0.1.乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，乙射中7環(huán)的概率為1(0.30.30.2)0.2.X，Y的分布列分別為X 10987P 0.5 0.3 0.1 0.1Y 10987P 0.3 0.3 0.2 0.2(2)結(jié)合(1)中，X，Y的分布列可得E(X)100.590.380.170.19.2，E(Y)100.390.380.270.28.7，V(X)(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96，V(Y)(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.2

10、1.21.由于E(X)E(Y)，說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高；又因?yàn)閂(X)V(Y)，說明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定所以，甲比乙的技術(shù)好誤區(qū)警示忽略方差或?qū)Ψ讲畹膶?shí)際意義混淆 而判斷出錯(cuò)【示例】 某農(nóng)科院對(duì)兩個(gè)優(yōu)良品種甲、乙在相同的條件下，進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，100公頃的產(chǎn)量列表如下：甲每公頃產(chǎn)量/噸 9.4 9.5 9.8 10.2公頃數(shù)11324215乙每公頃產(chǎn)量/噸 9.2 9.5 10 11公頃數(shù)3520 35 10試判斷這兩個(gè)品種哪一個(gè)較好？錯(cuò)解 設(shè)甲品種每公頃產(chǎn)量為X甲，則X甲的概率分布為由上表可得E(X甲)9.40.119.50.329.80.4210.20.159.72.同理可以計(jì)

11、算出E(X乙)9.20.359.50.2100.35110.19.72.由E(X甲)E(X乙)可知甲、乙兩個(gè)品種的質(zhì)量相同X甲9.49.59.810.2P0.11 0.32 0.42 0.15 對(duì)于如何評(píng)價(jià)兩個(gè)品種的質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)只是停在用均值來(lái)比較的層面上，誤以為均值相同即質(zhì)量相同，忽視了還可以利用方差對(duì)產(chǎn)量的穩(wěn)定性進(jìn)行考察正解 由錯(cuò)解知：E(X甲)E(X乙)9.72，V(X甲)(9.49.72)20.11(9.59.72)20.32(9.89.72)20.42(10.29.72)20.150.064.V(X乙)(9.29.72)20.35(9.59.72)20.2(109.72)20.35(119.72)20.10.295 6，V(X甲)V(X乙)所以甲品種質(zhì)量更好一點(diǎn) 對(duì)于兩個(gè)對(duì)象的優(yōu)劣的比較，首先要比較它們的均值，當(dāng)均值一致時(shí)，還必須利用方差，對(duì)其穩(wěn)定性進(jìn)行分析比較