高中數學 252離散型隨機變量的方差與標準差課件 蘇教版選修23

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1、2.5.2離散型隨機變量的方差與標準差【課標要求】1能利用隨機變量的分布列求隨機變量的方差和標準差2能利用隨機變量的均值和方差解決簡單的實際問題【核心掃描】1求簡單離散型隨機變量的方差(重點)2離散型隨機變量的方差與標準差的概念及應用(難點)自學導引1離散型隨機變量的方差、標準差(1)方差、標準差的定義設離散型隨機變量X的分布列為X x1x2 xi xnP p1p2 pi pn方差 V(X)或2 標準差 平均程度 a2V(X) 3服從兩點分布與二項分布的隨機變量的方差(1)若X服從兩點分布，則V(X) ；(2)若XB(n，p)，則V(X) 想一想求隨機變量X的方差一般步驟是什么？提示寫出X的分

2、布列，由分布列求E(X)，進而求V(X)如果隨機變量是線性關系或服從兩點分布、二項分布，可根據它們的期望、方差公式進行計算p(1p)np(1p)名師點睛1研究均值與方差的意義隨機變量的均值與方差都是隨機變量的重要特征數(或數字特征)，是對隨機變量的一種簡明的描寫雖然隨機變量的分布列完全決定了隨機變量的取值規(guī)律，但是往往不能明顯而集中地表現隨機變量的某些特點，例如它取值的平均水平、集中位置、穩(wěn)定與波動狀況、集中與離散程度等均值表示隨機變量一切可能值的平均值或集中位置，而方差則表示隨機變量一切可能值的集中與離散或穩(wěn)定與波動的程度，由于離散型隨機變量的均值的計算是從它的概率分布出發(fā)，因而均值是隨機變

3、量的概率平均值2隨機變量的方差與樣本方差的關系樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此它是一個變量，而隨機變量的方差是通過大量試驗得出的，刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，因此它是一個常數(量)而非變量對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來越接近于總體方差題型一求隨機變量的方差與標準差【例1】 已知隨機變量X的概率分布是試求V(X)和V(2X1)思路探索 屬于已知分布列，用公式求方差X01234P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1解E(X)00.210.220.330.240.11.8.V(X)(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.

4、8)20.2(41.8)20.11.56.對于V(2X1)，可用兩種方法求解法一2X1的概率分布如下：2X1 11357P0.2 0.20.30.2 0.1E(2X1)2.6.V(2X1)(12.6)20.2(12.6)20.2(32.6)20.3(52.6)20.2(72.6)20.16.24.法二利用方差的性質V(aXb)a2V(X)V(X)1.56.V(2X1)4V(X)41.566.24.規(guī)律方法求隨機變量的方差一般有兩種方法，一是列出分布列，求出期望，再利用方差的定義求解；另一種方法是借助方差的性質求解【變式1】 已知X的概率分布為求：(1)E(X)，V(X)，；(2)設Y2X3，求

5、E(Y)，V(Y)題型二特殊分布的方差【例2】 一次英語單元測驗由20個選擇題構成，每個選擇題有4個選項，其中有且僅有一個選項是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯不得分，滿分100分學生甲選對任一題的概率為0.9，學生乙則在測驗中對每題都從4個選項中隨機地選擇一個求學生甲和乙在這次英語單元測驗中的成績的期望和方差思路探索 判斷隨機變量服從的分布，并求方差解設學生甲和乙在這次英語測驗中正確解答的選擇題個數分別是X，則XB(20,0.9)，rB(20,0.25)，E(X)200.918，E(r)200.255.V(X)npq200.90.11.8，V(r)npq200.250.75

6、50.753.75.由于答對每題得5分，學生甲和乙在這次英語測驗中的成績分別是5X和5r.所以，他們在測驗中的成績的數學期望和方差分別是E(5X)5E(X)51890，E(5r)5E(r)5525.V(5X)25V(X)251.845，V(5r)25V(r)253.7593.75.規(guī)律方法若隨機變量服從二項分布，即XB(n，p)，則可直接用公式E(X)np，V(X)np(1p)求期望和方差不必列出分布列題型三方差的實際應用【例3】 (14分)現從甲、乙兩個技工中選派一人參加技術比賽，已知他們在同樣的條件下每天的產量相等，而出現次品的個數X1，X2的分布列如下：X10123P 0.2 0.4 0

7、.3 0.1X20123P 0.3 0.3 0.2 0.2根據以上條件，選派誰去合適呢？本題考查了隨機變量期望與方差的實際意義及求解，由具體數據對隨機變量做出判斷解題流程規(guī)范解答 根據分布列可得，E(X1)00.210.420.330.11.3，E(X2)00.310.320.230.21.3，因為E(X1)E(X2)，所以技工甲與乙出現次品數的平均水平基本一致，因而還需考察穩(wěn)定性(7分)V(X1)(01.3)20.2(11.3)20.4(21.3)20.3(31.3)20.10.81；V(X2)(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21；(11分

8、)因為V(X1)V(X2)，所以技工乙波動較大，穩(wěn)定性差，綜上應選派技工甲去參加比賽(14分)【題后反思】 均值反映了隨機變量取值的平均水平，當均值相同時，由方差作出判斷，方差反映了隨機變量取值偏于平均水平的情況，方差越大說明隨機變量取值波動大，越不穩(wěn)定，方差越小，越穩(wěn)定【變式3】 甲，乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量X，Y，已知兩人在每次射擊中擊中的環(huán)數均大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求X，Y的分布列；(2)求X，Y的數學期望與方差，并以此比較甲，乙兩人的射擊技術解(

9、1)依據題意，0.53aa0.11，解得a0.1.乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，乙射中7環(huán)的概率為1(0.30.30.2)0.2.X，Y的分布列分別為X 10987P 0.5 0.3 0.1 0.1Y 10987P 0.3 0.3 0.2 0.2(2)結合(1)中，X，Y的分布列可得E(X)100.590.380.170.19.2，E(Y)100.390.380.270.28.7，V(X)(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96，V(Y)(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.2

10、1.21.由于E(X)E(Y)，說明甲平均射中的環(huán)數比乙高；又因為V(X)V(Y)，說明甲射中的環(huán)數比乙集中，比較穩(wěn)定所以，甲比乙的技術好誤區(qū)警示忽略方差或對方差的實際意義混淆 而判斷出錯【示例】 某農科院對兩個優(yōu)良品種甲、乙在相同的條件下，進行對比實驗，100公頃的產量列表如下：甲每公頃產量/噸 9.4 9.5 9.8 10.2公頃數11324215乙每公頃產量/噸 9.2 9.5 10 11公頃數3520 35 10試判斷這兩個品種哪一個較好？錯解 設甲品種每公頃產量為X甲，則X甲的概率分布為由上表可得E(X甲)9.40.119.50.329.80.4210.20.159.72.同理可以計

11、算出E(X乙)9.20.359.50.2100.35110.19.72.由E(X甲)E(X乙)可知甲、乙兩個品種的質量相同X甲9.49.59.810.2P0.11 0.32 0.42 0.15 對于如何評價兩個品種的質量的標準只是停在用均值來比較的層面上，誤以為均值相同即質量相同，忽視了還可以利用方差對產量的穩(wěn)定性進行考察正解 由錯解知：E(X甲)E(X乙)9.72，V(X甲)(9.49.72)20.11(9.59.72)20.32(9.89.72)20.42(10.29.72)20.150.064.V(X乙)(9.29.72)20.35(9.59.72)20.2(109.72)20.35(119.72)20.10.295 6，V(X甲)V(X乙)所以甲品種質量更好一點 對于兩個對象的優(yōu)劣的比較，首先要比較它們的均值，當均值一致時，還必須利用方差，對其穩(wěn)定性進行分析比較