高二數(shù)學(xué)選修1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1 課件

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1、如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的如何精確地設(shè)計、制作、建造出現(xiàn)實生活中這些橢圓形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的橢橢圓圓一一 動畫演示：動畫演示：注意注意:橢圓定義中容易遺漏的三處地方：橢圓定義中容易遺漏的三處地方： （1） 必須在平面內(nèi)必須在平面內(nèi). （2）兩個定點）兩個定點-兩點間距離確定兩點間距離確定 （3）繩長）繩長-軌跡上任意點到兩定點距離和確定軌跡上任意點到兩定點距離和確定思考：在同樣的繩長下，兩定點間距離較長，則所畫出的思考：在同樣的繩長下，兩定點間距離較長，則所畫出的橢圓較扁（線段）在同樣的繩長下，兩定點間距離較橢圓較扁（線段）在同樣的繩長下，兩定點間距離較

2、短，則所畫出的橢圓較圓（圓）短，則所畫出的橢圓較圓（圓）由此可知，橢圓的形狀與兩定點間距離、繩長有關(guān)由此可知，橢圓的形狀與兩定點間距離、繩長有關(guān)?P?F?2?F?1 1 橢圓定義：平面內(nèi)與兩個定點平面內(nèi)與兩個定點的距離和等于常數(shù)的距離和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫作的點的軌跡叫作橢圓橢圓，這兩個定點叫做這兩個定點叫做橢圓的焦橢圓的焦點點，兩焦點間的距離叫做，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距 12,F F1 2|FF二、復(fù)習(xí)回顧：二、復(fù)習(xí)回顧：PF1+PF2=2a (2a2c0, F1F2=2c)yxO),(yxPr設(shè)圓上任意一點設(shè)圓上任意一點P(x，y) 以圓心以圓心O為原點，建立直角坐

3、標(biāo)系為原點，建立直角坐標(biāo)系 rOP ryx 22兩邊平方，得兩邊平方，得 222ryx 回憶在必修回憶在必修2中是如何求圓的方程的？中是如何求圓的方程的？ 求動點軌跡求動點軌跡方程的一般步驟：方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點上任意一點M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（2）寫出適合條件）寫出適合條件P的點的點M的集合；的集合；(可以省略，可以省略，直接列出曲線方程直接列出曲線方程)（3）用坐標(biāo)表示條件）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程），列出方程 （5）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是）證明以化簡后的方程的解為坐標(biāo)的點都是曲線上

4、的點曲線上的點(可以省略不寫可以省略不寫,如有特殊情況，可以如有特殊情況，可以適當(dāng)予以說明適當(dāng)予以說明)( , )0f x y ( , )0f x y （4）化方程）化方程 為最簡形式；為最簡形式；3.3.列等式列等式4.4.代坐標(biāo)代坐標(biāo)5.5.化簡方程化簡方程1.1.建系建系2.2.設(shè)坐標(biāo)設(shè)坐標(biāo) 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案建立平面直角坐標(biāo)系通常遵循的原則：建立平面直角坐標(biāo)系通常遵循的原則：對稱、對稱、“簡潔簡潔”O(jiān)xyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy解：取過焦點解：取過焦點F1、F2的直線為的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的

5、垂直的垂直平分線為平分線為y軸，軸，建建立平面直角坐標(biāo)系立平面直角坐標(biāo)系(如圖如圖). 設(shè)設(shè)M(x, y)是橢圓上任意一是橢圓上任意一點，橢圓的焦距點，橢圓的焦距2c(c0)，M與與F1和和F2的距離的和等于正的距離的和等于正常數(shù)常數(shù)2a (2a2c) ，則，則F1、F2的的坐標(biāo)分別是坐標(biāo)分別是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化化簡？）簡？）aMFMF221222221)(,)(ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222 得方程由橢圓的定義得，由橢圓的定義得，限限制條件制條件：代代入坐標(biāo)入坐標(biāo)1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)222222bayaxb

6、 22ba兩邊除以兩邊除以 得得).0(12222babyax設(shè)所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(22222222caayaxca移項，再平方移項，再平方) 0( 12222babxay總體印象：對稱、簡潔，總體印象：對稱、簡潔，“像像”直線方程的截距直線方程的截距式式012222babyax焦點在焦點在y軸：軸：焦點在焦點在x軸：軸：2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1oFyx

7、2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(22221 12 2yoFFMx0 12222babyax 0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點點F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之間的關(guān)系之間的關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2MF1+MF2=2a (2a2c0)定定 義義1 12 2yoFFMx1oFyx2FM3)兩類標(biāo)準(zhǔn)方程的對照表注注: : 共同點：共同點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點在坐標(biāo)軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點的橢圓；中心在坐標(biāo)原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是方程的左邊是平方和，右邊

8、是1.2x2y不同點：焦點在不同點：焦點在x軸的橢圓軸的橢圓 項分母較大項分母較大. 焦點在焦點在y軸的橢圓軸的橢圓 項分母較大項分母較大.例例1 ： 已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一 個橢圓，個橢圓， 它的焦距為它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點到兩個焦點距離的和為，外輪廓線上的點到兩個焦點距離的和為 3m，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：解：以兩焦點以兩焦點F1、F2所在直線為所在直線為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為 y 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則這個橢圓的

9、標(biāo)準(zhǔn)，則這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為方程可設(shè)為222210 xyabab 根據(jù)題意有根據(jù)題意有23a ，22.4c 1.5a ，1.2c 即即222221.51.20.81bac因此，這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因此，這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2212.250.81xy xyOF1F21、 已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，請，請?zhí)羁眨禾羁眨?1) a=_，b=_，c=_，焦點坐標(biāo)為，焦點坐標(biāo)為_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C為橢圓上一點，為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點，分別為橢圓的左、右焦點， 并且并且CF1=2,則則CF2=_. 1162522yx變題：變題： 若橢圓的方程為若橢

10、圓的方程為 ,試口答完成（試口答完成（1）.14491622 yx若方程若方程 表示焦點在表示焦點在y軸上的橢圓，軸上的橢圓，求求k的取值范圍的取值范圍;13222kykx探究探究:若方程表示橢圓呢若方程表示橢圓呢?5436(-3,0)、(3,0)8116922yx課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx1.口答：下列方程哪些表示橢圓？口答：下列方程哪些表示橢圓？22,ba 若是若是,則判定其焦點在何軸？則判定其焦點在何軸？并指明并指明 ，寫出焦點坐標(biāo)，寫出焦點坐標(biāo)

11、.?解：解：例例2 ：將圓將圓 = 4= 4上的點的橫坐標(biāo)保持不變，上的點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄笏那€的方程，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所的曲線的方程，并說明它是什么曲線？并說明它是什么曲線？yxo22yx 設(shè)所的曲線上任一點的坐標(biāo)為（x，y）,圓 上的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（x，y），由題意可得：22yx yyxx2/22yx因為所以4422yx即1422 yx1 1）將圓按照某個方向均勻地壓縮）將圓按照某個方向均勻地壓縮（拉長），可以得到橢圓（拉長），可以得到橢圓。2 2）利用中間變量求點的軌跡方程）利用中間變量求點的軌跡方程的方法是解析幾何中常用的方法；的方法是解析幾何中常用

12、的方法；例例3、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) a =4，b=1，焦點在，焦點在 x 軸軸上上； (2) a =4，b=1，焦點在坐標(biāo)軸上；，焦點在坐標(biāo)軸上； (3) 兩個焦點的坐標(biāo)是（兩個焦點的坐標(biāo)是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2），并且經(jīng)），并且經(jīng) 過點過點P（? ?- -1.5 ，2.5）.解解： 因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在y軸上，軸上， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 )0(12222babxay c=2，且 c2= a2 -?b2 4= a2 - b2 又又橢圓經(jīng)過點橢圓經(jīng)過點2523， 1)()(22232225ba聯(lián)立聯(lián)立

13、可求得：可求得：6,1022ba11622 yx橢圓的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為 161022xy(法一法一)xyF1F2P11622yx11622 yx或(法二法二) 因為橢圓的焦點在因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa又所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.161022xy)0(12222babxay求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一種方法：一種方法：二類方程二類方程:三個意識：三個意識：求美意識，求美意識， 求簡意識，前瞻意識求簡意識，前瞻意識 12222byax0 12222babxay