高二數(shù)學(xué)選修1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1 課件

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1、如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的橢橢圓圓一一 動(dòng)畫(huà)演示：動(dòng)畫(huà)演示：注意注意:橢圓定義中容易遺漏的三處地方：橢圓定義中容易遺漏的三處地方： （1） 必須在平面內(nèi)必須在平面內(nèi). （2）兩個(gè)定點(diǎn)）兩個(gè)定點(diǎn)-兩點(diǎn)間距離確定兩點(diǎn)間距離確定 （3）繩長(zhǎng)）繩長(zhǎng)-軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定軌跡上任意點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和確定思考：在同樣的繩長(zhǎng)下，兩定點(diǎn)間距離較長(zhǎng)，則所畫(huà)出的思考：在同樣的繩長(zhǎng)下，兩定點(diǎn)間距離較長(zhǎng)，則所畫(huà)出的橢圓較扁（線段）在同樣的繩長(zhǎng)下，兩定點(diǎn)間距離較橢圓較扁（線段）在同樣的繩長(zhǎng)下，兩定點(diǎn)間距離較

2、短，則所畫(huà)出的橢圓較圓（圓）短，則所畫(huà)出的橢圓較圓（圓）由此可知，橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、繩長(zhǎng)有關(guān)由此可知，橢圓的形狀與兩定點(diǎn)間距離、繩長(zhǎng)有關(guān)?P?F?2?F?1 1 橢圓定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于常數(shù)的距離和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫作的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦橢圓的焦點(diǎn)點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距橢圓的焦距 12,F F1 2|FF二、復(fù)習(xí)回顧：二、復(fù)習(xí)回顧：PF1+PF2=2a (2a2c0, F1F2=2c)yxO),(yxPr設(shè)圓上任意一點(diǎn)設(shè)圓上任意一點(diǎn)P(x，y) 以圓心以圓心O為原點(diǎn)，建立直角坐

3、標(biāo)系為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系 rOP ryx 22兩邊平方，得兩邊平方，得 222ryx 回憶在必修回憶在必修2中是如何求圓的方程的？中是如何求圓的方程的？ 求動(dòng)點(diǎn)軌跡求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟：方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（2）寫(xiě)出適合條件）寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)的點(diǎn)M的集合；的集合；(可以省略，可以省略，直接列出曲線方程直接列出曲線方程)（3）用坐標(biāo)表示條件）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程），列出方程 （5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上

4、的點(diǎn)曲線上的點(diǎn)(可以省略不寫(xiě)可以省略不寫(xiě),如有特殊情況，可以如有特殊情況，可以適當(dāng)予以說(shuō)明適當(dāng)予以說(shuō)明)( , )0f x y ( , )0f x y （4）化方程）化方程 為最簡(jiǎn)形式；為最簡(jiǎn)形式；3.3.列等式列等式4.4.代坐標(biāo)代坐標(biāo)5.5.化簡(jiǎn)方程化簡(jiǎn)方程1.1.建系建系2.2.設(shè)坐標(biāo)設(shè)坐標(biāo) 探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案探討建立平面直角坐標(biāo)系的方案建立平面直角坐標(biāo)系通常遵循的原則：建立平面直角坐標(biāo)系通常遵循的原則：對(duì)稱(chēng)、對(duì)稱(chēng)、“簡(jiǎn)潔簡(jiǎn)潔”O(jiān)xyOxyOxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy解：取過(guò)焦點(diǎn)解：取過(guò)焦點(diǎn)F1、F2的直線為的直線為x軸，線段軸，線段F1F2的

5、垂直的垂直平分線為平分線為y軸，軸，建建立平面直角坐標(biāo)系立平面直角坐標(biāo)系(如圖如圖). 設(shè)設(shè)M(x, y)是橢圓上任意一是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距點(diǎn)，橢圓的焦距2c(c0)，M與與F1和和F2的距離的和等于正的距離的和等于正常數(shù)常數(shù)2a (2a2c) ，則，則F1、F2的的坐標(biāo)分別是坐標(biāo)分別是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（問(wèn)題：下面怎樣（問(wèn)題：下面怎樣化化簡(jiǎn)？）簡(jiǎn)？）aMFMF221222221)(,)(ycxMFycxMFaycxycx2)()(2222 得方程由橢圓的定義得，由橢圓的定義得，限限制條件制條件：代代入坐標(biāo)入坐標(biāo)1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)222222bayaxb

6、 22ba兩邊除以?xún)蛇叧?得得).0(12222babyax設(shè)所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(22222222caayaxca移項(xiàng)，再平方移項(xiàng)，再平方) 0( 12222babxay總體印象：對(duì)稱(chēng)、簡(jiǎn)潔，總體印象：對(duì)稱(chēng)、簡(jiǎn)潔，“像像”直線方程的截距直線方程的截距式式012222babyax焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸：軸：焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸：軸：2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1oFyx

7、2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(22221 12 2yoFFMx0 12222babyax 0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之間的關(guān)系之間的關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2MF1+MF2=2a (2a2c0)定定 義義1 12 2yoFFMx1oFyx2FM3)兩類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)照表注注: : 共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是方程的左邊是平方和，右邊

8、是1.2x2y不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大. 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大.例例1 ： 已知一個(gè)運(yùn)油車(chē)上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一已知一個(gè)運(yùn)油車(chē)上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一 個(gè)橢圓，個(gè)橢圓， 它的焦距為它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和為，外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和為 3m，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：解：以?xún)山裹c(diǎn)以?xún)山裹c(diǎn)F1、F2所在直線為所在直線為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為 y 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則這個(gè)橢圓的

9、標(biāo)準(zhǔn)，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為方程可設(shè)為222210 xyabab 根據(jù)題意有根據(jù)題意有23a ，22.4c 1.5a ，1.2c 即即222221.51.20.81bac因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2212.250.81xy xyOF1F21、 已知橢圓的方程為：已知橢圓的方程為： ，請(qǐng)，請(qǐng)?zhí)羁眨禾羁眨?1) a=_，b=_，c=_，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)， 并且并且CF1=2,則則CF2=_. 1162522yx變題：變題： 若橢圓的方程為若橢

10、圓的方程為 ,試口答完成（試口答完成（1）.14491622 yx若方程若方程 表示焦點(diǎn)在表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，軸上的橢圓，求求k的取值范圍的取值范圍;13222kykx探究探究:若方程表示橢圓呢若方程表示橢圓呢?5436(-3,0)、(3,0)8116922yx課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx1.口答：下列方程哪些表示橢圓？口答：下列方程哪些表示橢圓？22,ba 若是若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？則判定其焦點(diǎn)在何軸？并指明并指明 ，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)

11、.?解：解：例例2 ：將圓將圓 = 4= 4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，求所的曲線的方程，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，求所的曲線的方程，并說(shuō)明它是什么曲線？并說(shuō)明它是什么曲線？yxo22yx 設(shè)所的曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）,圓 上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），由題意可得：22yx yyxx2/22yx因?yàn)樗?422yx即1422 yx1 1）將圓按照某個(gè)方向均勻地壓縮）將圓按照某個(gè)方向均勻地壓縮（拉長(zhǎng)），可以得到橢圓（拉長(zhǎng)），可以得到橢圓。2 2）利用中間變量求點(diǎn)的軌跡方程）利用中間變量求點(diǎn)的軌跡方程的方法是解析幾何中常用的方法；的方法是解析幾何中常用

12、的方法；例例3、寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、寫(xiě)出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) a =4，b=1，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在 x 軸軸上上； (2) a =4，b=1，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； (3) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2），并且經(jīng)），并且經(jīng) 過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P（? ?- -1.5 ，2.5）.解解： 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，軸上， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 )0(12222babxay c=2，且 c2= a2 -?b2 4= a2 - b2 又又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)2523， 1)()(22232225ba聯(lián)立聯(lián)立

13、可求得：可求得：6,1022ba11622 yx橢圓的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為 161022xy(法一法一)xyF1F2P11622yx11622 yx或(法二法二) 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，.6410,2.10,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa又所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.161022xy)0(12222babxay求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一種方法：一種方法：二類(lèi)方程二類(lèi)方程:三個(gè)意識(shí)：三個(gè)意識(shí)：求美意識(shí)，求美意識(shí)， 求簡(jiǎn)意識(shí)，前瞻意識(shí)求簡(jiǎn)意識(shí)，前瞻意識(shí) 12222byax0 12222babxay