2019年高考物理一輪復(fù)習(xí) 第四章 曲線運(yùn)動(dòng) 萬有引力與航天 第3講 圓周運(yùn)動(dòng)學(xué)案
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1、 第3講 圓周運(yùn)動(dòng) 一、勻速圓周運(yùn)動(dòng)、角速度、線速度、向心加速度 1.勻速圓周運(yùn)動(dòng) (1)定義:做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,若在相等的時(shí)間內(nèi)通過的圓弧長相等,就是勻速圓周運(yùn)動(dòng). (2)特點(diǎn):加速度大小不變,方向始終指向圓心,是變加速運(yùn)動(dòng). (3)條件:合外力大小不變、方向始終與速度方向垂直且指向圓心. 2.描述勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物理量 定義、意義 公式、單位 線速度 描述做圓周運(yùn)動(dòng)的物體運(yùn)動(dòng)快慢的物理量(v) (1)v== (2)單位:m/s 角速度 描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量(ω) (1)ω== (2)單位:rad/s 周期 物體沿圓周運(yùn)動(dòng)一圈的時(shí)間(
2、T) (1)T==,單位:s (2)f=,單位:Hz 向心加 速度 (1)描述速度方向變化快慢的物理量(an) (2)方向指向圓心 (1)an==rω2 (2)單位:m/s2 [深度思考] 如圖1所示為一輛自行車傳動(dòng)裝置的結(jié)構(gòu)圖. 圖1 (1)同一齒輪上到轉(zhuǎn)軸距離不同的各點(diǎn)的線速度、角速度是否相同? (2)兩個(gè)齒輪相比較,其邊緣的線速度是否相同?角速度是否相同,轉(zhuǎn)速是否相同? 答案 (1)線速度不同,角速度相同.(2)線速度相同,角速度、轉(zhuǎn)速不同. 二、勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力 1.作用效果 向心力產(chǎn)生向心加速度,只改變速度的方向,不改變速度的大?。? 2.大小
3、
F=m=mrω2=mr=mωv=4π2mf2r.
3.方向
始終沿半徑方向指向圓心,時(shí)刻在改變,即向心力是一個(gè)變力.
4.來源
向心力可以由一個(gè)力提供,也可以由幾個(gè)力的合力提供,還可以由一個(gè)力的分力提供.
三、離心現(xiàn)象
1.定義:做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的情況下,就做逐漸遠(yuǎn)離圓心的運(yùn)動(dòng).
2.本質(zhì):做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,由于本身的慣性,總有沿著圓周切線方向飛出去的趨勢.
3.受力特點(diǎn)(如圖2)
當(dāng)F=mrω2時(shí),物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng);
當(dāng)F=0時(shí),物體沿切線方向飛出;
當(dāng)F 4、
1.判斷下列說法是否正確.
(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)是勻變速曲線運(yùn)動(dòng).( × )
(2)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,一定受到向心力的作用,所以分析做圓周運(yùn)動(dòng)物體的受力時(shí),除了分析其受到的其他力,還必須指出它受到向心力的作用.( × )
(3)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體所受合外力突然消失,物體將沿圓周的半徑方向飛出.( × )
(4)火車轉(zhuǎn)彎速率小于規(guī)定的數(shù)值時(shí),內(nèi)軌受到的壓力會(huì)增大.( √ )
(5)飛機(jī)在空中沿半徑為R的水平圓周盤旋時(shí),飛機(jī)機(jī)翼一定處于傾斜狀態(tài).( √ )
2.(人教版必修2P25第3題改編)如圖3所示,小物體A與水平圓盤保持相對靜止,跟著圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則A受力情況是( 5、 )
圖3
A.重力、支持力
B.重力、向心力
C.重力、支持力、指向圓心的摩擦力
D.重力、支持力、向心力、摩擦力
答案 C
3.(人教版必修2P19第4題改編)圖4是自行車傳動(dòng)裝置的示意圖,其中Ⅰ是半徑為r1的大齒輪,Ⅱ是半徑為r2的小齒輪,Ⅲ是半徑為r3的后輪,假設(shè)腳踏板的轉(zhuǎn)速為nr/s,則自行車前進(jìn)的速度為( )
圖4
A. B.
C. D.
答案 D
4.(人教版必修2P25第2題改編)如圖5所示,一個(gè)內(nèi)壁光滑的圓錐形筒的軸線垂直于水平面,圓錐筒固定不動(dòng),有兩個(gè)質(zhì)量相等的小球A和B緊貼著內(nèi)壁分別在圖中所示的水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則以下說法中正確的是 6、( )
圖5
A.A球的角速度等于B球的角速度
B.A球的線速度大于B球的線速度
C.A球的運(yùn)動(dòng)周期小于B球的運(yùn)動(dòng)周期
D.A球?qū)ν脖诘膲毫Υ笥贐球?qū)ν脖诘膲毫?
答案 B
解析 先對小球受力分析,如圖所示,由圖可知,兩球的向心力都來源于重力mg和支持力FN的合力,建立如圖所示的坐標(biāo)系,則有:
FNsinθ=mg①
FNcosθ=mrω2②
由①得FN=,小球A和B受到的支持力FN相等,由牛頓第三定律知,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.由于支持力FN相等,結(jié)合②式知,A球運(yùn)動(dòng)的半徑大于B球運(yùn)動(dòng)的半徑,故A球的角速度小于B球的角速度,A球的運(yùn)動(dòng)周期大于B球的運(yùn)動(dòng)周期,選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤.又根據(jù)F 7、Ncosθ=m可知:A球的線速度大于B球的線速度,選項(xiàng)B正確.
命題點(diǎn)一 圓周運(yùn)動(dòng)的分析
1.圓周運(yùn)動(dòng)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析
(1)對公式v=ωr的理解
當(dāng)r一定時(shí),v與ω成正比;
當(dāng)ω一定時(shí),v與r成正比;
當(dāng)v一定時(shí),ω與r成反比.
(2)對a==ω2r=ωv的理解
在v一定時(shí),a與r成反比;在ω一定時(shí),a與r成正比.
2.圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)分析
(1)向心力的來源
向心力是按力的作用效果命名的,可以是重力、彈力、摩擦力等各種力,也可以是幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力,因此在受力分析中要避免再另外添加一個(gè)向心力.
(2)向心力的確定
①確定圓周運(yùn)動(dòng)的軌道所在的平面,確 8、定圓心的位置.
②分析物體的受力情況,找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力.
例1 (多選)如圖6
所示為賽車場的一個(gè)水平“梨形”賽道,兩個(gè)彎道分別為半徑R=90m的大圓弧和r=40m的小圓弧,直道與彎道相切.大、小圓弧圓心O、O′距離L=100m.賽車沿彎道路線行駛時(shí),路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍,假設(shè)賽車在直道上做勻變速直線運(yùn)動(dòng),在彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng),要使賽車不打滑,繞賽道一圈時(shí)間最短(發(fā)動(dòng)機(jī)功率足夠大,重力加速度g=10m/s2,π=3.14),則賽車( )
圖6
A.在繞過小圓弧彎道后加速
B.在大圓弧彎道上的速率為45m/s
C. 9、在直道上的加速度大小為5.63m/s2
D.通過小圓弧彎道的時(shí)間為5.58s
繞賽道一圈時(shí)間最短.
答案 AB
解析 在彎道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),根據(jù)徑向靜摩擦力提供向心力得,kmg=m,當(dāng)彎道半徑一定時(shí),在彎道上的最大速率是一定的,且在大彎道上的最大速率大于小彎道上的最大速率,故要想時(shí)間最短,可在繞過小圓弧彎道后加速,選項(xiàng)A正確;在大圓弧彎道上的速率為vmR==m/s=45 m/s,選項(xiàng)B正確;直道的長度為x==50m,在小彎道上的最大速率為:vmr==m/s=30 m/s,在直道上的加速度大小為a==m/s2≈6.50 m/s2,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;由幾何關(guān)系可知,小圓弧軌道的長度為,通過 10、小圓弧彎道的時(shí)間為t==s≈2.80s,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
1.如圖7所示,“旋轉(zhuǎn)秋千”中的兩個(gè)座椅A、B質(zhì)量相等,通過相同長度的纜繩懸掛在旋轉(zhuǎn)圓盤上.不考慮空氣阻力的影響,當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤繞豎直的中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),下列說法正確的是( )
圖7
A.A的速度比B的大
B.A與B的向心加速度大小相等
C.懸掛A、B的纜繩與豎直方向的夾角相等
D.懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小
答案 D
解析 根據(jù)題意可知,座椅A和B的角速度相等,A的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑小于B的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑,由v=rω可知,座椅A的線速度比B的小,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;由a=rω2可知,座椅A的向心加速度比B的小,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;座椅受力如 11、圖所示,由牛頓第二定律得mgtanθ=mrω2,tanθ=,因座椅A的運(yùn)動(dòng)半徑較小,故懸掛A的纜繩與豎直方向的夾角小,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;拉力FT=,
可判斷懸掛A的纜繩所受的拉力比懸掛B的小,選項(xiàng)D正確.
2.(多選)如圖8所示,兩個(gè)質(zhì)量不同的小球用長度不等的細(xì)線拴在同一點(diǎn),并在同一水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則它們的( )
圖8
A.周期相同
B.線速度的大小相等
C.角速度的大小相等
D.向心加速度的大小相等
答案 AC
解析 對小球受力分析如圖所示,受自身重力mg、繩子拉力FT,合力提供向心力即水平指向圓心,設(shè)細(xì)線和豎直方向夾角為θ,小球到懸點(diǎn)的距離為h,則有mgtan 12、θ=man=mω2htanθ,可得向心加速度an=gtanθ,所以向心加速度大小不相等,選項(xiàng)D錯(cuò);角速度ω=,所以角速度大小相等,選項(xiàng)C對;由于水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同,線速度v=ωhtanθ,所以線速度大小不同,選項(xiàng)B錯(cuò),周期T=,角速度相等,所以周期相等,選項(xiàng)A對.
命題點(diǎn)二 水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
例2 如圖9所示,用一根長為l=1m的細(xì)線,一端系一質(zhì)量為m=1kg的小球(可視為質(zhì)點(diǎn)),另一端固定在一光滑錐體頂端,錐面與豎直方向的夾角θ=37°,當(dāng)小球在水平面內(nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω時(shí),細(xì)線的張力為FT.(g取10m/s2,結(jié)果可用根式表示)求:
圖9
13、
(1)若要小球剛好離開錐面,則小球的角速度ω0至少為多大?
(2)若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°,則小球的角速度ω′為多大?
?、傩∏蛟谒矫鎯?nèi)繞錐體的軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng);②若要小球剛好離開錐面.
答案 (1)rad/s (2)2rad/s
解析 (1)若要小球剛好離開錐面,則小球只受到重力和細(xì)線的拉力,受力分析如圖所示.小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓在水平面上,故向心力水平,在水平方向運(yùn)用牛頓第二定律及向心力公式得:
mgtanθ=mω02lsinθ
解得:ω02=
即ω0==rad/s.
(2)同理,當(dāng)細(xì)線與豎直方向成60°角時(shí),由牛頓第二定律及向心力公式得:
mgtanα= 14、mω′2lsinα
解得:ω′2=,
即ω′==2rad/s.
水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問題的分析技巧
1.在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,當(dāng)角速度ω變化時(shí),物體有遠(yuǎn)離或向著圓心運(yùn)動(dòng)的趨勢.這時(shí)要根據(jù)物體的受力情況,判斷某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)方向朝哪(特別是一些接觸力,如靜摩擦力、繩的拉力等).
2.三種臨界情況:
(1)接觸與脫離的臨界條件:兩物體相接觸或脫離,臨界條件是:彈力FN=0.
(2)相對滑動(dòng)的臨界條件:兩物體相接觸且處于相對靜止時(shí),常存在著靜摩擦力,則相對滑動(dòng)的臨界條件是:靜摩擦力達(dá)到最大值.
(3)繩子斷裂與松馳的臨界條件:繩子所能承受的張力是有限度的,繩子 15、斷與不斷的臨界條件是繩中張力等于它所能承受的最大張力,繩子松弛的臨界條件是:FT=0.
3.(多選)(2014·新課標(biāo)全國Ⅰ·20)如圖10所示,兩個(gè)質(zhì)量均為m的小木塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上,a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l,b與轉(zhuǎn)軸的距離為2l,木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍,重力加速度大小為g.若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng),用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,下列說法正確的是( )
圖10
A.b一定比a先開始滑動(dòng)
B.a(chǎn)、b所受的摩擦力始終相等
C.ω=是b開始滑動(dòng)的臨界角速度
D.當(dāng)ω=時(shí),a所受摩擦力的大小為kmg
答案 AC
解析 小木 16、塊a、b做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),由靜摩擦力提供向心力,即f=mω2R.當(dāng)角速度增加時(shí),靜摩擦力增大,當(dāng)增大到最大靜摩擦力時(shí),發(fā)生相對滑動(dòng),對木塊a:fa=mωa2l,當(dāng)fa=kmg時(shí),kmg=mωa2l,ωa=;對木塊b:fb=mωb2·2l,當(dāng)fb=kmg時(shí),kmg=mωb2·2l,ωb=,所以b先達(dá)到最大靜摩擦力,選項(xiàng)A正確;兩木塊滑動(dòng)前轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相同,則fa=mω2l,fb=mω2·2l,fa 17、繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的過山車等),稱為“繩(環(huán))約束模型”,二是有支撐(如球與桿連接、在彎管內(nèi)的運(yùn)動(dòng)等),稱為“桿(管)約束模型”.
2.豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的兩種模型特點(diǎn)及求解方法
輕繩模型
輕桿模型
實(shí)例
如球與繩連接、沿內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)的球等
如球與桿連接、球在內(nèi)壁光滑的圓管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等
圖示
最高點(diǎn)無支撐
最高點(diǎn)有支撐
最
高
點(diǎn)
受力
特征
重力、彈力,彈力方向向下或等于零
重力、彈力,彈力方向向下、等于零或向上
受力示意圖
力學(xué)
特征
mg+FN=m
mg±FN=m
臨界
特征
FN=0,vmin=
豎直向上的F 18、N=mg,v=0
過最高
點(diǎn)條件
v≥
v≥0
速度和
彈力關(guān)
系討論
分析
①能過最高點(diǎn)時(shí),v≥,F(xiàn)N+mg=m,繩、軌道對球產(chǎn)生彈力FN
②不能過最高點(diǎn)時(shí),v<,在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道做斜拋運(yùn)動(dòng)
①當(dāng)v=0時(shí),F(xiàn)N=mg,F(xiàn)N為支持力,沿半徑背離圓心
②當(dāng)0 19、均被水平拉直,如圖11所示.將兩球由靜止釋放.在各自軌跡的最低點(diǎn)( )
圖11
A.P球的速度一定大于Q球的速度
B.P球的動(dòng)能一定小于Q球的動(dòng)能
C.P球所受繩的拉力一定大于Q球所受繩的拉力
D.P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
①P球的質(zhì)量大于Q球的質(zhì)量;②由靜止釋放;③在各自軌跡的最低點(diǎn).
答案 C
解析 小球從水平位置擺動(dòng)至最低點(diǎn),由動(dòng)能定理得,mgL=mv2,解得v=,因LP 20、C正確;由an==2g可知,兩球的向心加速度相等,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
例4 如圖12所示,一質(zhì)量為m=0.5kg的小球,用長為0.4m的輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).g取10m/s2,求:
圖12
(1)小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng),在最高點(diǎn)的速度至少為多大?
(2)當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度為4m/s時(shí),輕繩拉力多大?
(3)若輕繩能承受的最大張力為45N,小球的速度不能超過多大?
①輕繩拴著在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng);②小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng);③最大張力為45N.
答案 (1)2m/s (2)15N (3)4m/s
解析 (1)在最高點(diǎn),對小球受力分析如圖甲,由牛頓第二定律得mg+F1= 21、①
由于輕繩對小球只能提供指向圓心的拉力,即F1不可能取負(fù)值,
亦即F1≥0 ②
聯(lián)立①②得v≥,
代入數(shù)值得v≥2m/s
所以,小球要做完整的圓周運(yùn)動(dòng),在最高點(diǎn)的速度至少為2m/s.
(2)將v2=4m/s代入①得,F(xiàn)2=15N.
(3)由分析可知,小球在最低點(diǎn)張力最大,對小球受力分析如圖乙,由牛頓第二定律得
F3-mg= ③
將F3=45N代入③得v3=4m/s
即小球的速度不能超過4m/s.
4.(多選)“水流星”是一種常見的雜技項(xiàng)目,該運(yùn)動(dòng)可以簡化為細(xì)繩一端系著小球在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型,如圖13所示,已知繩長為l,重力加速度 22、為g,則( )
圖13
A.小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)Q時(shí),處于失重狀態(tài)
B.小球初速度v0越大,則在P、Q兩點(diǎn)繩對小球的拉力差越大
C.當(dāng)v0>時(shí),小球一定能通過最高點(diǎn)P
D.當(dāng)v0<時(shí),細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài)
答案 CD
解析 小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)Q時(shí),由于加速度向上,故處于超重狀態(tài),選項(xiàng)A錯(cuò)誤;小球在最低點(diǎn)時(shí):FT1-mg=m;在最高點(diǎn)時(shí):FT2+mg=m,其中mv02-mg·2l=mv2,解得FT1-FT2=6mg,故在P、Q兩點(diǎn)繩對小球的拉力差與初速度v0無關(guān),選項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)v0=時(shí),得v=,因?yàn)樾∏蚰芙?jīng)過最高點(diǎn)的最小速度為,則當(dāng)v0>時(shí)小球一定能通過最高點(diǎn)P,選項(xiàng)C正確;當(dāng)v0 23、=時(shí),由mv02=mgh得小球能上升的高度h=l,即小球不能越過與懸點(diǎn)等高的位置,故當(dāng)v0<時(shí),小球?qū)⒃谧畹忘c(diǎn)位置來回?cái)[動(dòng),細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài),選項(xiàng)D正確.
5.如圖14所示,輕桿長3L,在桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和B,光滑水平轉(zhuǎn)軸穿過桿上距球A為L處的O點(diǎn),外界給系統(tǒng)一定能量后,桿和球在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),桿對球B恰好無作用力.忽略空氣阻力.則球B在最高點(diǎn)時(shí)( )
圖14
A.球B的速度為零
B.球A的速度大小為
C.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為1.5mg
D.水平轉(zhuǎn)軸對桿的作用力為2.5mg
答案 C
解析 球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí),桿對球B恰好無作用力, 24、即重力恰好提供向心力,有mg=m,解得vB=,故A錯(cuò)誤;由于A、B兩球的角速度相等,則球A的速度大小vA=,故B錯(cuò)誤;B球在最高點(diǎn)時(shí),對桿無彈力,此時(shí)A球受重力和拉力的合力提供向心力,有F-mg=m,解得:F=1.5mg,故C正確,D錯(cuò)誤.
斜面上圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體,因所受的控制因素不同,如靜摩擦力控制、輕繩控制、輕桿控制,物體的受力情況和所遵循的規(guī)律也不相同.下面列舉三類實(shí)例:
1.靜摩擦力控制下的圓周運(yùn)動(dòng)
典例1 (2014·安徽·19)如圖15所示,一傾斜的勻質(zhì)圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng),盤面上離轉(zhuǎn)軸距離2.5m處有一小物體與圓盤 25、始終保持相對靜止.物體與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為(設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力),盤面與水平面的夾角為30°,g取10m/s2.則ω的最大值是( )
圖15
A.rad/s B.rad/s
C.1.0rad/s D.0.5 rad/s
答案 C
解析 當(dāng)小物體轉(zhuǎn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)為臨界點(diǎn),由牛頓第二定律知,
μmgcos30°-mgsin30°=mω2r
解得ω=1.0rad/s,
故選項(xiàng)C正確.
2.輕繩控制下的圓周運(yùn)動(dòng)
典例2 如圖16所示,一塊足夠大的光滑平板放置在水平面上,能繞水平固定軸MN調(diào)節(jié)其與水平面所成的傾角.板上一根長為l=0.60m的輕細(xì)繩,它的一端系住一 26、質(zhì)量為m的小球P,另一端固定在板上的O點(diǎn).當(dāng)平板的傾角固定為α?xí)r,先將輕繩平行于水平軸MN拉直,然后給小球一沿著平板并與輕繩垂直的初速度v0=3.0m/s.若小球能保持在板面內(nèi)做圓周
運(yùn)動(dòng),傾角α的值應(yīng)在什么范圍內(nèi)?(取重力加速度g=10 m/s2)
圖16
答案 0°≤α≤30°
解析 小球在傾斜平板上運(yùn)動(dòng)時(shí)受到繩子拉力、平板彈力、重力.在垂直平板方向上合力為0,重力在沿平板方向的分量為mgsinα
小球在最高點(diǎn)時(shí),由繩子的拉力和重力沿平板方向的分力的合力提供向心力,有
FT+mgsinα= ①
研究小球從釋放到最高點(diǎn)的過程,根據(jù)動(dòng)能定理有
-mglsin 27、α=mv12-mv02 ②
若恰好能通過最高點(diǎn),則繩子拉力
FT=0 ③
聯(lián)立①②③解得
sinα=,則α=30°
故α的范圍為0°≤α≤30°.
3.輕桿控制下的圓周運(yùn)動(dòng)
典例3 如圖17所示,在傾角為α=30°的光滑斜面上,有一根長為L=0.8m的輕桿,一端固定在O點(diǎn),另一端系一質(zhì)量為m=0.2kg的小球,沿斜面做圓周運(yùn)動(dòng),取g=10m/s2,若要小球能通過最高點(diǎn)A,則小球在最低點(diǎn)B的最小速度是( )
圖17
A.4m/s B.2m/s C.2m/s D.2m/s
答案 A
解析 小球受輕桿控制,在A點(diǎn)的最小速度為零,由2m 28、gLsinα=mvB2可得vB=4m/s,A正確.
題組1 勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分析
1.水平放置的三個(gè)不同材料制成的圓輪A、B、C,用不打滑皮帶相連,如圖1所示(俯視圖),三圓輪的半徑之比為RA∶RB∶RC=3∶2∶1,當(dāng)主動(dòng)輪C勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),在三輪的邊緣上分別放置一相同的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn)),小物塊均恰能相對靜止在各輪的邊緣上,設(shè)小物塊所受的最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,小物塊與輪A、B、C接觸面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μA、μB、μC,A、B、C三輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度分別為ωA、ωB、ωC,則( )
圖1
A.μA∶μB∶μC=2∶3∶6
B.μA∶μB∶μC=6∶3∶2
C.ωA∶ω 29、B∶ωC=1∶2∶3
D.ωA∶ωB∶ωC=6∶3∶2
答案 A
解析 小物塊在水平方向由最大靜摩擦力提供向心力,所以向心加速度a=μg,而a=,A、B、C三圓輪邊緣的線速度大小相同,所以μ∝,所以μA∶μB∶μC=2∶3∶6,由v=Rω可知,ω∝,所以ωA∶ωB∶ωC=2∶3∶6,故只有A正確.
2.如圖2為學(xué)員駕駛汽車在水平面上繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的俯視示意圖.已知質(zhì)量為60kg的學(xué)員在A點(diǎn)位置,質(zhì)量為70kg的教練員在B點(diǎn)位置,A點(diǎn)的轉(zhuǎn)彎半徑為5.0m,B點(diǎn)的轉(zhuǎn)彎半徑為4.0m,學(xué)員和教練員(均可視為質(zhì)點(diǎn))( )
圖2
A.運(yùn)動(dòng)周期之比為5∶4
B.運(yùn)動(dòng)線速度大小之比 30、為1∶1
C.向心加速度大小之比為4∶5
D.受到的合力大小之比為15∶14
答案 D
解析 A、B兩點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度相等,根據(jù)T=知,周期相等,故A錯(cuò)誤.根據(jù)v=rω知,半徑之比為5∶4,則線速度大小之比為5∶4,故B錯(cuò)誤.根據(jù)a=rω2知,半徑之比為5∶4,則向心加速度大小之比為5∶4,故C錯(cuò)誤.根據(jù)F=ma知,向心加速度大小之比為5∶4,質(zhì)量之比為6∶7,則合力大小之比為15∶14,故D正確.
3.(2014·天津·9(1))半徑為R的水平圓盤繞過圓心O的豎直軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng),A為圓盤邊緣上一點(diǎn).在O的正上方有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球以初速度v水平拋出時(shí),半徑OA方向恰好與v的方向相 31、同,如圖3所示.若小球與圓盤只碰一次,且落在A點(diǎn),重力加速度為g,則小球拋出時(shí)距O的高度h=________,圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小ω=________.
圖3
答案 (n=1,2,3,…)
解析 小球做平拋運(yùn)動(dòng),在豎直方向:h=gt2 ①
在水平方向R=vt ②
由①②兩式可得h= ③
小球落在A點(diǎn)的過程中,OA轉(zhuǎn)過的角度θ=2nπ=ωt (n=1,2,3,…)④
由②④兩式得ω=(n=1,2,3,…)
題組2 水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
4.(多選)摩擦傳動(dòng)是傳動(dòng)裝置中的一個(gè)重要模型,如圖4所示的兩個(gè)水平放置的輪盤靠摩擦力傳 32、動(dòng),其中O、O′分別為兩輪盤的軸心.已知兩個(gè)輪盤的半徑比r甲∶r乙=3∶1,且在正常工作時(shí)兩輪盤不打滑.今在兩輪盤上分別放置兩個(gè)同種材料制成的滑塊A、B,兩滑塊與輪盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同,兩滑塊距離軸心O、O′的間距RA=2RB.若輪盤乙由靜止開始緩慢地轉(zhuǎn)動(dòng)起來,且轉(zhuǎn)速逐漸增加,則下列敘述正確的是( )
圖4
A.滑塊A和B在與輪盤相對靜止時(shí),角速度之比為ω甲∶ω乙=1∶3
B.滑塊A和B在與輪盤相對靜止時(shí),向心加速度的比值為aA∶aB=2∶9
C.轉(zhuǎn)速增加后滑塊B先發(fā)生滑動(dòng)
D.轉(zhuǎn)速增加后兩滑塊一起發(fā)生滑動(dòng)
答案 ABC
解析 假設(shè)輪盤乙的半徑為R,由題意可知兩輪盤邊緣的線 33、速度大小相等,有ω甲(3R)=ω乙R,得ω甲∶ω乙=1∶3,所以滑塊相對輪盤滑動(dòng)前,A、B的角速度之比為1∶3,A正確;滑塊相對輪盤滑動(dòng)前,根據(jù)a=ω2r得A、B的向心加速度之比為aA∶aB=2∶9,B正確;據(jù)題意可得滑塊A、B的最大靜摩擦力分別為FfA=μmAg,F(xiàn)fB=μmBg,最大靜摩擦力之比為FfA∶FfB=mA∶mB,滑塊相對輪盤滑動(dòng)前所受的靜摩擦力之比為FfA′∶FfB′=(mAaA)∶(mBaB)=mA∶(4.5mB),綜上分析可得滑塊B先達(dá)到最大靜摩擦力,先開始滑動(dòng),C正確,D錯(cuò)誤.
5.(多選)如圖5所示,在水平圓盤上放有質(zhì)量分別為m、m、2m的可視為質(zhì)點(diǎn)的三個(gè)物體A、B、 34、C,圓盤可繞垂直圓盤的中心軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng).三個(gè)物體與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.三個(gè)物體與軸O共線且OA=OB=BC=r,現(xiàn)將三個(gè)物體用輕質(zhì)細(xì)線相連,保持細(xì)線伸直且恰無張力.當(dāng)圓盤從靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng),角速度極其緩慢地增大,則對于這個(gè)過程,下列說法正確的是( )
圖5
A.A、B兩個(gè)物體同時(shí)達(dá)到最大靜摩擦力
B.B、C兩個(gè)物體的靜摩擦力先增大后不變,A物體所受的靜摩擦力先增大后減小再增大
C.當(dāng)ω2>時(shí)整體會(huì)發(fā)生滑動(dòng)
D.當(dāng)<ω<時(shí),在ω增大的過程中B、C間的拉力不斷增大
答案 BCD
解析 當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)速增大時(shí),靜摩擦力提供向心力,三個(gè)物體的角速度相等,由F0 35、=mω2r,由于C的半徑最大,質(zhì)量最大,故C所需要的向心力增加最快,最先達(dá)到最大靜摩擦力,此時(shí)μ(2m)g=2m·2rω12,解得ω1=,當(dāng)C的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力之后,細(xì)線BC開始提供拉力,B的摩擦力增大,達(dá)到最大靜摩擦力后,A、B之間細(xì)線開始有力的作用,隨著角速度增大,A的摩擦力將減小到零然后反向增大,當(dāng)A的摩擦力達(dá)到最大,且細(xì)線BC的拉力大于A、B整體的摩擦力時(shí)物體將會(huì)出現(xiàn)相對滑動(dòng),此時(shí)A與B還受到細(xì)線的拉力,對C有FT+μ(2m)g=2m·2rω22,對A、B整體有FT=2μmg,解得ω2=,當(dāng)ω2>時(shí)整體會(huì)發(fā)生滑動(dòng),故A錯(cuò)誤,B、C正確;當(dāng)<ω<時(shí),C所受摩擦力沿著半徑向里,且沒有 36、出現(xiàn)滑動(dòng),故在ω增大的過程中,由于向心力F=FT+Ff不斷增大,故B、C間的拉力不斷增大,故D正確.
6.如圖6所示,水平桿固定在豎直桿上,兩者互相垂直,水平桿上O、A兩點(diǎn)連接有兩輕繩,兩繩的另一端都系在質(zhì)量為m的小球上,OA=OB=AB,現(xiàn)通過轉(zhuǎn)動(dòng)豎直桿,使水平桿在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),三角形OAB始終在豎直平面內(nèi),若轉(zhuǎn)動(dòng)過程中OB、AB兩繩始終處于拉直狀態(tài),則下列說法正確的是( )
圖6
A.OB繩的拉力范圍為0~mg
B.OB繩的拉力范圍為mg~mg
C.AB繩的拉力范圍為mg~mg
D.AB繩的拉力范圍為0~mg
答案 B
解析 當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為零時(shí),OB繩的拉 37、力最小,AB繩的拉力最大,這時(shí)兩者的值相同,設(shè)為F1,則2F1cos30°=mg,F(xiàn)1=mg,增大轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,當(dāng)AB繩的拉力剛好等于零時(shí),OB繩的拉力最大,設(shè)這時(shí)OB繩的拉力為F2,則F2cos30°=mg,F(xiàn)2=mg,因此OB繩的拉力范圍為mg~mg,AB繩的拉力范圍為0~mg,B項(xiàng)正確.
7.如圖7所示,半徑為R的半球形陶罐,固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上,轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合.轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn),一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi),經(jīng)過一段時(shí)間后,小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對罐壁靜止,它和O點(diǎn)的連線與OO′之間的夾角θ為60°,重力加速度大小為g.
圖7 38、
(1)若ω=ω0,小物塊受到的摩擦力恰好為零,求ω0;
(2)若ω=(1±k)ω0,且0<k?1,求小物塊受到的摩擦力大小和方向.
答案 (1)
(2)當(dāng)ω=(1+k)ω0時(shí),F(xiàn)f沿罐壁切線向下,大小為
mg
當(dāng)ω=(1-k)ω0時(shí),F(xiàn)f沿罐壁切線向上,大小為
mg
解析 (1)對小物塊受力分析可知:
FNcos60°=mg ①
FNsin60°=mR′ω02 ②
R′=Rsin60° ③
聯(lián)立①②③解得:ω0=
(2)由于0<k?1,
當(dāng)ω=(1+k)ω0時(shí),物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向下.
由受力 39、分析可知:
FN′cos60°=mg+Ffcos30° ④
FN′sin60°+Ffsin30°=mR′ω2 ⑤
聯(lián)立③④⑤解得:Ff=mg
當(dāng)ω=(1-k)ω0時(shí),物塊受摩擦力方向沿罐壁切線向上.
由受力分析和幾何關(guān)系知:
FN″cos60°+Ff′sin60°=mg ⑥
FN″sin60°-Ff′cos60°=mR′ω2 ⑦
聯(lián)立③⑥⑦解得Ff′=mg.
題組3 豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題
8.如圖8所示,長均為L的兩根輕繩,一端共同系住質(zhì)量為m的小球,另一端分別固定在等高的A、B 40、兩點(diǎn),A、B兩點(diǎn)間的距離也為L.重力加速度大小為g.現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)以AB為軸做圓周運(yùn)動(dòng),若小球在最高點(diǎn)速率為v時(shí),兩根繩的拉力恰好均為零,則小球在最高點(diǎn)速率為2v時(shí),每根繩的拉力大小為( )
圖8
A.mg B.mg
C.3mg D.2mg
答案 A
解析 設(shè)小球在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r,小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)輕繩與圓周運(yùn)動(dòng)軌道平面的夾角為θ=30°,則有r=Lcosθ=L.根據(jù)題述小球在最高點(diǎn)速率為v時(shí),兩根繩的拉力恰好均為零,有mg=m;小球在最高點(diǎn)速率為2v時(shí),設(shè)每根繩的拉力大小為F,則有2Fcosθ+mg=m,聯(lián)立解得F=mg,選項(xiàng)A正確.
9.(多選)如圖9 41、所示,豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上,半徑r=0.4m,最低點(diǎn)處有一小球(半徑比r小很多),現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0,則要使小球不脫離圓軌道運(yùn)動(dòng),v0應(yīng)當(dāng)滿足(取g=10m/s2)( )
圖9
A.v0≥0 B.v0≥4m/s
C.v0≥2m/s D.v0≤2m/s
答案 CD
解析 當(dāng)v0較大時(shí),小球能夠通過最高點(diǎn),這時(shí)小球在最高點(diǎn)處需要滿足的條件是mg≤,又根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mv2+2mgr=mv02,得v0≥2m/s,C正確.當(dāng)v0較小時(shí),小球不能通過最高點(diǎn),這時(shí)對應(yīng)的臨界條件是小球上升到與圓心等高位置處時(shí)速度恰好減為零,根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgr=mv0 42、2,得v0=2m/s,D正確.
10.如圖10所示,兩個(gè)四分之三豎直圓弧軌道固定在同一水平地面上,半徑R相同,左側(cè)軌道由金屬凹槽制成,右側(cè)軌道由金屬圓管制成,均可視為光滑軌道.在兩軌道右側(cè)的正上方分別將金屬小球A和B由靜止釋放,小球距離地面的高度分別為hA、hB,下列說法正確的是( )
圖10
A.若使小球沿軌道運(yùn)動(dòng)并且到達(dá)軌道最高點(diǎn),兩球釋放的最小高度hA 43、能到左側(cè)軌道的最高點(diǎn),由mg=m得vA=,根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mg(hA-2R)=mv,解得hA=R;若小球B恰好能到右側(cè)軌道的最高點(diǎn),在最高點(diǎn)的速度vB=0,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得hB=2R,故hA>hB,A錯(cuò)誤;在軌道最低點(diǎn),小球受到的支持力最小時(shí),釋放高度是最小的,即對左側(cè)軌道來說,在最低點(diǎn)mghA=mv12,由牛頓第二定律有FNA-mg=m,聯(lián)立得FNA=6mg,對右側(cè)軌道來說,在最低點(diǎn)有mghB=mv22,根據(jù)牛頓第二定律有FNB-mg=m,聯(lián)立得FNB=5mg,故B正確,C錯(cuò)誤;小球A從最高點(diǎn)飛出后進(jìn)行平拋運(yùn)動(dòng),下落R高度時(shí),水平位移的最小值為xA=vA=·=R>R,所以小球A落在軌 44、道右端開口外側(cè),而適當(dāng)調(diào)整hB,B可以落在軌道右端開口處,D錯(cuò)誤.
11.小明站在水平地面上,手握不可伸長的輕繩一端,繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球,甩動(dòng)手腕,使球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng).當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí),繩突然斷掉,球飛行水平距離d后落地,如圖11所示.已知握繩的手離地面高度為d,手與球之間的繩長為d,重力加速度為g,忽略手的運(yùn)動(dòng)半徑和空氣阻力.
圖11
(1)求繩斷時(shí)球的速度大小v1和球落地時(shí)的速度大小v2;
(2)求繩能承受的最大拉力;
(3)改變繩長,使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng),若繩仍在球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)斷掉,要使球拋出的水平距離最大,繩長應(yīng)是多少?最大水平距離為多少?
答案 45、(1) (2)mg
(3) d
解析 (1)設(shè)繩斷后球飛行時(shí)間為t,由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得
豎直方向d=gt2
水平方向d=v1t
解得v1=
在豎直方向上有v⊥2=2g(1-)d,則
v22-v12=2g(1-)d
解得v2=
(2)設(shè)繩能承受的最大拉力大小為FT,這也是球受到繩的最大拉力大?。蜃鰣A周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=d
對小球在最低點(diǎn)由牛頓第二定律得
FT-mg=
解得FT=mg
(3)設(shè)繩長為l,繩斷時(shí)球的速度大小為v3,繩承受的最大拉力不變.由牛頓第二定律得
FT-mg=
解得v3=
繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng),豎直位移為d-l,水平位移為x,時(shí)間為t1,則
豎直方向d-l=gt12
水平方向x=v3t1
解得x=4
當(dāng)l=時(shí),x有極大值,xmax=d.
24
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