數(shù)學四 數(shù)列、推理與證明 第2講 數(shù)列的求和問題 文

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1、第2講數(shù)列的求和問題專題四數(shù)列、推理與證明熱點分類突破真題押題精練熱點分類突破熱點一分組轉(zhuǎn)化求和有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并.例例1(2017屆安徽省合肥市模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足S424，S763.(1)求數(shù)列an的通項公式；解答解解an為等差數(shù)列，解答思維升華2( 1),nannnba (2)若 求數(shù)列bn的前n項和Tn.解解22n1(1)n(2n1)24n(1)n(2n1)，2( 1)nannnba 思維升華思維升華在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想.把一

2、般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解.在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數(shù)n進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式.132log1().nnban(1)求證：數(shù)列bn為等差數(shù)列；1312log ( )121(N ),3nnbnn 所以則bn1bn2(n1)12n12.所以數(shù)列bn是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.證明(2)設(shè)cnanb2n，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解答解解由(1)知，b2n4n1，則數(shù)列b2n是以3為首項，4為公差的等差數(shù)列.熱點二錯位相減法求和錯位相減法是

3、在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例例2(2017河南省夏邑一高模擬)已知an是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，bn是等比數(shù)列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求數(shù)列an與bn的通項公式；解答解解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，由a1b12，得a423d，b42q3，S486d，故an3n1，bn2n (nN*).(2)求Tna1b1a2b2anbn的值.解解Tn22522823(3n1)2n， 2Tn222523824(3n1)2n1， ，得Tn2232232332n(3n

4、1)2n13232232332n2(3n1)2n1(43n)2n18，Tn8(3n4)2n1.解答思維升華思維升華思維升華(1)錯位相減法適用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列.(2)所謂“錯位”，就是要找“同類項”相減.要注意的是相減后得到部分求等比數(shù)列的和，此時一定要查清其項數(shù).(3)為保證結(jié)果正確，可對得到的和取n1,2進行驗證.跟蹤演練跟蹤演練2(2017江西省贛州市十四縣(市)聯(lián)考)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a27，a3為整數(shù)，且Sn的最大值為S5.(1)求an的通項公式；解答解解由a27，a3為整數(shù)知，等差數(shù)列an的公差d為整數(shù).又SnS5，故a

5、50，a60，因此d2，數(shù)列an的通項公式為an112n(nN*).(2)設(shè)bn ，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解答熱點三裂項相消法求和裂項相消法是指把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，某些項可以相互抵消從而求和的方法，主要適用于 (其中an為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.例例3(2017屆湖南省郴州市質(zhì)量檢測)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn(nN*)，a33，且Snanan1，在等比數(shù)列bn中，b12，b3a151.(1)求數(shù)列an及bn的通項公式；解答思維升華解解Snanan1，a33，a1a1a2，且(a1a2)a2a33a2，a2，a1a2a33，數(shù)列an是等差數(shù)列，a1a32a2，即2a2a

6、13，由得a11，a22，ann，2，b14，b316，則bn2n1或bn(2)n1(nN*).思維升華思維升華裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成anbnkbn(k1，kN*)的形式，從而在求和時達到某些項相消的目的，在解題時要善于根據(jù)這個基本思想變換數(shù)列an的通項公式，使之符合裂項相消的條件.解答思維升華思維升華思維升華常用的裂項公式跟蹤演練跟蹤演練3(2017吉林省吉林市普通高中調(diào)研)已知等差數(shù)列an的前n和為Sn，公差d0，且a3S542，a1，a4，a13成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；解答解解設(shè)數(shù)列an的首項為a1，因為等差數(shù)列an的前n和為Sn，a3S542，a1，a

7、4，a13成等比數(shù)列.又公差d0，所以a13，d2，所以ana1(n1)d2n1.解答則Tnb1b2b3bn真題押題精練真題體驗1.(2017全國)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a33，S410，則_.答案解析12解析解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則122.(2017天津)已知an為等差數(shù)列，前n項和為Sn(nN*)，bn是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2b312，b3a42a1，S1111b4.(1)求an和bn的通項公式；12解答解解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q.由已知b2b312，得b1(qq2)12，而b12，所以q2q60.又因為q0，解得q2，所以bn2n

8、.由b3a42a1，可得3da18，由S1111b4，可得a15d16，聯(lián)立，解得a11，d3，由此可得an3n2.所以數(shù)列an的通項公式為an3n2，數(shù)列bn的通項公式為bn2n.12(2)求數(shù)列a2nb2n1的前n項和(nN*).12解答解解設(shè)數(shù)列a2nb2n1的前n項和為Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，得3Tn2434234334n(3n1)4n1(3n2)4n18，12押題預(yù)測答案解析押題依據(jù)押題依據(jù)數(shù)列的通項以及求和是高考重點考查的內(nèi)容，也是考試大綱中

9、明確提出的知識點，年年在考，年年有變，變的是試題的外殼，即在題設(shè)的條件上有變革，有創(chuàng)新，但在變中有不變性，即解答問題的常用方法有規(guī)律可循.121.已知數(shù)列an的通項公式為an ，其前n項和為Sn，若存在MZ，滿足對任意的nN*，都有Sn0)，且4a3是a1與2a2的等差中項.(1)求an的通項公式；解答押題依據(jù)押題依據(jù)錯位相減法求和是高考的重點和熱點，本題先利用an，Sn的關(guān)系求an，也是高考出題的常見形式.12押題依據(jù)解解當n1時，S1a(S1a11)，所以a1a，當n2時，Sna(Snan1)，Sn1a(Sn1an11)，12故an是首項a1a，公比為a的等比數(shù)列，所以anaan1an.故a2a2，a3a3.由4a3是a1與2a2的等差中項，可得8a3a12a2，即8a3a2a2，因為a0，整理得8a22a10，即(2a1)(4a1)0，12解答1212所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n， 2Tn322523724(2n1)2n(2n1)2n1， 由，得Tn322(22232n)(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1，所以Tn2(2n1)2n1.