2017-2018版高中數學 第3章 數系的擴充與復數的引入 3.3 復數的幾何意義學案 蘇教版選修1-2

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1、 3.3 復數的幾何意義 學習目標　1.了解復數的幾何意義，會用復平面上的點表示復數.2.了解復數的加減運算的幾何意義.3.掌握用向量的模來表示復數的模的方法． 知識點一　復數的幾何意義 思考1　復數z＝a＋bi(a，b∈R)與有序數對(a，b)有怎樣的對應關系？ 　 　 思考2　有序實數對與直角坐標平面內的點有怎樣的對應關系？ 　 　 思考3　復數集與平面直角坐標系中的點集之間能一一對應嗎？ 　 　 思考4　復數z＝a＋bi、復平面內的點Z(a，b)、向量三者有何關系？ 　 　 1．復平面 建立了直角坐標系來表示復數的

2、平面叫做__________，x軸叫做________，y軸叫做________． 2．復數的幾何意義 復數z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內的點Z(a，b)向量. 知識點二　復數的模及意義 1．定義：向量的模叫做復數z＝a＋bi的模，記為|z|. 2．公式：|z|＝. 3．幾何意義：復數z對應點Z到原點O的距離． 知識點三　復數加減法的幾何意義 思考1　復數與復平面內的向量一一對應，你能從向量加法的幾何意義出發(fā)討論復數加法的幾何意義嗎？ 　 　 　 　 思考2　怎樣作出與復數z1－z2對應的向量？ 　 　 　 　 　 思考

3、3　類比絕對值|x－x0|的幾何意義，說明|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義． 　 　 　 1.如圖所示，設向量，分別與復數z1＝a＋bi，z2＝c＋di對應，且和不共線，以，為鄰邊畫平行四邊形OZ1ZZ2.則向量與復數__________________相對應；向量與復數________________相對應． 2．|z1－z2|＝，即兩個復數的差的模就是復平面內與這兩個復數對應的兩點間的距離． 類型一　復數與復平面內點的對應 例1　在復平面內，若復數z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i對應的點(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線y＝x上，分

4、別求實數m的取值范圍． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　按照復數和復平面內所有點所成的集合之間的一一對應關系，每一個復數都對應著一個有序實數對，只要在復平面內找出這個有序實數對所表示的點，就可根據點的位置判斷復數實部、虛部的取值． 跟蹤訓練1　設復數z＝(m∈R)在復平面內對應的點為Z. (1)若點Z在虛軸上，求m的值； (2)若點Z位于第一象限，求m的取值范圍． 　 　 　 　 　 　 類型二　復數的模及其幾何意義 例2　已知復數z1＝－i，z2＝－＋i. (

5、1)求|z1|及|z2|的值并比較大?。? (2)設z∈C，滿足|z2|≤|z|≤|z1|的點Z的集合是什么圖形？ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模即向量的模，復數的?？梢员容^大?。? (2)復數的模的意義是表示復數對應的點到原點的距離，這可以類比實數的絕對值，也可類比以原點為起點的向量的模來加深理解． 跟蹤訓練2　(1)已知0

6、　 　 　 　 　 　 　 類型三　復數加減法的幾何意義 例3　在復平面內，A，B，C分別對應復數z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC，求點D對應的復數z4及AD的長． 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1)根據復數加減運算的幾何意義可以把復數的加減運算轉化為向量的坐標運算，同樣滿足三角形和平行四邊形法則． (2)復數加減運算的幾何意義為應用數形結合思想解決復數問題提供了可靠． 跟蹤訓練3　已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 　

7、 　 　 　 　 　 　 1．設z＝(2－i)2(i為虛數單位)，則復數z的模為________． 2．復數z＝－1在復平面內，則z所對應的點在第________象限． 3．復數4＋3i與－2－5i分別表示向量與，則向量表示的復數是____________． 4．在復平面內表示復數z＝(m－3)＋2i的點在直線y＝x上，則實數m的值為________． 1．復數的幾何意義 這種對應關系架起了復數與解析幾何之間的橋梁，使得復數問題可以用幾何方法解決．復數幾何意義的應用，關鍵是抓住復數與點的一一對應． 2．復數的模 (1)復數z＝a＋bi

8、(a，b∈R)的模|z|＝； (2)從幾何意義上理解，表示點Z和原點間的距離，類比向量的模可進一步引申：|z1－z2|表示點Z1和點Z2之間的距離． 答案精析 問題導學 知識點一 思考1　一一對應． 思考2　一一對應． 思考3　能一一對應． 思考4　復數z＝a＋bi可以用復平面內的點Z(a，b)來表示，也可以用向量來表示，三者的關系是一一對應的． 1．復平面　實軸　虛軸 知識點三 思考1　 如圖，設，分別與復數a＋bi，c＋di對應，則有＝(a，b)，＝(c，d)，由向量加法的幾何意義＋＝(a＋c，b＋d)，所以＋與復數(a＋c)＋(b＋d)i對應，復數的加法可以按

9、照向量的加法來進行． 思考2　 z1－z2可以看作z1＋(－z2)．因為復數的加法可以按照向量的加法來進行，所以可以按照平行四邊形法則或三角形法則作出與z1－z2對應的向量(如圖)．圖中對應復數z1，對應復數z2，則對應復數z1－z2. 思考3　|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復平面內點Z到點Z0的距離． 1．z1＋z2　z1－z2 題型探究 例1　解　復數z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的實部為m2－m－2，虛部為m2－3m＋2. (1)由題意得m2－m－2＝0. 解得m＝2或m＝－1. (2)由題意得 ∴ ∴－1

10、m－2＝m2－3m＋2， 故m＝2. 跟蹤訓練1　解　z＝＝＝＋i， (1)∵點Z在虛軸上， ∴＝0，則m＝－2. (2)點Z位于第一象限，則m＋2>0且1－2m>0， 解得－2|z2|. (2)設z＝x＋yi(x，y∈R)，則1≤|z|≤2. ∴1≤x2＋y2≤4. 因為x2＋y2≥1表示圓x2＋y2＝1及其外部所有點組成的集合，x2＋y2≤4表示圓x2＋y2＝4及其內部所有點組成的集合． ∴滿足條件的點Z(x，y)的集合是

11、以O為圓心，以1和2為半徑的圓所夾的圓環(huán)，如圖所示． 跟蹤訓練2　解　(1)由題意得z＝a＋i，根據復數的模的定義可得|z|＝. 因為0

12、＝7＋3i， ∴AD的長為||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)| ＝|6＋2i|＝2. 跟蹤訓練3　解　方法一　設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，① (a－c)2＋(b－d)2＝1.② 由①②得2ac＋2bd＝1， ∴|z1＋z2|＝ ＝＝. 方法二　設O為坐標原點， z1、z2、z1＋z2在復平面內對應的點分別為A、B、C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB是邊長為1的正三角形， ∴四邊形OACB是一個內角為60°，邊長為1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的較長的對角線OC的長， ∴|z1＋z2|＝|OC| ＝＝. 達標檢測 1．5 解析　z＝(2－i)2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5. 2．二 解析　∵z＝－1＝i－1， ∴復數z對應的點為(－1,1)在第二象限． 3．－6－8i 解析　因為復數4＋3i與－2－5i分別表示向量與，所以＝(4,3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量表示的復數是－6－8i. 4．9 解析　∵z＝(m－3)＋2i表示的點在直線y＝x上， ∴m－3＝2，解得m＝9. 11