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1、
1.1.2 量 詞
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實例理解全稱量詞與存在量詞的含義,熟悉常見的全稱量詞和存在量詞.2.了解含有量詞的全稱命題和存在性命題的含義,并能用數(shù)學(xué)符號表示含有量詞的命題及判斷其命題的真假性.
知識點一 全稱量詞與全稱命題
思考 觀察下列命題:
①每一個三角形都有內(nèi)切圓;
②所有實數(shù)都有算術(shù)平方根;
③對一切有理數(shù)x,5x+2還是有理數(shù).
以上三個命題中分別使用了什么量詞?根據(jù)命題的實際含義能否判斷命題的真假.
梳理 (1)
全稱量詞
“所有”、“每一個”、“任何”、“任意”、“一
2、切”、“任給”、“全部”
符號
?
全稱命題p
含有________________的命題
形式
“對M中任意一個x,有p(x)成立”可用符號簡記為________________
(2)判斷全稱命題真假性的方法:對于全稱命題“?x∈M,p(x)”,要判斷它為真,需要對集合M中的每個元素x,證明p(x)成立;要判斷它為假,只需在M中找到一個x=x0,使p(x0)不成立即可.
知識點二 存在量詞與存在性命題
思考 觀察下列命題:
①有些矩形是正方形;
②存在實數(shù)x,使x>5;
③至少有一個實數(shù)x,使x2-2x+2<0.
以上三個命題分別使用了什么量詞?根據(jù)命題的實際含義
3、能否判斷命題的真假.
梳理 (1)
存在量詞
“有些”、“有一個”、“存在”、“某個”、“有的”
符號
?
存在性命題
含有________________的命題
形式
“存在M中的一個x,使q(x)成立”可用符號簡記為____________
(2)判斷存在性命題真假性的方法:要判斷一個存在性命題是真命題,只要在限定集合M中,至少能找到一個x=x0,使q(x0)成立即可,否則,這一存在性命題是假命題.
類型一 全稱命題與存在性命題的識別
例1 判斷下列語句是全稱命題,還是存在性命題.
(1)凸多邊形的外角和等于360°;
(2)有些實數(shù)a,b能使|
4、a-b|=|a|+|b|;
(3)對任意a,b∈R,若a>b,則<;
(4)有一個函數(shù),既是奇函數(shù),又是偶函數(shù).
反思與感悟 (1)判斷語句是否為命題,若不是命題,就當(dāng)然不是全稱命題或存在性命題.
(2)若是命題,再分析命題中所含的量詞,含有全稱量詞的命題是全稱命題,含有存在量詞的命題是存在性命題.
(3)當(dāng)命題中不含量詞時,要注意理解命題含義的實質(zhì).
跟蹤訓(xùn)練1 判斷下列命題是全稱命題還是存在性命題,并用符號“?”或“?”表示下列命題.
(1)自然數(shù)的平方大于或等于零;
(2)對每一個無理數(shù)x,x2也是無理數(shù);
(3)有的函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);
5、(4)對于數(shù)列,總存在正整數(shù)n,使得an與1之差的絕對值小于0.01.
類型二 全稱命題與存在性命題的真假的判斷
例2 判斷下列命題的真假:
(1)在平面直角坐標(biāo)系中,任意有序?qū)崝?shù)對(x,y)都對應(yīng)一點P;
(2)存在一個函數(shù),既是偶函數(shù)又是奇函數(shù);
(3)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)來表示;
(4)存在一個實數(shù)x,使得等式x2+x+8=0成立;
(5)?x∈R,x2-3x+2=0;
(6)?x∈R,x2-3x+2=0.
反思與感悟 要判定全稱命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對集合M中每個元素x,證明p(x)都成立;如果在
6、集合M中找到一個元素x0,使得p(x0)不成立,那么這個全稱命題就是假命題.
要判定存在性命題“?x∈M,q(x)”是真命題,只需在集合M中找到一個元素x0,使q(x0)成立即可;如果在集合M中,使q(x)成立的元素x不存在,那么這個存在性命題就是假命題.
跟蹤訓(xùn)練2 有下列四個命題:①?x∈R,2x2-3x+4>0;②?x∈{1,-1,0},2x+1>0;③?x∈N,x2≤x;④?x∈N+,x為29的約數(shù),其中真命題的個數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
類型三 全稱命題與存在性命題的應(yīng)用
例3 已知函數(shù)f(x)=x2-2x+5.
(1)是否存在實數(shù)m,使不等
7、式m+f(x)>0對于任意x∈R恒成立,并說明理由;
(2)若至少存在一個實數(shù)x,使不等式m-f(x)>0成立,求實數(shù)m的取值范圍.
反思與感悟 (1)一般地,對任意的實數(shù)x,a>f(x)恒成立,只需a>f(x)max,若存在一個實數(shù)x,使a>f(x)成立,只需a>f(x)min.
(2)有關(guān)一元二次不等式ax2+bx+c>0(<0)恒成立的問題,一是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象運用數(shù)形結(jié)合求解,二是分離參數(shù)法求解.前者主要運用Δ=b2-4ac的符號,轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組,后者常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大(小)值.
跟蹤訓(xùn)練3 (1)已知關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+
8、a2+2≤0的解集非空,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)令p(x):ax2+2x+1>0,若對?x∈R,p(x)是真命題,求實數(shù)a的取值范圍.
1.下列命題中,不是全稱命題的是( )
A.任何一個實數(shù)乘以0都等于0
B.自然數(shù)都是正整數(shù)
C.每一個向量都有大小
D.一定存在沒有最大值的二次函數(shù)
2.下列命題是真命題的是( )
A.a(chǎn)>b是ac2>bc2的充要條件
B.a(chǎn)>1,b>1是ab>1的充分條件
C.?x∈R,2x>x2
D.?x∈R,ex<0
3.下列存在性命題是假命題的是( )
A.存在x∈Q,使2x-x3=0
B.存在x∈R,使x2+x+1=0
9、
C.有的素數(shù)是偶數(shù)
D.有的有理數(shù)沒有倒數(shù)
4.若?x∈[0,],tan x≤m是真命題,則實數(shù)m的最小值為________.
5.用量詞符號“?”“?”表述下列命題,并判斷真假.
(1)所有的實數(shù)x都能使x2+x+1>0成立;
(2)對所有實數(shù)a,b,方程ax+b=0恰有一個解;
(3)一定有整數(shù)x,y,使得3x-2y=10成立;
(4)所有的有理數(shù)x都能使x2+x+1是有理數(shù).
1.判斷全稱命題的關(guān)鍵:一是先判斷是不是命題;二是看是否含有全稱量詞.
2判定全稱命題的真假的方法.定義法:對給定的集合的每一個元素x,p(x)都為真;代入法:在給定的
10、集合內(nèi)找出一個x0,使p(x0)為假,則全稱命題為假.
3.判定存在性命題真假的方法.代入法:在給定的集合中找到一個元素x0,使命題q(x0)為真,否則命題為假.
答案精析
問題導(dǎo)學(xué)
知識點一
思考 命題①②③分別使用量詞“每一個”“所有”“一切”.
命題①③是真命題,命題②是假命題,三個命題中的“每一個”“所有”“一切”都有全部、所有的意義,要求命題對某個集合的所有元素都成立,而負(fù)實數(shù)沒有算術(shù)平方根,故命題②為假命題.
梳理 (1)全稱量詞 ?x∈M,p(x)
知識點二
思考 命題①②③分別使用了量詞“有些”“存在”“至少有一個”.命題①②是真命題,命題③是假命題.三個命題
11、中的“有些”“存在”“至少有一個”等詞都是對某個集合內(nèi)的個別元素而言,要說明這些命題是真命題,只要舉出一個例子即可.所以命題①②是真命題,而任意實數(shù)x,x2-2x+2都大于0,所以命題③為假命題.
梳理 (1)存在量詞 ?x∈M,q(x)
題型探究
例1 解 (1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和都等于360°”,是全稱命題.
(2)含有存在量詞“有些”,故是存在性命題.
(3)含有全稱量詞“任意”,故是全稱命題.
(4)含有存在量詞“有一個”,是存在性命題.
跟蹤訓(xùn)練1 解 (1)是全稱命題,表示為?x∈N,x2≥0.
(2)是全稱命題,?x∈{x|x是無理數(shù)},x2是無理
12、數(shù).
(3)是存在性命題,?f(x)∈{函數(shù)},f(x)既是奇函數(shù)又是增函數(shù).
(4)是存在性命題,?n∈N+,|an-1|<0.01,其中an=.
例2 解 (1)真命題.
(2)真命題,如函數(shù)f(x)=0,既是偶函數(shù)又是奇函數(shù).
(3)假命題,如邊長為1的正方形,其對角線的長度為,就不能用正有理數(shù)表示.
(4)假命題,方程x2+x+8=0的判別式Δ=-31<0,故方程無實數(shù)解.
(5)假命題,只有x=2或x=1時,等式x2-3x+2=0才成立.
(6)真命題,x=2或x=1,都使得等式x2-3x+2=0成立.
跟蹤訓(xùn)練2 C
例3 解 方法一 (1)不等式m+f(x)>
13、0可化為
m>-f(x),
即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.
要使m>-(x-1)2-4對于任意x∈R恒成立,
只需m>-4即可.
故存在實數(shù)m使不等式m+f(x)>0對于任意x∈R恒成立,此時需m>-4.
(2)不等式m-f(x)>0,
可化為m>f(x),
若至少存在一個實數(shù)x使不等式m>f(x)成立,只需m>f(x)min.
又f(x)=(x-1)2+4,所以f(x)min=4,所以m>4.
所以實數(shù)m的取值范圍是(4,+∞).
方法二 (1)要使不等式m+f(x)>0對?x∈R恒成立,即x2-2x+5+m>0對?x∈R恒成立.
所以Δ=(-2)2-4
14、(5+m)<0,解得m>-4,
所以當(dāng)m>-4時,m+f(x)>0對于任意x∈R恒成立.
(2)若至少存在一個實數(shù)x,
使m-f(x)>0成立,
即x2-2x+5-m<0成立.
只需Δ=(-2)2-4(5-m)>0即可,
解得m>4.
所以實數(shù)m的取值范圍是(4,+∞).
跟蹤訓(xùn)練3 解 (1)∵關(guān)于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,
即4a-7≥0,
解得a≥,∴實數(shù)a的取值范圍為.
(2)∵對?x∈R,p(x)是真命題.
∴對?x∈R,ax2+2x+1>0恒成立,
當(dāng)a=0時,不等式為2x+1>0不恒成立,
當(dāng)a≠0時,若不等式恒成立,則∴a>1.
當(dāng)堂訓(xùn)練
1.D 2.B 3.B 4.1
5.解 (1)?x∈R,x2+x+1>0,真命題.
(2)?a,b∈R,ax+b=0恰有一解,假命題.
(3)?x,y∈Z,3x-2y=10,真命題.
(4)?x∈Q,x2+x+1是有理數(shù),真命題.
7