2017-2018版高中數學 第一章 常用邏輯用語 3.3 全稱命題與特稱命題的否定學案 北師大版選修2-1

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1、 3.3　全稱命題與特稱命題的否定 學習目標　1.理解全稱命題與特稱命題的否定的意義.2.會對全稱命題與特稱命題進行否定.3.掌握全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題. 知識點一　全稱命題的否定 思考　嘗試寫出下面全稱命題的否定，并歸納寫全稱命題否定的方法. (1)所有矩形都是平行四邊形； (2)每一個素數都是奇數； (3)任意x∈R，x2－2x＋1≥0. 梳理　寫全稱命題的否定的方法：(1)更換量詞，將全稱量詞換為存在量詞；(2)將結論否定. 全稱命題的否定是______命題. 知識點二　特稱命題的否定 思考　嘗試寫出下面特稱命題的

2、否定，并歸納寫特稱命題否定的方法. (1)有些實數的絕對值是正數； (2)某些平行四邊形是菱形； (3)存在x∈R，x2＋1<0. 梳理　寫特稱命題的否定的方法：(1)將存在量詞改寫為全稱量詞；(2)將結論否定. 特稱命題的否定是______命題. 類型一　全稱命題的否定 例1　寫出下列全稱命題的否定： (1)任何一個平行四邊形的對邊都平行； (2)數列：1,2,3,4,5中的每一項都是偶數； (3)任意a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整數，末位是0. 反思與感悟　全稱命題的否定是特稱命題，對省略全稱量詞的全

3、稱命題可補上量詞后進行否定. 跟蹤訓練1　寫出下列全稱命題的否定： (1)p：每一個四邊形的四個頂點共圓； (2)p：所有自然數的平方都是正數； (3)p：任何實數x都是方程5x－12＝0的根； (4)p：對任意實數x，x2＋1≥0. 類型二　特稱命題的否定 例2　寫出下列特稱命題的否定，并判斷其否定的真假. (1)p：存在x>1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素數是奇數； (3)p：有些平行四邊形不是矩形. 反思與感悟　特稱命題的否定是全稱命題，寫命題的否定時要分別改變其中的量詞和判斷詞. 跟蹤訓練2　寫出下列特稱命題的否定，并

4、判斷其否定的真假. (1)有些實數的絕對值是正數； (2)某些平行四邊形是菱形； (3)存在x，y∈Z，使得x＋y＝3. 類型三　特稱命題、全稱命題的綜合應用 例3　已知函數f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在實數m，使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立，并說明理由； (2)若存在一個實數x，使不等式m－f(x)>0成立，求實數m的取值范圍. 反思與感悟　對于涉及是否存在的問題，通?？偸羌僭O存在，然后推出矛盾，或找出存在符合條件的元素.一般地，對任意的實數x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一個實數x，使a>f(x

5、)成立，只需a>f(x)min. 跟蹤訓練3　已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R). (1)當a＝－3時，求證：對任意x∈R，都有f(x)≤0； (2)如果對任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求實數a的取值范圍. 1.已知a>0且a≠1，命題“存在x>1，logax>0”的否定是(　　) A.存在x≤1，logax>0 B.存在x>1，logax≤0 C.任意x≤1，logax>0 D.任意x>1，logax≤0 2.設x∈Z，集合A是奇數集，集合B是偶數集.若命題p：任意x∈A,2x∈B，則命題p的否定是(　　) A.任意x∈A,2x?

6、B B.任意x?A,2x?B C.存在x?A,2x∈B D.存在x∈A,2x?B 3.命題“對任意一個實數x，都有>0”的否定是____________________. 4.由命題“存在x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命題，得實數m的取值范圍是(a，＋∞)，則實數a＝________. 5.已知函數f(x)＝x2－mx＋1，命題p：“對任意x∈R，都有f(x)>0”，命題q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”.若命題p的否定與q均為真命題，求實數m的取值范圍. 1.對含有全稱量詞的命題進行否定需兩步操作：第一步，將全稱量詞改寫成存在量詞，即將“任意”改為“

7、存在”；第二步，將結論加以否定，如：將“≥”否定為“<”. 2.對含有存在量詞的命題進行否定需兩步操作：第一步，將存在量詞改寫成全稱量詞；第二步，將結論加以否定.含有存在量詞的命題的否定是含有全稱量詞的命題.注意命題中可能省略了全稱或存在意義的量詞，要注意判斷. 3.全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，因此在書寫時，要注意量詞以及形式的變化，熟練掌握下列常見詞語的否定形式： 原詞語 否定詞語 原詞語 否定詞語 是 不是 至少有一個 一個也沒有 都是 不都是 至多有一個 至少有兩個 大于 不大于 至少有n個 至多有(n－1)個 小于 不小于

8、 至多有n個 至少有(n＋1)個 任意的 某個 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 提醒：完成作業(yè)　第一章　§3　3.3 答案精析 問題導學 知識點一 思考　(1)將量詞“所有”換為：“存在一個”然后將結論否定，即“不是平行四邊形”，所以原命題的否定為“存在一個矩形不是平行四邊形”；用同樣的方法可得(2)(3)的否定： (2)存在一個素數不是奇數； (3)存在x∈R，x2－2x＋1<0. 梳理　(2)特稱 知識點二 思考　(1)先將存在量詞“有些”改寫為全稱量詞“所有”，然后將結論“實數的絕對值是正數”否定，即“實數的絕對值不是正數，于是得原命題的

9、否定為“所有實數的絕對值都不是正數”；同理可得(2)(3)的否定： (2)所有平行四邊形都不是菱形； (3)任意x∈R，x2＋1≥0. 梳理　(2)全稱 題型探究 例1　解　(1)其否定：存在一個平行四邊形，它的對邊不都平行. (2)其否定：數列：1,2,3,4,5中至少有一項不是偶數. (3)其否定：存在a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在. (4)其否定：存在被5整除的整數，末位不是0. 跟蹤訓練1　解　(1)其否定：存在一個四邊形，它的四個頂點不共圓. (2)其否定：有些自然數的平方不是正數. (3)其否定：存在實數x不是方程5x－12＝0的根. (4)其

10、否定：存在實數x，使得x2＋1<0. 例2　解　(1)其否定：任意x>1，x2－2x－3≠0(假). (2)其否定：所有的素數都不是奇數(假). (3) 其否定：所有的平行四邊形都是矩形(假). 跟蹤訓練2　解　(1)命題的否定是“不存在一個實數，它的絕對值是正數”，即“所有實數的絕對值都不是正數”.為假命題. (2)命題的否定是“沒有一個平行四邊形是菱形”，即“每一個平行四邊形都不是菱形”.由于菱形是平行四邊形，因此命題的否定是假命題. (3)命題的否定是“任意x，y∈Z，x＋y≠3”.當x＝0，y＝3時，x＋y＝3，因此命題的否定是假命題. 例3　解　(1)不等式m＋f(x)

11、>0可化為m>－f(x)， 即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4. 要使m>－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可. 故存在實數m，使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立，此時，只需m>－4. (2)不等式m－f(x)>0可化為m>f(x)，若存在一個實數x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4， ∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴所求實數m的取值范圍是(4，＋∞). 跟蹤訓練3　(1)證明　當a＝－3時， f(x)＝－9x2＋6x－1， ∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0， ∴對任意x∈R，都有f(x)≤0. (2)解　∵f(x)≤4x恒成立， ∴3ax2＋2x－1≤0恒成立， ∴即 解得a≤－， 即實數a的取值范圍是(－∞，－]. 當堂訓練 1.D　2.D　 3.存在一個實數x，使得2x＋4≤0　4.1 5.解　由于命題p：“對任意x∈R，都有f(x)>0”，所以命題p的否定為“不等式f(x)≤0在實數集上有解”，故Δ＝m2－4≥0，得m≤－2或m≥2.又命題q：“存在x∈R，使x2＋m2<9”，即不等式x2<9－m2在實數集上有解，故9－m2>0，所以－3