2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 3 組合 第2課時(shí) 組合的應(yīng)用學(xué)案 北師大版選修2-3

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1、 第2課時(shí)　組合的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能應(yīng)用組合知識(shí)解決有關(guān)組合的簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.2.能解決有限制條件的組合問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)　組合應(yīng)用題的解法 1．無(wú)限制條件的組合應(yīng)用題的解法步驟為：一、判斷；二、轉(zhuǎn)化；三、求值；四、作答． 2．有限制條件的組合應(yīng)用題的解法 常用解法有：直接法、間接法．可將條件視為特殊元素或特殊位置，一般地按從不同位置選取元素的順序分步，或按從同一位置選取的元素個(gè)數(shù)的多少分類． 類型一　有限制條件的組合問(wèn)題 例1　去年7月23日，某鐵路線發(fā)生特大交通事故，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名赴事故現(xiàn)場(chǎng)搶救傷員，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家．問(wèn)：

2、(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ (2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ (3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？ 　 　 　 反思與感悟　(1)解決有約束條件的組合問(wèn)題與解決有約束條件的排列問(wèn)題的方法一樣，都是遵循“誰(shuí)特殊誰(shuí)優(yōu)先”的原則，在此前提下，采用分類或分步法或用間接法． (2)要正確理解題中的關(guān)鍵詞，如“至少”“至多”“含”“不含”等的確切含義，正確分類，合理分步． (3)要謹(jǐn)防重復(fù)或遺漏，當(dāng)直接法中分類較復(fù)雜時(shí)，可考慮用間接法處理，即“正難則反”的策略． 跟蹤訓(xùn)練1　男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1

3、名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？ (1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名； (2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員； (3)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員． 　 　 　 　 類型二　與幾何有關(guān)的組合應(yīng)用題 例2　如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4. (1)以這10個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可作多少個(gè)三角形？其中含C1點(diǎn)的有多少個(gè)？ (2)以圖中的12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？ 　 　 　 　 　 反思與感悟　(1

4、)圖形多少的問(wèn)題通常是組合問(wèn)題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法． (2)在處理幾何問(wèn)題中的組合問(wèn)題時(shí)，應(yīng)將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決． 跟蹤訓(xùn)練2　空間中有10個(gè)點(diǎn)，其中有5個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，其余點(diǎn)無(wú)三點(diǎn)共線，四點(diǎn)共面，則以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，共可構(gòu)成四面體的個(gè)數(shù)為(　　) A．205 B．110 C．204 D．200 類型三　分組、分配問(wèn)題 命題角度1　不同元素分組、分配問(wèn)題 例3　有6本不同的書，按下列分配方式分配，則共有多少種不同的分配方式？ (1)分成三組，每組分別有1本，2本，3本； (2)分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人

5、1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本； (3)分成三組，每組都是2本； (4)分給甲、乙、丙三人，每人2本． 　 　 　 　 反思與感悟　分組、分配問(wèn)題的求解策略 常見(jiàn)形式 處理方法 非均勻不編號(hào)分組 n個(gè)不同元素分成m組，每組元素?cái)?shù)目均不相同，且不考慮各組間的順序，不管是否分盡，分法種數(shù)為：A＝Cm1n·Cm2n－m1·Cm3n－(m1＋m2)·…·Cmmn－(m1＋m2＋…＋mm－1) 均勻不編號(hào)分組 將n個(gè)不同元素分成不編號(hào)的m組，假定其中r組元素個(gè)數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為(其中A為非均勻不編號(hào)分組中的分法數(shù))．如果再有k組均勻組應(yīng)再除以A

6、非均勻編號(hào)分組 n個(gè)不同元素分成m組，各組元素?cái)?shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為A·A 均勻編號(hào)分組 n個(gè)不同元素分成m組，其中r組元素個(gè)數(shù)相同且考慮各組間的順序，其分法種數(shù)為·A 跟蹤訓(xùn)練3　某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則不同的安排方法的種數(shù)為(　　) A．24 B．48 C．96 D．114 命題角度2　相同元素分配問(wèn)題 例4　將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子， 求下列方法的種數(shù)． (1)每個(gè)盒子都不空； (2)恰有一個(gè)空盒子； (3)恰有兩個(gè)空盒子． 　 　

7、 　 　 反思與感悟　相同元素分配問(wèn)題的處理策略 (1)隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”．每一種插入隔板的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此法稱之為隔板法．隔板法專門解決相同元素的分配問(wèn)題． (2)將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的對(duì)象(n≥m)，有C種方法．可描述為n－1個(gè)空中插入m－1塊板． 跟蹤訓(xùn)練4　有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給班號(hào)分別為1,2,3的3個(gè)班． (1)每班至少有1個(gè)名額，有多少種分配方案？ (2)每班至少有2個(gè)名額，有多少種分配方案？ (3)每班的名額不能少于其班號(hào)數(shù)，有

8、多少種分配方案？ (4)可以允許某些班級(jí)沒(méi)有名額，有多少種分配方案？ 　 　 　 　 　 1．從5名男醫(yī)生，4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有(　　) A．70種 B．80種 C．100種 D．140種 2．某食堂每天中午準(zhǔn)備4種不同的葷菜，7種不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任選兩種葷菜、兩種蔬菜和白米飯；(2)任選一種葷菜、兩種蔬菜和蛋炒飯．則每天不同午餐的搭配方法共有(　　) A．210種 B．420種 C．56種 D．22種 3．甲、乙、丙三位同學(xué)選修課

9、程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有(　　) A．36種 B．48種 C．96種 D．192種 4．直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線x＝n(n＝0,1,2，…，5)與平行直線y＝n(n＝0,1,2，…，5)組成的圖形中，矩形共有(　　) A．25個(gè) B．36個(gè) C．100個(gè) D．225個(gè) 5．要從12人中選出5人參加一次活動(dòng)，其中A，B，C三人至多兩人入選，則有________種不同選法． 1．無(wú)限制條件的組合應(yīng)用題的解題步驟 (1)判斷．(2)轉(zhuǎn)化．(3)求值．(4)作答． 2．有限制條件的組合應(yīng)用題的分類 (1)“含”與

10、“不含”問(wèn)題：這類問(wèn)題的解題思路是將限制條件視為特殊元素和特殊位置，一般來(lái)講，特殊要先滿足，其余則“一視同仁”．若正面入手不易，則從反面入手，尋找問(wèn)題的突破口，即采用排除法．解題時(shí)要注意分清“有且僅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語(yǔ)的確切含義，準(zhǔn)確把握分類標(biāo)準(zhǔn)． (2)幾何中的計(jì)算問(wèn)題：在處理幾何問(wèn)題中的組合應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先明確幾何中的點(diǎn)、線、面及構(gòu)型，明確平面圖形和立體圖形中的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，將幾何問(wèn)題抽象成組合問(wèn)題來(lái)解決． (3)分組、分配問(wèn)題：分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同，是不可區(qū)分的，而后者即使兩組元素個(gè)數(shù)相同，但因元素不同

11、，仍然是可區(qū)分的． 答案精析 題型探究 例1　解　(1)分兩步：首先從4名外科專家中任選2名，有C種選法，再?gòu)某饪茖＜业?人中選取4人，有C種選法，所以共有CC＝90(種)抽調(diào)方法． (2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法， 方法一　(直接法)：按選取的外科專家的人數(shù)分類： ①選2名外科專家，共有CC種選法； ②選3名外科專家，共有CC種選法； ③選4名外科專家，共有CC種選法． 根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有 CC＋CC＋CC＝185(種)抽調(diào)方法． 方法二　(間接法)：不考慮是否有外科專家，共有C種選法，若選取1名外科專家參加，有CC種選法；沒(méi)有外科專家參加，

12、有C種選法，所以共有 C－CC－C＝185(種)抽調(diào)方法． (3)“至多2名”包括“沒(méi)有”、“有1名”和“有2名”三種情況，分類解答． ①?zèng)]有外科專家參加，有C種選法； ②有1名外科專家參加，有CC種選法； ③有2名外科專家參加，有CC種選法． 所以共有C＋CC＋CC＝115(種)抽調(diào)方法． 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C種選法；第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C種選法，故共有C·C＝120(種)選法． (2)方法一　(直接法)：“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”包括以下幾種情況，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男． 由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·

13、C＝246(種)選法． 方法二　(間接法)：不考慮條件，從10人中任選5人，有C種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，故“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有C－C＝246(種)． (3)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選法任意，共有C種選法；不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有C種選法，其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，故不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有C－C種選法．所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有C＋C－C＝191(種)． 例2　解　(1)方法一　可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(個(gè))． 方法二　可作三角形C－C＝116(個(gè))， 其中以C1為頂點(diǎn)的三角形有C＋C·C＋C＝36(個(gè))． (2)可作出四邊形C＋C·C＋

14、C·C＝360(個(gè))． 跟蹤訓(xùn)練2　A 例3　解　(1)分三步：先選一本有C種選法，再?gòu)挠嘞碌?本中選兩本有C種選法，最后余下的三本全選有C種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，分配方式共有C·C·C＝60(種)． (2)由于甲、乙、丙是不同的三個(gè)人，在(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配問(wèn)題．因此，分配方式共有C·C·C·A＝360(種)． (3)先分三組，有CCC種分法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書為A，B，C，D，E，F(xiàn)，若第一組取了A，B，第二組取了C，D，第三組取了E，F(xiàn)，則該種方法記為(AB，CD，EF)，但CCC種分法中還有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，E

15、F，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A種情況，而這A種情況只能作為一種分法，故分配方式有＝15(種)． (4)在(3)的基礎(chǔ)上再分配即可，共有分配方式·A＝90(種)． 跟蹤訓(xùn)練3　D 例4　解　(1)先把6個(gè)相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個(gè)空隙中任選3個(gè)空隙各插一塊隔板，有C＝10(種)． (2)恰有一個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行．先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選2個(gè)空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有C種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000||00|，有C種插法，故共有C·C

16、＝40(種)． (3)恰有兩個(gè)空盒子，插板分兩步進(jìn)行． 先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個(gè)空隙中任選1個(gè)空隙各插一塊隔板，有C種插法，如|00|0000|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒． ①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個(gè)盒子， 如||00||0000|，有C種插法． ②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|00|||0000|，有C種插法． 故共有C·(C＋C)＝30(種)． 跟蹤訓(xùn)練4　解　(1)因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排，相鄰名額之間形成9個(gè)空隙，在9個(gè)空隙中選2個(gè)位置插入隔板，可把名額分成3份，對(duì)應(yīng)地分給3個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法，共有C＝3

17、6(種)分法．下圖是其中一種分法，表示1班、2班、3班的名額分別是2個(gè)、5個(gè)、3個(gè)． (2)因?yàn)橐竺堪嘀辽?個(gè)名額，和第(1)小問(wèn)中的要求不一樣，可以先從10個(gè)名額中拿出3個(gè)，分別給各班1個(gè)名額，還剩下7個(gè)名額，此時(shí)題目轉(zhuǎn)化為7個(gè)名額分給3個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，按照第(1)小問(wèn)的方法，可得有C＝15(種)分法．下圖是其中的一種分法，表示1班、2班、3班的名額分別是3＋1＝4(個(gè))，2＋1＝3(個(gè))，2＋1＝3(個(gè))． (3)2班、3班分別先給1個(gè)和2個(gè)名額，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為7個(gè)名額分給3個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，按照解第(1)小問(wèn)的方法，可得有C＝15(種)分法．下圖是其中一種分法，表示1班、2班、3班的名額分別是0＋3＝3(個(gè))，2＋1＝3(個(gè))，2＋2＝4(個(gè))． (4)增加3個(gè)名額，使得每個(gè)班級(jí)至少有1個(gè)名額，此時(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為13個(gè)名額分給3個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少1個(gè)名額，按照第(1)小問(wèn)的方法，可得有C＝66(種)分法．下圖是其中一種分法，表示1班、2班、3班的名額分別是3－1＝2(個(gè))，6－1＝5(個(gè))，4－1＝3(個(gè))． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．A　2.A　3.C　4.D　5.756 8