2020版高考數學一輪復習 第1章 集合與常用邏輯用語 第3節(jié) 簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞教學案 理（含解析）新人教A版

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1、第三節(jié)　簡單的邏輯聯結詞、全稱量詞與存在量詞 [考綱傳真]　1.了解邏輯聯結詞“或”“且”“非”的含義.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義.3.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定． 1．簡單的邏輯聯結詞 (1)命題中的或、且、非叫做邏輯聯結詞． (2)命題p且q、p或q、非p的真假判斷 p q p且q p或q 非p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全稱量詞和存在量詞 (1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用符號“?”表示． (2)存在量詞：短語

2、“存在一個”“至少有一個”等在邏輯中通常叫做存在量詞，用符號“?”表示． 3．全稱命題、特稱命題及含一個量詞的命題的否定 命題名稱 語言表示 符號表示 命題的否定 全稱 命題 對M中任意一個x，有p(x)成立 ?x∈M，p(x) ?x0∈M，綈p(x0) 特稱 命題 存在M中的一個x0，使p(x0)成立 ?x0∈M，p(x0) ?x∈M，綈p(x) [常用結論] 1．含有邏輯聯結詞的命題真假的判斷規(guī)律 (1)p∨q：p，q中有一個為真，則p∨q為真，即有真為真． (2)p∧q：p，q中有一個為假，則p∧q為假，即有假即假． (3)綈p：與p的真假相反，即

3、一真一假，真假相反． 2．含有一個量詞的命題的否定的規(guī)律是“改量詞，否結論”． 3．命題的否定和否命題的區(qū)別：命題“若p，則q”的否定是“若p，則綈q”，否命題是“若綈p，則綈q”． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)命題“3≥2”是真命題．(　　) (2)若命題p∧q為假命題，則命題p，q都是假命題．(　　) (3)命題“對頂角相等”的否定是“對頂角不相等”．(　　) (4)“全等的三角形面積相等”是全稱命題．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．命題“?x0∈R，x－x0－1＞0”的否定

4、是(　　) A．?x∈R，x2－x－1≤0 B．?x∈R，x2－x－1＞0 C．?x0∈R，x－x0－1≤0 D．?x0∈R，x－x0－1≥0 A　[特稱命題的否定是全稱命題，故選A.] 3．下列命題中的假命題是(　　) A．?x0∈R，lg x0＝1 B．?x0∈R，sin x0＝0 C．?x∈R，x3＞0 D．?x∈R,2x＞0 C　[當x＝0時，x3＝0，故選項C錯誤，故選C.] 4．(教材改編)已知p：2是偶數，q：2是質數，則命題綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命題的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　[p和q顯然都是真命題，所以綈

5、p，綈q都是假命題，p∨q，p∧q都是真命題．] 5．若命題“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命題，則實數a的取值范圍是________． [－8,0]　[當a＝0時，不等式顯然成立． 當a≠0時，依題意知 解得－8≤a＜0. 綜上可知－8≤a≤0.] 全稱命題、特稱命題 1. 命題“?x∈R，?n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　) A．?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2 B．?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2 C．?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2 D．?x∈R，?n∈N*，使得n＞x2 D　[結合全(特)稱命題的否定形式可知，D選項正確．]

6、 2．(2019·商丘模擬)已知f(x)＝sin x－x，命題p：?x∈，f(x)＜0，則(　　) A．p是假命題，綈p：?x∈，f(x)≥0 B．p是假命題，綈p：?x∈，f(x)≥0 C．p是真命題，綈p：?x∈，f(x)≥0 D．p是真命題，綈p：?x∈，f(x)≥0 C　[易知f′(x)＝cos x－1≤0，所以f(x)在上是減函數，因為f(0)＝0，所以f(x)＜0，所以命題p：?x∈，f(x)＜0是真命題，綈p：?x∈，f(x)≥0，故選C.] 3．下列四個命題： p1：?x0∈(0，＋∞)，x0＜x0； p2：?x0∈(0,1)，logx0＞logx0； p3：

7、?x∈(0，＋∞)，x＞logx； p4：?x∈，x＜logx. 其中的真命題是(　　) A．p1，p3　　 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4 D　[對于p1，當x0∈(0，＋∞)時，總有x0＞x0成立，故p1是假命題；對于p2，當x0＝時，有1＝log ＝log＞log 成立，故p2是真命題；對于p3，結合指數函數y＝x與對數函數y＝logx在(0，＋∞)上的圖象，可以判斷p3是假命題；對于p4，結合指數函數y＝x與對數函數y＝log x在上的圖象可以判斷p4是真命題．] [規(guī)律方法]　(1)全(特)稱命題的否定方法：?x∈M，p(x)?x0∈M，綈p(x0

8、)，簡記：改量詞，否結論． (2)判定全稱命題“?x∈M，p(x)”是真命題，需要對集合M中的每一個元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱命題是真命題，只要在限定集合內至少找到一個x＝x0，使p(x0)成立． 判斷含有邏輯聯結詞的命題的真假 【例1】　(1)若命題“p∨q”是真命題，“綈p為真命題”，則(　　) A．p真，q真 B．p假，q真 C．p真，q假 D．p假，q假 (2)(2019·山師大附中模擬)設命題p：函數f(x)＝2x＋2－x在R上遞增，命題q：△ABC中，A＞B?sin A＞sin B，下列命題為真命題的是(　　) A．p∧q B．p∨(綈q

9、) C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q) (1)B　(2)C　[(1)因為綈p為真命題，所以p為假命題，又因為p∨q為真命題，所以q為真命題． (2)f(x)＝2x＋2－x是復合函數，在R上不是單調函數，命題p是假命題，在△ABC中，A＞B?sin A＞sin B成立，命題q是真命題，所以(綈p)∧q為真，故選C.] [規(guī)律方法]　“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命題真假的判斷步驟 (1)確定命題的構成形式； (2)判斷命題p，q的真假； (3)根據真值表確定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命題的真假 已知命題p：?x0∈R，使tan x0＝，命題q：x2－3x＋2＜

10、0的解集是{x|1＜x＜2}，下列結論： ①命題“p∧q”是真命題；②命題“p∧(綈q)”是假命題； ③命題“(綈p)∨q”是真命題；④命題“(綈p)∨(綈q)”是假命題．其中正確的是(　　) A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ D　[由題意可知：p，q均為真命題，∴p∧q是真命題，p∧(綈q)是假命題；(綈p)∨q是真命題；(綈p)∨(綈q)是假命題，故①②③④均正確．] 由命題的真假確定參數的取值范圍 【例2】　(1)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若對?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，則實數m的取值

11、范圍是(　　) A. B. C. D. (2)給定命題p：對任意實數x都有ax2＋ax＋1＞0成立；q：關于x的方程x2－x＋a＝0有實數根．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實數a的取值范圍為________． (1)A　(2)(－∞，0)∪　[(1)當x∈[0,3]時，f(x)min＝f(0)＝0， 當x∈[1,2]時， g(x)min＝g(2)＝－m， 由f(x)min≥g(x)min， 得0≥－m，所以m≥，故選A. (2)當p為真命題時，“對任意實數x都有ax2＋ax＋1＞0成立”?a＝0或 所以0≤a＜4. 當q為真命題時，“關于x的方程x2－x＋

12、a＝0有實數根”?Δ＝1－4a≥0，所以a≤. 因為p∨q為真命題，p∧q為假命題， 所以p，q一真一假． 所以若p真q假，則0≤a＜4，且a＞， 所以＜a＜4；若p假q真，則即a＜0.故實數a的取值范圍為(－∞，0)∪.] [母題探究]　若將本例(1)中“?x2∈[1,2]”改為“?x2∈[1,2]”，其他條件不變，則實數m的取值范圍是什么？ [解]　當x∈[1,2]時，g(x)max＝g(1)＝－m， 由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，所以m≥，即m的取值范圍為. [規(guī)律方法]　根據全(特)稱命題的真假求參數的思路 與全稱命題或特稱命題真假有關的參數取值范圍問

13、題的本質是恒成立問題或有解問題，解決此類問題時，一般先利用等價轉化思想將條件合理轉化，得到關于參數的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數的值或范圍. (2019·遼寧五校聯考)已知命題“?x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命題，則實數a的取值范圍為(　　) A．(－∞，0) B．[0,4] C．[4，＋∞) D．(0,4) D　[因為命題“?x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命題，所以其否定“?x∈R,4x2＋(a－2)x＋＞0”是真命題，則Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a＜0，解得0＜a＜4，故選D.] 1．(2015·全國卷Ⅰ)設

14、命題p：?n∈N，n2＞2n，則綈p為(　　) A．?n∈N，n2＞2n　　　 B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n C　[因為“?x∈M，p(x)”的否定是“?x∈M，綈p(x)”，所以命題“?n∈N，n2>2n”的否定是“?n∈N，n2≤2n”．故選C.] 2．(2013·全國卷Ⅰ)已知命題p：?x∈R,2x＜3x；命題q：?x∈R，x3＝1－x2，則下列命題中為真命題的是(　　) A．p∧q B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q B　[當x＝0時，有2x＝3x，不滿足2x＜3x，∴p：?x∈R,2x＜3x是假命題． 如圖，函數y＝x3與y＝1－x2有交點，即方程x3＝1－x2有解， ∴q：?x∈R，x3＝1－x2是真命題． ∴p∧q為假命題，排除A. ∴綈p為真命題，∴綈p∧q是真命題，選B.] - 6 -