2020版高考數(shù)學一輪復習 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法教學案 理(含解析)新人教A版

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1、第五節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學歸納法 [考綱傳真] 1.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法;了解分析法和綜合法的思考過程和特點.2.了解間接證明的一種基本方法——反證法;了解反證法的思考過程和特點.3.了解數(shù)學歸納法的原理.4.能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題. 1.直接證明 (1)綜合法 定義:利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結(jié)論成立的證明方法. (2)分析法 定義:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止的證明方

2、法. 2.間接證明——反證法 一般地,假設原命題不成立(即在原命題的條件下,結(jié)論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法. 3.數(shù)學歸納法 一般地,證明一個與正整數(shù)n有關的命題,可按下列步驟進行: (1)歸納奠基:證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立; (2)歸納遞推:假設n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立. 只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學歸納法. [常用結(jié)論] 利用歸納假設的技巧 在推證n=k+1時,可以通過湊

3、、拆、配項等方法用上歸納假設.此時既要看準目標,又要掌握n=k與n=k+1之間的關系.在推證時,分析法、綜合法、反證法等方法都可以應用. [基礎自測] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)用數(shù)學歸納法證明問題時,第一步是驗證當n=1時結(jié)論成立.(  ) (2)綜合法是直接證明,分析法是間接證明.(  ) (3)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.(  ) (4)用反證法證明結(jié)論“a>b”時,應假設“a

4、=(a≠1,n∈N*)”時,在驗證n=1成立時,左邊應該是(  ) A.1    B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3 C [n=1時,左邊=1+a+a2,故選C.] 3.命題“對于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的證明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”過程應用了 (  ) A.分析法 B.綜合法 C.綜合法、分析法結(jié)合使用 D.間接證法 B [由證明過程看是用了綜合法的證明,故選B.] 4.設a,b,c都是正數(shù),則a+,b+,c+三個數(shù)(  )

5、A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一個不大于2 D.至少有一個不小于2 D [∵++ =++≥6, 當且僅當a=b=c時取等號, ∴三個數(shù)中至少有一個不小于2.] 5.用數(shù)學歸納法證明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=時,由n=k的假設到證明n=k+1時,等式左邊應添加的式子是(  ) A.(k+1)2+2k2 B.(k+1)2+k2 C.(k+1)2 D.(k+1)[2(k+1)2+1] B [若n=k時成立,即12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12=成立,那么n=k+1時,左邊=12+22+…+k2

6、+(k+1)2+k2+…+22+12,對比n=k時的式子可知,當n=k+1時,等式左邊應添加的式子是(k+1)2+k2,故選B.] 分析法的應用 1.若a,b∈(1,+∞),證明<. [證明] 要證<, 只需證()2<()2, 只需證a+b-1-ab<0, 即證(a-1)(1-b)<0. 因為a>1,b>1,所以a-1>0,1-b<0, 即(a-1)(1-b)<0成立, 所以原不等式成立. 2.已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對邊分別為a,b,c. 求證:+=. [證明] 要證+=, 即證+=3,也就是+=1, 只需證c(b+c)+a

7、(a+b)=(a+b)(b+c), 需證c2+a2=ac+b2, 又△ABC三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,故B=60°, 由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60°, 即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立. 于是原等式成立. [規(guī)律方法] (1)逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利解決的關鍵. (2)證明較復雜的問題時,可以采用兩頭湊的辦法,即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論,然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論,從而使原命題得證. 綜合法的應用 【例1】 設數(shù)列{a

8、n}的前n項和為Sn,已知3an-2Sn=2. (1)證明{an}是等比數(shù)列并求出通項公式an; (2)求證:S-SnSn+2=4×3n. [證明] (1)因為3an-2Sn=2,所以3an+1-2Sn+1=2, 所以3an+1-3an-2(Sn+1-Sn)=0. 因為Sn+1-Sn=an+1,所以=3,所以{an}是等比數(shù)列. 當n=1時,3a1-2S1=2,又S1=a1,所以a1=2. 所以{an}是以2為首項,以3為公比的等比數(shù)列,其通項公式為an=2×3n-1. (2)由(1)可得Sn=3n-1,Sn+1=3n+1-1,Sn+2=3n+2-1, 故S-SnSn+2=(

9、3n+1-1)2-(3n-1)(3n+2-1)=4×3n, 即S-SnSn+2=4×3n. [規(guī)律方法] (1)綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法,它是一種從已知到未知(從題設到結(jié)論)的邏輯推理方法,即從題設中的已知條件或已證的真實判斷(命題)出發(fā),經(jīng)過一系列中間推理,最后導出所要求證結(jié)論的真實性. (2)綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理. 設a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1. 證明:(1)ab+bc+ac≤; (2)++≥1. [證明] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca, 由題設得(a+b+c)

10、2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1, 即ab+bc+ca≤. (2)因為a,b,c均為正數(shù),+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c, 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c), 即++≥a+b+c, 所以++≥1. 反證法的應用 【例2】 設a>0,b>0,且a+b=+.證明: (1)a+b≥2; (2)a2+a<2與b2+b<2不可能同時成立. [證明] 由a+b=+=,a>0,b>0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1, 有a+b≥2=2,即a+b≥2. (2)假設a2+a<2與b2+b<2同

11、時成立,則由a2+a<2及a>0,得0

12、 (1)求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列; (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎?為什么? [解] (1)證明:假設數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,則S=S1S3, 即a(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2), 因為a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2, 即q=0,這與公比q≠0矛盾, 所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列. (2)當q=1時,Sn=na1,故{Sn}是等差數(shù)列; 當q≠1時,{Sn}不是等差數(shù)列.假設{Sn}是等差數(shù)列, 則2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2), 得q=0,這與公比q≠0矛盾. 綜上,當q=1時,數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列;

13、 當q≠1時,數(shù)列{Sn}不是等差數(shù)列. 數(shù)學歸納法的應用 【例3】 已知f(n)=1++++…+,g(n)=-,n∈N*. (1)當n=1,2,3時,試比較f(n)與g(n)的大小關系; (2)猜想f(n)與g(n)的大小關系,并給出證明. [解] (1)當n=1時,f(1)=1,g(1)=1, 所以f(1)=g(1); 當n=2時,f(2)=,g(2)=,所以f(2)<g(2); 當n=3時,f(3)=,g(3)=, 所以f(3)<g(3). (2)由(1)猜想,f(n)≤g(n),用數(shù)學歸納法證明. ①當n=1,2,3時,不等式顯然成立. ②假設當n=k(

14、k>3,k∈N*)時不等式成立, 即1++++…+<-, 則當n=k+1時, f(k+1)=f(k)+<-+. 因為- =- =<0, 所以f(k+1)<-=g(k+1). 由①②可知,對一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立. [規(guī)律方法] 1.應用數(shù)學歸納法證明不等式應注意的問題 (1)當遇到與正整數(shù)n有關的不等式證明時,應用其他辦法不容易證,則可考慮應用數(shù)學歸納法. (2)用數(shù)學歸納法證明不等式的關鍵是由n=k成立,推證n=k+1時也成立,證明時用上歸納假設后,可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法. 2.利用數(shù)學歸納法可以探索與

15、正整數(shù)n有關的未知問題、存在性問題,其基本模式是“歸納—猜想—證明”,即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論,然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性. 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,滿足Sn=2nan+1-3n2-4n,n∈N*,且S3=15. (1)求a1,a2,a3的值; (2)求數(shù)列{an}的通項公式. [解] (1)由Sn=2nan+1-3n2-4n,得 S2=4a3-20,S3=S2+a3=5a3-20. 又S3=15, ∴a3=7,S2=4a3-20=8. ∵S2=S1+a2=(2a2-7)+a2=3a2-7, ∴a2=5,a1=S1=2a2-7=3. 綜上知a1=3,a2=5,a3=7. (2)由(1)猜想an=2n+1(n∈N*),以下用數(shù)學歸納法證明: ①當n=1時,猜想顯然成立; ②假設當n=k(k∈N*,且k≥2)時,有ak=2k+1成立, 則Sk=3+5+7+…+(2k+1) =·k=k(k+2). 又Sk=2kak+1-3k2-4k, ∴k(k+2)=2kak+1-3k2-4k, 解得ak+1=2k+3=2(k+1)+1, 即當n=k+1時,猜想成立. 由①②知,數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1(n∈N*). - 7 -

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